Fonctions logarithmiques

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

1. 01Logarithme népérien

   0, +infinity[comme l'unique primitive dex mapsto 1/xqui s'annule en1. ln : ]0, +infinity[ -> RR, quad ln(1) = 0. $ ] Le nombre e = exp(1) ≈ 2,718 est l'unique réel tel que ln(e) = 1.

2. 02Propriétés algébriques fondamentales

3. 03Dérivée et variations

   0, +infinity[. -lnest strictement croissante ;lim(x -> 0^+) ln x = -infinityetlim(x -> +infinity) ln x = +infinity. - Pour une fonctionu > 0dérivable :(ln u)' = u'/u$. ]

4. 04Équations et inéquations

   0, e^2]$. ]

5. 05Étude de fonctions avec ln

   Méthode type : Déterminer le domaine (exiger argument > 0). Limites aux bornes (attention aux formes indéterminées, utiliser les croissances comparées). Dérivée f' = (u'/u) × g'(ln u) ou similaire. Tableau de variations. 0, +infinity[. -D = ]0, +infinity[. -lim(x -> 0^+) x ln x = 0.lim(x -> +infinity) x ln x = +infinity. -f'(x) = ln x + 1. Zéro enx = e^(-1) = 1/e. Signe-avant,+après. - Minimumf(1/e) = -1/eenx = 1/e$. ]

6. 06Logarithme décimal

   Usage : ordres de grandeur, échelle logarithmique (pH, décibels, Richter).