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Tronc Commun Scientifique
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Bases de la trigonométrie

Cercle trigonométrique, radian, cos / sin / tan, valeurs remarquables, formules de réduction.

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

  1. Le cercle trigonométrique et le radian

  2. Cosinus, sinus, tangente d'un réel

  3. Relation fondamentale

  4. Signes selon le quadrant

    Le cercle trigonométrique est divisé en quatre quadrants par les axes : 1er quadrant (0 < x < π/2) : cos > 0, sin > 0, tan > 0. 2e quadrant (π/2 < x < π) : cos < 0, sin > 0, tan < 0. 3e quadrant (π < x < (3 π)/2) : cos < 0, sin < 0, tan > 0. 4e quadrant ((3 π)/2 < x < 2 π) : cos > 0, sin < 0, tan < 0.

  5. Valeurs remarquables

  6. Formules de réduction

    Ces formules permettent de ramener cos / sin / tan d'un angle quelconque à un angle de [0, π/2]. Elles découlent des symétries du cercle trigonométrique.

  7. Application : équations simples par lecture sur le cercle

    L'étude approfondie des équations cos x = a, sin x = a, tan x = a est faite au Chapitre 11. Mentionnons la lecture directe sur le cercle :

Exercices type contrôle corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de contrôle, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

  1. Calcul de sinus et tangente à partir du cosinus

    On donne cos α = 2/5 avec -π/2 < α < 0.

    1. Calculer sin α.
    2. En déduire tan α.
    3. Calculer cos(π - α), sin(π + α) et cos(π/2 - α).
    Voir la correction
    1. D'après la relation fondamentale cos² α + sin² α = 1 : sin² α = 1 - 4/25 = 21/25, donc sin α = ± √21/5. Comme -π/2 < α < 0, le point image de α est dans le 4ᵉ quadrant : sin α < 0. Donc sin α = -√21/5.
    2. tan α = (sin α)/(cos α) = (-√21/5)/(2/5) = -√21/2.
    3. Formules de réduction : cos(π - α) = -cos α = -2/5 ; sin(π + α) = -sin α = √21/5 ; cos(π/2 - α) = sin α = -√21/5.

  2. Expression en fonction du cosinus d'un angle remarquable

    Soit a un réel tel que cos a = 1/2 et 0 < a < π/2.

    1. Calculer A = cos³ a + cos² a - cos a.
    2. Déterminer la valeur de a, puis calculer sin a et tan a.
    3. Calculer B = 2 sin a cos a et C = cos² a - sin² a.
    Voir la correction
    1. A = (1/2)³ + (1/2)² - 1/2 = 1/8 + 1/4 - 1/2 = (1 + 2 - 4)/8 = -1/8.
    2. Sur 0 < a < π/2, cos a = 1/2 donne a = π/3 (valeur remarquable). Alors sin a = sin(π/3) = √3/2 et tan a = (√3/2)/(1/2) = √3.
    3. B = 2 × √3/2 × 1/2 = √3/2 et C = 1/4 - 3/4 = -1/2. (On reconnaît B = sin(2a) = sin((2 π)/3) et C = cos(2a) = cos((2 π)/3).)

  3. Équation du second degré et équation trigonométrique

    1. Résoudre dans ℝ l'équation 4x² - 2(√3 + 1)x + √3 = 0.
    2. En déduire les solutions dans ]-π, π] de l'équation 4 cos² t - 2(√3 + 1) cos t + √3 = 0.
    Voir la correction
    1. Discriminant : Δ = 4(√3 + 1)² - 16 √3 = 4(3 + 2 √3 + 1) - 16 √3 = 16 - 8 √3. Or (√3 - 1)² = 3 - 2 √3 + 1 = 4 - 2 √3, donc Δ = 4(√3 - 1)² et √(Δ) = 2(√3 - 1). Les solutions sont x_1 = (2(√3 + 1) + 2(√3 - 1))/8 = (4 √3)/8 = √3/2 et x_2 = (2(√3 + 1) - 2(√3 - 1))/8 = 4/8 = 1/2.
    2. En posant x = cos t, l'équation devient celle de la question 1, donc cos t = √3/2 ou cos t = 1/2. cos t = √3/2 donne t = π/6 ou t = -π/6 ; cos t = 1/2 donne t = π/3 ou t = -π/3. Ensemble des solutions dans ]-π, π] : S = {-π/3, -π/6, π/6, π/3}.

  4. Simplification par les formules de réduction

    Soit E(x) = cos(π + x) + sin(π/2 + x) - cos(-x) + sin(π - x) + cos((3 π)/2 + x).

    1. Simplifier E(x).
    2. Calculer E(π/6).
    Voir la correction
    1. Formules de réduction : cos(π + x) = -cos x ; sin(π/2 + x) = cos x ; cos(-x) = cos x ; sin(π - x) = sin x ; cos((3 π)/2 + x) = sin x. Donc E(x) = -cos x + cos x - cos x + sin x + sin x = 2 sin x - cos x.
    2. E(π/6) = 2 × 1/2 - √3/2 = 1 - √3/2 = (2 - √3)/2.

  5. Démonstration d'une identité

    Soit x un réel tel que cos x ≠ 0.

    1. Montrer que (1 + sin x)(1 - sin x) = cos² x.
    2. En déduire que 1/(1 - sin x) + 1/(1 + sin x) = 2/(cos² x).
    3. Calculer la valeur de cette expression pour x = π/4.
    Voir la correction
    1. (1 + sin x)(1 - sin x) = 1 - sin² x = cos² x (identité remarquable puis relation fondamentale). Comme cos x ≠ 0, on a sin x ≠ ± 1, donc les dénominateurs de la question 2 sont non nuls.
    2. En réduisant au même dénominateur : 1/(1 - sin x) + 1/(1 + sin x) = ((1 + sin x) + (1 - sin x))/((1 - sin x)(1 + sin x)) = 2/(cos² x).
    3. Pour x = π/4 : cos²(π/4) = (√2/2)² = 1/2, donc l'expression vaut 2/(1/2) = 4.

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