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Les entiers naturels et notions d'arithmétique

Divisibilité dans ℕ, division euclidienne, nombres premiers, PGCD et PPCM, nombres premiers entre eux.

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

  1. Ensemble des entiers naturels

    L'ensemble des entiers naturels, noté ℕ, est l'ensemble dont les éléments sont 0, 1, 2, 3, …. C'est le plus simple des ensembles de nombres : il sert à compter et constitue la base de toute l'arithmétique étudiée dans ce chapitre.

    • Ordre dans ℕ

      L'ordre usuel sur ℕ est défini par : a ≤ b s'il existe k ∈ ℕ tel que b = a + k. Cet ordre est total (deux entiers sont toujours comparables) et ℕ admet un plus petit élément, à savoir 0.

  2. Division euclidienne

    La division euclidienne est l'outil central de l'arithmétique. Elle exprime qu'on peut toujours « partager équitablement » un entier par un autre, en acceptant un reste plus petit que le diviseur.

  3. Divisibilité

    • Propriétés immédiates

  4. Nombres premiers

    Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … Le nombre 1 n'est pas premier (par convention, pour préserver l'unicité de la décomposition en facteurs premiers). L'entier 2 est le seul nombre premier pair.

    • Test de primalité par la racine carrée

  5. PGCD et PPCM

    • Calcul par décomposition en facteurs premiers

      Si a = ∏i pi^(αi) et b = ∏i pi^(βi) (en complétant par des exposants nuls pour avoir les mêmes premiers), alors pgcd(a, b) = ∏i pi^(min(αi, βi)) et ppcm(a, b) = ∏i pi^(max(αi, βi)).

    • Algorithme d'Euclide

    • Lien entre PGCD et PPCM

  6. Nombres premiers entre eux

  7. Exercices

Exercices type contrôle corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de contrôle, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

  1. Division euclidienne

    1. Effectuer la division euclidienne de 2025 par 47.
    2. Dans la division euclidienne d'un entier n par 17, le reste est 11 et le quotient est le double du reste. Déterminer n.
    3. Déterminer les entiers naturels n dont le quotient et le reste dans la division euclidienne par 7 sont égaux.
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    1. 47 × 43 = 2021 et 2021 + 4 = 2025, donc 2025 = 47 × 43 + 4 : quotient 43, reste 4 (et 0 ≤ 4 < 47).
    2. n = 17 q + 11 avec q = 2 × 11 = 22 : n = 374 + 11 = 385.
    3. n = 7q + r avec r = q et 0 ≤ r < 7, donc n = 8q avec q ∈ {0, 1, …, 6} : n ∈ {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48}.

  2. Divisibilité

    1. Soient a, b, c des entiers naturels. Démontrer que si a | b et a | c, alors a | (3b + 2c).
    2. Déterminer les entiers naturels n tels que (n + 3) divise (n + 9).
    Voir la correction
    1. Si b = a k et c = a l, alors 3b + 2c = 3 a k + 2 a l = a(3k + 2l), donc a divise 3b + 2c.
    2. n + 9 = (n + 3) + 6. Si (n + 3) | (n + 9), alors (n + 3) divise (n + 9) - (n + 3) = 6. Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3, 6 ; comme n + 3 ≥ 3, on a n + 3 = 3 ou n + 3 = 6, soit n = 0 ou n = 3. Vérification : 3 | 9 et 6 | 12.

  3. Nombres premiers

    1. Le nombre 221 est-il premier ?
    2. Décomposer en produit de facteurs premiers 1001 et 2024.
    3. Combien 2024 possède-t-il de diviseurs ?
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    1. √221 ≈ 14,9 : on teste les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13. 221 = 13 × 17, donc 221 n'est pas premier.
    2. 1001 = 7 × 143 = 7 × 11 × 13 ; 2024 = 2³ × 253 = 2³ × 11 × 23.
    3. Un diviseur de 2024 = 2³ × 11 × 23 s'écrit 2^i × 11^j × 23^k avec i ∈ {0, 1, 2, 3}, j ∈ {0, 1}, k ∈ {0, 1} : 4 × 2 × 2 = 16 diviseurs.

  4. PGCD, PPCM et algorithme d'Euclide

    1. Calculer pgcd(1071, 462) par l'algorithme d'Euclide, puis ppcm(1071, 462).
    2. On veut carreler une pièce rectangulaire de 1071 cm sur 462 cm avec des carreaux carrés identiques, sans découpe, les plus grands possibles. Quelle est la taille des carreaux et combien en faut-il ?
    Voir la correction
    1. 1071 = 462 × 2 + 147 ; 462 = 147 × 3 + 21 ; 147 = 21 × 7 + 0. Donc pgcd(1071, 462) = 21 et ppcm(1071, 462) = (1071 × 462)/21 = 51 × 462 = 23 562.
    2. Le côté des carreaux doit diviser 1071 et 462 ; le plus grand possible est pgcd(1071, 462) = 21 cm. Il faut (1071/21) × (462/21) = 51 × 22 = 1122 carreaux.

  5. Nombres premiers entre eux

    1. Deux bus partent ensemble d'une gare à 6 h. Le premier repart toutes les 24 minutes, le second toutes les 36 minutes. À quelle heure repartent-ils ensemble pour la première fois ?
    2. Déterminer tous les couples (a, b) d'entiers naturels tels que a ≤ b, pgcd(a, b) = 12 et ppcm(a, b) = 252.
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    1. Le prochain départ commun a lieu au bout de ppcm(24, 36) minutes. 24 = 2³ × 3 et 36 = 2² × 3², donc ppcm = 2³ × 3² = 72 minutes : à 7 h 12.
    2. On écrit a = 12 a' et b = 12 b' avec a' et b' premiers entre eux. Alors a b = pgcd × ppcm = 12 × 252 = 3024, donc a' b' = 3024/144 = 21. Les couples (a', b') premiers entre eux avec a' ≤ b' et a' b' = 21 sont (1, 21) et (3, 7). D'où (a, b) = (12, 252) ou (a, b) = (36, 84).

Documents

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