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Tronc Commun Scientifique
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Équations et inéquations trigonométriques

Résolution de cos x = a, sin x = a, tan x = a, équations dérivées et inéquations sur le cercle.

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

  1. Équation cos x = a

  2. Équation sin x = a

  3. Équation tan x = a

  4. Équations dérivées

    • cos u = cos v et sin u = sin v

    • Équations par factorisation

  5. Inéquations trigonométriques

    La méthode est graphique : on lit sur le cercle trigonométrique les arcs où la condition est satisfaite.

  6. Linéarité auxiliaire a cos x + b sin x

Exercices type contrôle corrigés

6 exercices dans l'esprit des sujets de contrôle, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

  1. Équations élémentaires

    Résoudre dans ℝ, puis dans ]-π, π], chacune des équations :

    1. 2 cos x + √3 = 0 ;
    2. 2 sin x - √2 = 0 ;
    3. tan x = -√3.
    Voir la correction
    1. cos x = -√3/2 = cos((5 π)/6), donc x = (5 π)/6 + 2 k π ou x = -(5 π)/6 + 2 k π (k ∈ ℤ). Dans ]-π, π] : S = {-(5 π)/6, (5 π)/6}.
    2. sin x = √2/2 = sin(π/4), donc x = π/4 + 2 k π ou x = π - π/4 + 2 k π = (3 π)/4 + 2 k π. Dans ]-π, π] : S = {π/4, (3 π)/4}.
    3. tan x = -√3 = tan(-π/3), donc x = -π/3 + k π (k ∈ ℤ). Dans ]-π, π] : S = {-π/3, (2 π)/3}.

  2. Équation du type cos u = cos v

    Résoudre dans ℝ l'équation cos(2x - π/3) = cos(x + π/6), puis placer les solutions appartenant à [0, 2 π[ sur le cercle trigonométrique.

    Voir la correction

    cos u = cos v équivaut à u = v + 2 k π ou u = -v + 2 k π (k ∈ ℤ).

    • Premier cas : 2x - π/3 = x + π/6 + 2 k π, soit x = π/2 + 2 k π.
    • Second cas : 2x - π/3 = -x - π/6 + 2 k π, soit 3x = π/6 + 2 k π, donc x = π/18 + (2 k π)/3.

    Solutions dans [0, 2 π[ : π/2 (premier cas) et, pour k = 0, 1, 2 : π/18, (13 π)/18, (25 π)/18 (second cas). Soit quatre points sur le cercle.

  3. Équation du type sin u = sin v

    Résoudre dans ℝ l'équation sin(3x) = sin(x + π/3).

    Voir la correction

    sin u = sin v équivaut à u = v + 2 k π ou u = π - v + 2 k π (k ∈ ℤ).

    • 3x = x + π/3 + 2 k π donne 2x = π/3 + 2 k π, soit x = π/6 + k π.
    • 3x = π - x - π/3 + 2 k π donne 4x = (2 π)/3 + 2 k π, soit x = π/6 + (k π)/2.

    La première famille est contenue dans la seconde (prendre k pair), donc S = {π/6 + (k π)/2 ; k ∈ ℤ}.

  4. Équation se ramenant au second degré

    Résoudre dans [0, 2 π[ l'équation 2 sin² x - 3 sin x + 1 = 0.

    Voir la correction

    On pose X = sin x : 2X² - 3X + 1 = 0, Δ = 9 - 8 = 1, donc X = 1 ou X = 1/2.

    • sin x = 1 donne x = π/2.
    • sin x = 1/2 donne x = π/6 ou x = (5 π)/6.

    S = {π/6, π/2, (5 π)/6}.

  5. Inéquations trigonométriques

    Résoudre dans ]-π, π] :

    1. 2 cos x - 1 ≥ 0 ;
    2. 2 sin x + √3 < 0.
    Voir la correction
    1. 2 cos x - 1 ≥ 0 équivaut à cos x ≥ 1/2. Sur le cercle, les points d'abscisse au moins 1/2 correspondent aux angles entre -π/3 et π/3 : S = [-π/3, π/3].
    2. 2 sin x + √3 < 0 équivaut à sin x < -√3/2. Les points d'ordonnée strictement inférieure à -√3/2 correspondent aux angles strictement compris entre -(2 π)/3 et -π/3 : S = ]-(2 π)/3, -π/3[.

  6. Équation a cos x + b sin x = c

    Résoudre dans ℝ l'équation cos x - √3 sin x = 1.

    Voir la correction

    On factorise par √(1² + (√3)²) = 2 : cos x - √3 sin x = 2 (1/2 cos x - √3/2 sin x) = 2 (cos(π/3) cos x - sin(π/3) sin x) = 2 cos(x + π/3).

    L'équation devient cos(x + π/3) = 1/2 = cos(π/3), donc x + π/3 = π/3 + 2 k π ou x + π/3 = -π/3 + 2 k π, soit x = 2 k π ou x = -(2 π)/3 + 2 k π (k ∈ ℤ).

    Vérification : pour x = 0, 1 - 0 = 1 ; pour x = -(2 π)/3, -1/2 - √3 × (-√3/2) = -1/2 + 3/2 = 1.

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