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Tronc Commun Scientifique
MATHEMATICS · Tronc Commun Scientifique · Tronc Commun

L'ordre dans ℝ

Compatibilité de l'ordre, intervalles, encadrements, valeurs approchées.

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

  1. Relation d'ordre dans ℝ

    L'ensemble ℝ est muni d'une relation d'ordre ≤ qui prolonge celle connue sur ℚ. Comprendre comment elle interagit avec les opérations est essentiel pour résoudre des inéquations et donner des encadrements.

  2. Compatibilité avec les opérations

  3. Ordre et carré, ordre et racine carrée

  4. Intervalles de ℝ

    • Intersection et réunion d'intervalles

    • Bornes d'une partie de ℝ

  5. Encadrement et valeurs approchées

    • Encadrement d'un réel

    • Valeurs approchées et arrondi

    • Encadrement d'une somme, d'une différence, d'un produit, d'un quotient

  6. Erreur absolue, erreur relative

Exercices type contrôle corrigés

6 exercices dans l'esprit des sujets de contrôle, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

  1. Comparer sans calculatrice

    Comparer les nombres suivants en justifiant :

    1. 2 √3 et 3 √2 ;
    2. 3/7 et 4/9 ;
    3. x² et x lorsque 0 < x < 1.
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    1. Les deux nombres sont positifs ; on compare leurs carrés : (2 √3)² = 12 et (3 √2)² = 18. Comme 12 < 18, on a 2 √3 < 3 √2.
    2. 3/7 - 4/9 = (27 - 28)/63 = -1/63 < 0, donc 3/7 < 4/9.
    3. x² - x = x(x - 1). Pour 0 < x < 1 : x > 0 et x - 1 < 0, donc x² - x < 0, c'est-à-dire x² < x.

  2. Encadrements de sommes, produits et inverses

    On sait que 2 ≤ x ≤ 3 et -1 ≤ y ≤ 1. Encadrer :

    1. x + y et x - y ;
    2. x² et 1/x ;
    3. x y.
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    1. En ajoutant membre à membre : 1 ≤ x + y ≤ 4. De -1 ≤ y ≤ 1 on tire -1 ≤ -y ≤ 1, puis 1 ≤ x - y ≤ 4.
    2. La fonction carré est croissante sur [0, +∞[ et x ≥ 2 > 0, donc 4 ≤ x² ≤ 9. La fonction inverse est décroissante sur ]0, +∞[, donc 1/3 ≤ 1/x ≤ 1/2.
    3. Attention : y peut être négatif, on ne multiplie pas directement les encadrements. Comme x > 0, x y est du signe de y et |x y| = x |y| ≤ 3 × 1 = 3. Donc -3 ≤ x y ≤ 3 (bornes atteintes pour x = 3, y = ± 1).

  3. Inégalités classiques

    1. Montrer que pour tous réels a et b : a² + b² ≥ 2 a b.
    2. En déduire que pour tous réels strictement positifs a et b : a/b + b/a ≥ 2.
    3. Montrer que pour tous réels strictement positifs a et b : (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4.
    Voir la correction
    1. a² + b² - 2 a b = (a - b)² ≥ 0, d'où a² + b² ≥ 2 a b.
    2. a/b + b/a = (a² + b²)/(a b). Comme a b > 0 et a² + b² ≥ 2 a b, on obtient (a² + b²)/(a b) ≥ (2 a b)/(a b) = 2.
    3. En développant : (a + b)(1/a + 1/b) = 1 + a/b + b/a + 1 = 2 + (a/b + b/a) ≥ 2 + 2 = 4 d'après la question 2.

  4. Encadrer une expression

    Soit x un réel tel que 1 ≤ x ≤ 2.

    1. Encadrer 1/x.
    2. En déduire un encadrement de A = (2x + 1)/x.
    3. Montrer que 2 ≤ x + 1/x ≤ 3.
    Voir la correction
    1. La fonction inverse est décroissante sur ]0, +∞[ : 1/2 ≤ 1/x ≤ 1.
    2. A = (2x + 1)/x = 2 + 1/x, donc 2 + 1/2 ≤ A ≤ 2 + 1, soit 5/2 ≤ A ≤ 3.
    3. Minoration : x + 1/x - 2 = (x² - 2x + 1)/x = (x - 1)²/x ≥ 0, donc x + 1/x ≥ 2. Majoration : x ≤ 2 et 1/x ≤ 1, donc x + 1/x ≤ 3.

  5. Valeurs approchées

    On donne 1,414 ≤ √2 ≤ 1,415 et 1,732 ≤ √3 ≤ 1,733.

    1. Encadrer √2 + √3 et √3 - √2.
    2. Encadrer √6 et en donner une valeur approchée à 10^(-2) près.
    Voir la correction
    1. Somme : 3,146 ≤ √2 + √3 ≤ 3,148. Différence : de -1,415 ≤ -√2 ≤ -1,414 on tire 1,732 - 1,415 ≤ √3 - √2 ≤ 1,733 - 1,414, soit 0,317 ≤ √3 - √2 ≤ 0,319.
    2. √6 = √2 × √3 et tous les termes sont positifs : 1,414 × 1,732 ≤ √6 ≤ 1,415 × 1,733, soit 2,449 ≤ √6 ≤ 2,453 (en arrondissant les bornes vers l'extérieur). L'amplitude de l'encadrement est 0,004 < 10^(-2) ; on peut donc prendre √6 ≈ 2,45 à 10^(-2) près (en effet |√6 - 2,45| ≤ 0,003 < 0,01).

  6. Erreur absolue et erreur relative

    1. Une longueur est mesurée : L = 12,5 cm avec une erreur absolue inférieure ou égale à 0,1 cm. Encadrer L et majorer l'erreur relative.
    2. On remplace π par 3,14. Sachant que 3,1415 < π < 3,1416, majorer l'erreur absolue puis l'erreur relative commises.
    Voir la correction
    1. 12,4 ≤ L ≤ 12,6. L'erreur relative est majorée par 0,1/(12,5) = 0,008, soit 0,8 %.
    2. Erreur absolue : |π - 3,14| < 3,1416 - 3,14 = 0,0016. Erreur relative : |π - 3,14|/π < 0,0016/(3,14) ≈ 5,1 × 10^(-4), soit environ 0,05 %.

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