Suites numériques, géométrie dans l'espace, nombres complexes, calculs des probabilités et étude d'une fonction numérique

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Suites numériques3 pts

   Chapitres : Suites numériques · Suites numériques

   On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0=\frac{3}{2}$ et $u_{n+1}=\frac{3u_n+2}{2+u_n}$, pour tout entier naturel $n$.

   1. (a) Vérifier que $u_{n+1}=3-\frac{4}{2+u_n}$, pour tout entier naturel $n$. (0,25 pt) (b) Montrer par récurrence que $0<u_n<2$, pour tout entier naturel $n$. (0,5 pt)
   2. (a) Montrer que $u_{n+1}-u_n=\frac{(1+u_n)(2-u_n)}{2+u_n}$, pour tout entier naturel $n$. (0,25 pt) (b) Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante et en déduire que $(u_n)$ est convergente. (0,5 pt) (c) Montrer que $0<2-u_{n+1}\le \frac{2}{7}(2-u_n)$, pour tout entier naturel $n$. (0,5 pt) (d) Déduire que $0<2-u_n\le \frac{1}{2}(\frac{2}{7}{)}^n$, pour tout entier naturel $n$. (0,5 pt) (e) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. (0,5 pt)
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   1. (a) Pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $3-\frac{4}{2+u_n}=\frac{3(2+u_n)-4}{2+u_n}=\frac{3u_n+2}{2+u_n}=u_{n+1}$. (b) Initialisation : $u_0=\frac{3}{2}$ et $0<\frac{3}{2}<2$. Hérédité : supposons $0<u_n<2$. Alors $2<2+u_n<4$, donc $1<\frac{4}{2+u_n}<2$ (la fonction inverse est décroissante sur $]0,+\infty [$), puis $3-2<3-\frac{4}{2+u_n}<3-1$, c'est-à-dire $1<u_{n+1}<2$ ; en particulier $0<u_{n+1}<2$. Conclusion : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0<u_n<2$.
   2. (a) $u_{n+1}-u_n=\frac{3u_n+2}{2+u_n}-u_n=\frac{3u_n+2-2u_n-u_n^2}{2+u_n}=\frac{2+u_n-u_n^2}{2+u_n}$. Or $(1+u_n)(2-u_n)=2-u_n+2u_n-u_n^2=2+u_n-u_n^2$. Donc $u_{n+1}-u_n=\frac{(1+u_n)(2-u_n)}{2+u_n}$. (b) Comme $0<u_n<2$ : $1+u_n>0$, $2-u_n>0$ et $2+u_n>0$, donc $u_{n+1}-u_n>0$ : la suite $(u_n)$ est croissante. Croissante et majorée par $2$, elle est convergente (théorème de convergence des suites monotones). (c) $2-u_{n+1}=2-3+\frac{4}{2+u_n}=\frac{4-(2+u_n)}{2+u_n}=\frac{2-u_n}{2+u_n}$. Comme $u_n<2$, $2-u_n>0$ et $2+u_n>0$, donc $2-u_{n+1}>0$. De plus, la suite étant croissante, $u_n\ge u_0=\frac{3}{2}$, donc $2+u_n\ge \frac{7}{2}$ et $\frac{1}{2+u_n}\le \frac{2}{7}$. Ainsi $2-u_{n+1}=(2-u_n)\times \frac{1}{2+u_n}\le \frac{2}{7}(2-u_n)$ (car $2-u_n>0$). D'où $0<2-u_{n+1}\le \frac{2}{7}(2-u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. (d) Par récurrence. Initialisation : $2-u_0=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(\frac{2}{7}{)}^0$, donc $0<2-u_0\le \frac{1}{2}(\frac{2}{7}{)}^0$. Hérédité : si $0<2-u_n\le \frac{1}{2}(\frac{2}{7}{)}^n$, alors d'après (c) : $0<2-u_{n+1}\le \frac{2}{7}(2-u_n)\le \frac{2}{7}\times \frac{1}{2}(\frac{2}{7}{)}^n=\frac{1}{2}(\frac{2}{7}{)}^{n+1}$. Conclusion : $0<2-u_n\le \frac{1}{2}(\frac{2}{7}{)}^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. (e) Comme $0<\frac{2}{7}<1$, ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{2}(\frac{2}{7}{)}^n=0$. Par le théorème des gendarmes, ${\lim }_{n\to +\infty }(2-u_n)=0$, donc ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=2$.

2. Exercice 2Géométrie dans l'espace3 pts

   Chapitre : Géométrie dans l'espace

   Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les points $A(0,3,3)$, $B(1,2,1)$, $C(2,3,1)$ et le vecteur $\overrightarrow{n}(1,-1,1)$. Soit $(P)$ le plan d'équation $x-y+z-6=0$.

   1. (a) Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{n}$ et déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont non alignés. (0,5 pt) (b) Montrer que les plans $(ABC)$ et $(P)$ sont parallèles. (0,25 pt)
   2. Soit $(S)$ la sphère telle que : le plan $(ABC)$ est tangent à $(S)$ en $A$ et le plan $(P)$ est tangent à $(S)$ en un point $H$. (a) Calculer la distance du point $A$ au plan $(P)$ et déduire que le rayon de la sphère $(S)$ est $\sqrt{3}$. (0,5 pt) (b) Donner une représentation paramétrique de la droite $(\Delta )$ passant par $A$ et orthogonale au plan $(P)$. (0,25 pt) (c) Montrer que les coordonnées du point $H$ sont $(2,1,5)$. (0,5 pt) (d) Montrer que $x^2+y^2+z^2-2x-4y-8z+18=0$ est une équation cartésienne de la sphère $(S)$. (0,5 pt)
   3. Déterminer les deux points d'intersection de la droite $(BH)$ et la sphère $(S)$. (0,5 pt)
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   1. (a) $\overrightarrow{AB}(1,-1,-2)$ et $\overrightarrow{AC}(2,0,-2)$. Le produit vectoriel a pour coordonnées $((-1)(-2)-(-2)(0);(-2)(2)-(1)(-2);(1)(0)-(-1)(2))=(2,-2,2)=2\overrightarrow{n}$. Comme $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{0}$, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires : les points $A$, $B$ et $C$ sont non alignés. (b) $\overrightarrow{n}$ est normal au plan $(ABC)$ (colinéaire à $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}$) et $\overrightarrow{n}(1,-1,1)$ est aussi un vecteur normal de $(P):x-y+z-6=0$. Deux plans ayant un même vecteur normal sont parallèles : $(ABC)\parallel (P)$.
   2. (a) $d(A,(P))=|0-3+3-6\frac{|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$. Les plans $(ABC)$ et $(P)$ sont parallèles et tangents à $(S)$ respectivement en $A$ et $H$ : le centre $\Omega$ de $(S)$ appartient à la droite passant par $A$ et orthogonale à $(ABC)$, qui est aussi orthogonale à $(P)$ et coupe $(P)$ en $H$. Ainsi $[AH]$ est un diamètre de $(S)$ et $AH=d(A,(P))=2\sqrt{3}$ (car $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(P)$). Le rayon est donc $R=\frac{AH}{2}=\sqrt{3}$. (b) $(\Delta )$ passe par $A(0,3,3)$ et est dirigée par $\overrightarrow{n}(1,-1,1)$ : $(\Delta ):\{\begin{array}{l}x=ty=3-tz=3+t\end{array}(t\in \mathbb{R})$. (c) $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(P)$, c'est-à-dire le point d'intersection de $(\Delta )$ et $(P)$. On remplace : $t-(3-t)+(3+t)-6=0<\Rightarrow 3t-6=0<\Rightarrow t=2$. D'où $H(2,1,5)$. (d) Le centre $\Omega$ est le milieu de $[AH]$ : $\Omega (1,2,4)$, et $R=\sqrt{3}$. Une équation de $(S)$ est $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-4{)}^2=3$, soit $x^2+y^2+z^2-2x-4y-8z+1+4+16-3=0$, c'est-à-dire $x^2+y^2+z^2-2x-4y-8z+18=0$.
   3. $\overrightarrow{BH}(1,-1,4)$, donc $(BH):x=1+t,y=2-t,z=1+4t$ ($t\in \mathbb{R}$). On remplace dans l'équation de $(S)$ sous la forme $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-4{)}^2=3$ : $t^2+t^2+(4t-3{)}^2=3<\Rightarrow 18t^2-24t+9=3<\Rightarrow 18t^2-24t+6=0<\Rightarrow 3t^2-4t+1=0<\Rightarrow (t-1)(3t-1)=0$. Pour $t=1$ : le point $H(2,1,5)$ ; pour $t=\frac{1}{3}$ : le point $(\frac{4}{3},\frac{5}{3},\frac{7}{3})$. Les deux points d'intersection de $(BH)$ et $(S)$ sont $H(2,1,5)$ et $K(\frac{4}{3},\frac{5}{3},\frac{7}{3})$.

3. Exercice 3Nombres complexes3.5 pts

   Chapitres : Nombres complexes (partie 1) · Nombres complexes (partie 2) · Nombres complexes (introduction)

   Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives : $a=\frac{-\sqrt{3}+i}{2}$, $b=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}$, $c=1+a$ et $d=\overline{c}$.

   1. Vérifier que $|a|=1$ et que $arg(a)\equiv \frac{5\pi }{6}[2\pi ]$. (0,5 pt)
   2. Vérifier que $\frac{c-d}{c-a}=i$ et déduire que le triangle $ACD$ est isocèle rectangle en $C$. (0,75 pt)
   3. (a) Montrer que $d-a=1-i$ et que $b-d=\frac{\sqrt{3}-1}{2}(1-i)$. (0,5 pt) (b) Déduire que les points $A$, $D$ et $B$ sont alignés. (0,25 pt)
   4. Soit $R$ la transformation du plan qui transforme chaque point $M$ d'affixe $z$ en $M^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }$ tel que $z^{\prime }=az$. (a) Vérifier que $R$ est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle. (0,5 pt) (b) Vérifier que $ad=c$ et déduire que $R(D)=C$. (0,5 pt) (c) Montrer que $arg(c)\equiv \frac{5\pi }{12}[2\pi ]$. (0,5 pt)
   Voir la correction

   1. $|a|=\sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2+(\frac{1}{2}{)}^2}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1$. Puis $a=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i=\cos (\frac{5\pi }{6})+i\sin (\frac{5\pi }{6})$, donc $arg(a)\equiv \frac{5\pi }{6}[2\pi ]$.
   2. $c=1+a=\frac{2-\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$ et $d=\overline{c}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$. Donc $c-d=2\times \frac{1}{2}i=i$ et $c-a=1$, d'où $\frac{c-d}{c-a}=i$. Alors $|\frac{c-d}{c-a}|=1$, donc $CD=CA$, et $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD})\equiv arg(\frac{c-d}{c-a})\equiv \frac{\pi }{2}[2\pi ]$. Le triangle $ACD$ est isocèle et rectangle en $C$.
   3. (a) $d-a=\frac{2-\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i=\frac{2}{2}-i=1-i$. $b-d=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{2-\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i=\frac{1-2+\sqrt{3}}{2}+(\frac{1-\sqrt{3}}{2})i=\frac{\sqrt{3}-1}{2}-(\frac{\sqrt{3}-1}{2})i=\frac{\sqrt{3}-1}{2}(1-i)$. (b) D'après (a), $b-d=\frac{\sqrt{3}-1}{2}(d-a)$ avec $\frac{\sqrt{3}-1}{2}\in \mathbb{R}$ : les vecteurs $\overrightarrow{DB}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont colinéaires, donc les points $A$, $D$ et $B$ sont alignés.
   4. (a) $z^{\prime }=az$ avec $|a|=1$ et $a\ne 1$ : $R$ est la rotation de centre le point d'affixe $0$, c'est-à-dire $O$ (unique point fixe : $az=z<\Rightarrow z=0$), et d'angle $arg(a)\equiv \frac{5\pi }{6}[2\pi ]$. (b) $ad=a\overline{c}=a\overline{(1+a)}=a(1+\overline{a})=a+a\overline{a}=a+|a{|}^2=a+1=c$. Donc $ad=c$. L'image de $D$ par $R$ a pour affixe $ad=c$, qui est l'affixe de $C$ : $R(D)=C$. (c) De $c=ad$ on tire $arg(c)\equiv arg(a)+arg(d)[2\pi ]$. Or $d=\overline{c}$, donc $arg(d)\equiv -arg(c)[2\pi ]$. Ainsi $2arg(c)\equiv \frac{5\pi }{6}[2\pi ]$, soit $arg(c)\equiv \frac{5\pi }{12}[\pi ]$. Comme $\mathrm{Re}(c)=\frac{2-\sqrt{3}}{2}>0$ et $\mathrm{Im}(c)=\frac{1}{2}>0$, un argument de $c$ est dans $]0,\frac{\pi }{2}[$ ; parmi $\frac{5\pi }{12}$ et $\frac{5\pi }{12}+\pi =\frac{17\pi }{12}$, seul $\frac{5\pi }{12}\in ]0,\frac{\pi }{2}[$. Donc $arg(c)\equiv \frac{5\pi }{12}[2\pi ]$.

4. Exercice 4Calcul des probabilités2.5 pts

   Chapitres : Dénombrement et probabilités · Dénombrement et probabilités

   Un sac contient $4$ boules blanches et $3$ boules noires. (Les boules sont indiscernables au toucher.) Un jeu consiste à tirer successivement et sans remise deux boules du sac. Les règles du jeu sont comme suit :

   • Si les deux boules tirées sont blanches, on note : $+5$.
   • Si les deux boules tirées sont noires, on note : $-5$.
   • Si les deux boules tirées sont de couleurs différentes, on note : $0$. On considère les évènements :
   • $G$ : « noter $+5$ » ;
   • $Z$ : « noter $0$ » ;
   • $N_1$ : « La première boule tirée est noire » ;
   • $B_2$ : « La deuxième boule tirée est blanche ».

   1. (a) Calculer $p(G)$, la probabilité de l'évènement $G$. (0,5 pt) (b) Montrer que la probabilité de l'évènement $Z$ est $p(Z)=\frac{4}{7}$. (0,5 pt)
   2. (a) Calculer la probabilité $p(N_1\cap B_2)$. (0,5 pt) (b) Montrer que $p(B_2)=\frac{4}{7}$. (0,5 pt) (c) Déduire la probabilité de « noter $0$ » sachant que la deuxième boule tirée est blanche. (0,5 pt)
   Voir la correction

   Le tirage est successif sans remise : les issues sont les couples ordonnés de deux boules distinctes parmi $7$, équiprobables, au nombre de $7\times 6=42$.

   1. (a) $G$ : deux blanches, $4\times 3=12$ issues. $p(G)=\frac{12}{42}=\frac{2}{7}$. (b) $Z$ : couleurs différentes, c'est-à-dire (blanche puis noire) ou (noire puis blanche) : $4\times 3+3\times 4=24$ issues. $p(Z)=\frac{24}{42}=\frac{4}{7}$. (Vérification : « noter $-5$ » a pour probabilité $\frac{3\times 2}{42}=\frac{1}{7}$ et $\frac{2}{7}+\frac{4}{7}+\frac{1}{7}=1$.)
   2. (a) $N_1\cap B_2$ : première noire puis deuxième blanche : $3\times 4=12$ issues. $p(N_1\cap B_2)=\frac{12}{42}=\frac{2}{7}$. (b) $B_2=(N_1\cap B_2)\cup (\overline{N_1}\cap B_2)$ (réunion disjointe). $p(\overline{N_1}\cap B_2)=\frac{4\times 3}{42}=\frac{2}{7}$ (première blanche puis deuxième blanche). Donc $p(B_2)=\frac{2}{7}+\frac{2}{7}=\frac{4}{7}$. (c) On cherche $p_{B_2}(Z)=p(Z\cap B_2)/p(B_2)$. Si la deuxième boule est blanche, on note $0$ exactement quand la première est noire : $Z\cap B_2=N_1\cap B_2$, donc $p(Z\cap B_2)=\frac{2}{7}$ et $p_{B_2}(Z)=\frac{\frac{2}{7}}{\frac{4}{7}}=\frac{1}{2}$.

5. Exercice 5Problème d'analyse8 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Limites et continuité · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral · Fonctions logarithmiques · Fonctions exponentielles · Limites et continuité · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral · Fonctions logarithmiques

   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x-1+\frac{4}{e^x+2}$. Soit $({\mathcal{C}}_f)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

   1. Calculer $f(0)$ et $f(\ln 2)$. (0,5 pt)
   2. (a) Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$. (0,5 pt) (b) Vérifier que ${\lim }_{x\to +\infty }(f(x)-(x-1))=0$ puis interpréter géométriquement ce résultat. (0,5 pt)
   3. (a) Vérifier que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=x+1-\frac{2e^x}{e^x+2}$. (0,25 pt) (b) Calculer ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{e^x}{e^x+2}$ puis déduire que la droite d'équation $y=x+1$ est une asymptote oblique à la courbe $({\mathcal{C}}_f)$ au voisinage de $-\infty$. (0,5 pt) (c) Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $-1<f(x)-x<1$. (0,5 pt)
   4. (a) Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f^{\prime }(x)=\frac{e^{2x}+4}{(e^x+2{)}^2}$. (0,5 pt) (b) Déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. (0,25 pt)
   5. (a) Montrer que pour tout $m\in \mathbb{R}$, l'équation $f(x)=m$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$. (0,5 pt) (b) Soit $\alpha$ l'unique solution de l'équation $f(x)=0$. Vérifier que $-1<\alpha <0$ et montrer que $e^{\alpha }=\frac{2(1+\alpha )}{1-\alpha }$. (0,5 pt)
   6. (a) Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f^{\prime \prime }(x)=\frac{4e^x(e^x-2)}{(e^x+2{)}^3}$. (0,5 pt) (b) Étudier le signe de $e^x-2$ sur $\mathbb{R}$. (0,25 pt) (c) Déduire que la courbe $({\mathcal{C}}_f)$ admet un point d'inflexion que l'on déterminera. (0,5 pt) (d) Montrer que $y=\frac{1}{2}x+\frac{\ln 2}{2}$ est l'équation de la tangente à $({\mathcal{C}}_f)$ au point d'abscisse $\ln 2$. (0,5 pt)
   7. Construire la courbe $({\mathcal{C}}_f)$ dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. (0,75 pt)
   8. (a) Montrer que ${\int }_0^{\ln 2}\frac{1}{e^x+2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln (\frac{3}{2})$. (0,5 pt) (b) Calculer, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $({\mathcal{C}}_f)$, la droite d'équation $y=x-1$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=\ln 2$. (0,5 pt)
   Voir la correction

   1. $f(0)=0-1+\frac{4}{1+2}=-1+\frac{4}{3}=\frac{1}{3}$. $f(\ln 2)=\ln 2-1+\frac{4}{2+2}=\ln 2$.
   2. (a) En $+\infty$ : $e^x\to +\infty$ donc $\frac{4}{e^x+2}\to 0$, et $x-1\to +\infty$ ; ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$. En $-\infty$ : $e^x\to 0$ donc $\frac{4}{e^x+2}\to 2$, et $x-1\to -\infty$ ; ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$. (b) $f(x)-(x-1)=\frac{4}{e^x+2}\to 0$ quand $x\to +\infty$. Interprétation : la droite d'équation $y=x-1$ est asymptote oblique à $({\mathcal{C}}_f)$ au voisinage de $+\infty$.
   3. (a) $x+1-\frac{2e^x}{e^x+2}=x+1-\frac{2(e^x+2)-4}{e^x+2}=x+1-2+\frac{4}{e^x+2}=x-1+\frac{4}{e^x+2}=f(x)$. (b) Quand $x\to -\infty$, $e^x\to 0$, donc ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{e^x}{e^x+2}=\frac{0}{2}=0$. Alors $f(x)-(x+1)=-2\frac{e^x}{e^x+2}\to 0$ : la droite d'équation $y=x+1$ est asymptote oblique à $({\mathcal{C}}_f)$ au voisinage de $-\infty$. (c) $f(x)-x=-1+\frac{4}{e^x+2}$. Pour tout $x$, $e^x>0$ donc $e^x+2>2$ et $0<\frac{4}{e^x+2}<2$, d'où $-1<-1+\frac{4}{e^x+2}<1$, c'est-à-dire $-1<f(x)-x<1$.
   4. (a) $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(\frac{4}{e^x+2}{)}^{\prime }=-\frac{4e^x}{(e^x+2{)}^2}$, donc $f^{\prime }(x)=1-\frac{4e^x}{(e^x+2{)}^2}=\frac{(e^x+2{)}^2-4e^x}{(e^x+2{)}^2}=\frac{e^{2x}+4e^x+4-4e^x}{(e^x+2{)}^2}=\frac{e^{2x}+4}{(e^x+2{)}^2}$. (b) Pour tout $x$, $e^{2x}+4>0$ et $(e^x+2{)}^2>0$, donc $f^{\prime }(x)>0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
   5. (a) $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc elle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $f(\mathbb{R})=]{\lim }_{x\to -\infty }f(x),{\lim }_{x\to +\infty }f(x)[=]-\infty ,+\infty [=\mathbb{R}$. Tout réel $m$ admet donc un unique antécédent par $f$ : l'équation $f(x)=m$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$. (b) $f(-1)=-2+\frac{4}{e^{-1}+2}$ ; comme $e^{-1}+2>2$, $\frac{4}{e^{-1}+2}<2$ et $f(-1)<0$. $f(0)=\frac{1}{3}>0$. Comme $f$ est strictement croissante et $f(-1)<0=f(\alpha )<f(0)$, on a $-1<\alpha <0$. $f(\alpha )=0<\Rightarrow \frac{4}{e^{\alpha }+2}=1-\alpha <\Rightarrow e^{\alpha }+2=\frac{4}{1-\alpha }$ (car $1-\alpha \ne 0$) $<\Rightarrow e^{\alpha }=\frac{4-2(1-\alpha )}{1-\alpha }=\frac{2+2\alpha }{1-\alpha }$. Donc $e^{\alpha }=\frac{2(1+\alpha )}{1-\alpha }$.
   6. (a) $f^{\prime }$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Posons $N(x)=e^{2x}+4$ et $D(x)=(e^x+2{)}^2$ : $N^{\prime }(x)=2e^{2x}$ et $D^{\prime }(x)=2e^x(e^x+2)$. Alors $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2e^{2x}(e^x+2{)}^2-(e^{2x}+4)\times 2e^x(e^x+2)}{(e^x+2{)}^4}=\frac{2e^x[e^x(e^x+2)-(e^{2x}+4)]}{(e^x+2{)}^3}=\frac{2e^x(2e^x-4)}{(e^x+2{)}^3}=\frac{4e^x(e^x-2)}{(e^x+2{)}^3}$. (b) $e^x-2>0<\Rightarrow e^x>2<\Rightarrow x>\ln 2$. Donc $e^x-2<0$ sur $]-\infty ,\ln 2[$, $e^x-2=0$ pour $x=\ln 2$ et $e^x-2>0$ sur $]\ln 2,+\infty [$. (c) $f^{\prime \prime }(x)$ a le signe de $e^x-2$ (car $4e^x>0$ et $(e^x+2{)}^3>0$) : $f^{\prime \prime }$ s'annule en $\ln 2$ en changeant de signe (négative avant, positive après). La courbe $({\mathcal{C}}_f)$ admet donc un point d'inflexion au point d'abscisse $\ln 2$, de coordonnées $(\ln 2,f(\ln 2))=(\ln 2,\ln 2)$. (d) $f^{\prime }(\ln 2)=\frac{e^{2\ln 2}+4}{(e^{\ln 2}+2{)}^2}=\frac{4+4}{16}=\frac{1}{2}$ et $f(\ln 2)=\ln 2$. La tangente au point d'abscisse $\ln 2$ a pour équation $y=\frac{1}{2}(x-\ln 2)+\ln 2=\frac{1}{2}x+\frac{\ln 2}{2}$.
   7. Construction : $f$ est strictement croissante de $-\infty$ à $+\infty$ ; $({\mathcal{C}}_f)$ admet l'asymptote oblique $y=x+1$ en $-\infty$ (la courbe est au-dessous : $f(x)-(x+1)=-\frac{2e^x}{e^x+2}<0$) et l'asymptote oblique $y=x-1$ en $+\infty$ (la courbe est au-dessus : $f(x)-(x-1)=\frac{4}{e^x+2}>0$). Elle passe par $(0;\frac{1}{3})$, par le point d'inflexion $(\ln 2;\ln 2)\approx (0,69;0,69)$ où la tangente a pour pente $\frac{1}{2}$, coupe l'axe des abscisses en $\alpha \approx -0,55$, et l'on peut placer $f(-2)\approx -1,13$, $f(2)\approx 1,43$. On trace les deux asymptotes, la tangente au point d'inflexion, puis la courbe.
   8. (a) Pour tout $x$ : $\frac{1}{e^x+2}=\frac{e^{-x}}{1+2e^{-x}}$ (en multipliant numérateur et dénominateur par $e^{-x}$). La fonction $x\to .bar1+2e^{-x}$ est strictement positive et a pour dérivée $-2e^{-x}$, donc $x\to .bar-\frac{1}{2}\ln (1+2e^{-x})$ est une primitive de $x\to .bar\frac{e^{-x}}{1+2e^{-x}}$. Ainsi ${\int }_0^{\ln 2}\frac{1}{e^x+2}\mathrm{d}x=[-\frac{1}{2}\ln (1+2e^{-x}){]}_0^{\ln 2}=-\frac{1}{2}\ln (1+2\times \frac{1}{2})+\frac{1}{2}\ln (1+2)=-\frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{2}\ln 3=\frac{1}{2}\ln (\frac{3}{2})$. (b) Sur $[0,\ln 2]$, $f(x)-(x-1)=\frac{4}{e^x+2}>0$ : la courbe est au-dessus de la droite $y=x-1$. L'aire cherchée est donc, en unités d'aire, $\mathcal{A}={\int }_0^{\ln 2}(f(x)-(x-1))\mathrm{d}x={\int }_0^{\ln 2}\frac{4}{e^x+2}\mathrm{d}x=4\times \frac{1}{2}\ln (\frac{3}{2})=2\ln (\frac{3}{2})=\ln (\frac{9}{4})$.