Géométrie dans l'espace
Positions relatives, parallélisme, orthogonalité, sections planes des solides usuels, vecteurs et repérage dans l'espace.
Plan du chapitre
Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.
Points, droites et plans
L'espace géométrique est constitué de points. Trois points non alignés définissent un ; deux points distincts définissent une .
Positions relatives
Deux droites
Deux droites (D1) et (D2) de l'espace sont : - (dans un même plan) : parallèles (sans point commun ou confondues), ou sécantes (un seul point commun) ; - : aucun plan ne les contient toutes deux ; elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles.
Une droite et un plan
Une droite (D) et un plan (P) sont dans l'une des trois situations : (D) ⊂ (P) (la droite est incluse dans le plan) ; (D) et (P) (sans point commun) ; (D) et (P) en un seul point.
Deux plans
Deux plans (P1) et (P2) sont : - (confondus ou sans point commun) ; - : leur intersection est une droite.
Théorèmes de parallélisme
Orthogonalité
Droite orthogonale à un plan
Solides usuels et leurs sections planes
Cube et parallélépipède rectangle
Un est un parallélépipède rectangle dont toutes les arêtes ont la même longueur. Pour un cube d'arête a : volume V = a³, aire totale S = 6 a², diagonale principale d = a √(3).
Pyramide
Volume d'une pyramide de base d'aire B et de hauteur h : V = (1/3) B h.
Cylindre, cône, sphère
Sections planes
Quand on coupe un solide par un plan, on obtient une : Cube ou parallélépipède : section rectangulaire (parallèle à une face) ou triangulaire / hexagonale selon l'inclinaison. Cylindre coupé parallèlement à sa base : disque. Cylindre coupé parallèlement à l'axe : rectangle. Sphère coupée par un plan : disque (cercle de rayon r' = √(r² - d²) où d est la distance du centre au plan).
Vecteurs dans l'espace
Vecteurs coplanaires
Base et repère de l'espace
Distance dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si A(xA ; yA ; zA) et B(xB ; yB ; zB) : A B = √((xB - xA)² + (yB - yA)² + (zB - zA)²).
Représentation paramétrique d'une droite
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