Les entiers naturels et notions d'arithmétique

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

1. 01Ensemble des entiers naturels

   L'ensemble des entiers naturels, noté ℕ, est l'ensemble dont les éléments sont 0, 1, 2, 3, …. C'est le plus simple des ensembles de nombres : il sert à compter et constitue la base de toute l'arithmétique étudiée dans ce chapitre.

   • Ordre dans ℕ

     L'ordre usuel sur ℕ est défini par : a ≤ b s'il existe k ∈ ℕ tel que b = a + k. Cet ordre est total (deux entiers sont toujours comparables) et ℕ admet un plus petit élément, à savoir 0.

2. 02Division euclidienne

   La division euclidienne est l'outil central de l'arithmétique. Elle exprime qu'on peut toujours « partager équitablement » un entier par un autre, en acceptant un reste plus petit que le diviseur.

3. 03Divisibilité

   • Propriétés immédiates

4. 04Nombres premiers

   Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … Le nombre 1 n'est pas premier (par convention, pour préserver l'unicité de la décomposition en facteurs premiers). L'entier 2 est le seul nombre premier pair.

   • Test de primalité par la racine carrée

5. 05PGCD et PPCM

   • Calcul par décomposition en facteurs premiers

     Si a = ∏i pi^(αi) et b = ∏i pi^(βi) (en complétant par des exposants nuls pour avoir les mêmes premiers), alors pgcd(a, b) = ∏i pi^(min(αi, βi)) et ppcm(a, b) = ∏i pi^(max(αi, βi)).

   • Algorithme d'Euclide

   • Lien entre PGCD et PPCM

6. 06Nombres premiers entre eux

7. 07Exercices