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2ème Bac Sciences Physiques
MATHEMATICS · 2ème Bac Sciences Physiques · 2ème Bac

Nombres complexes (partie 1)

Forme algébrique, module, conjugué, plan complexe, équations du second degré dans ℂ.

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

  1. Construction et forme algébrique

  2. Conjugué

  3. Module

  4. Plan complexe (Plan d'Argand)

    On identifie ℂ au plan euclidien : à z = x + i y on associe le point M(x ; y). z est l' de M. L'axe (O x) est l' (points d'affixe réelle). L'axe (O y) est l' . |z| = distance O M. Conjugaison = symétrie par rapport à l'axe réel. Addition = translation.

  5. Équation du second degré dans ℂ

  6. Racines d'un complexe quelconque

    Le calcul des racines carrées (non simple dans ℂ) et des racines n-ièmes sera fait plus rigoureusement en partie 2 (forme trigonométrique, forme exponentielle).

Exercices type bac corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de bac, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

  1. Forme algébrique, conjugué, module

    On donne z_1 = 3 - 2i et z_2 = -1 + 4i.

    1. Écrire sous forme algébrique z_1 + z_2, z_1 z_2 et z_1/z_2.
    2. Calculer conj(z_1), |z_1| et |z_1 z_2|.
    Voir la correction
    1. z_1 + z_2 = 2 + 2i. z_1 z_2 = (3 - 2i)(-1 + 4i) = -3 + 12i + 2i - 8i² = -3 + 14i + 8 = 5 + 14i. z_1/z_2 = ((3 - 2i)(-1 - 4i))/((-1 + 4i)(-1 - 4i)) = (-3 - 12i + 2i + 8i²)/(1 + 16) = (-11 - 10i)/17 = -11/17 - 10/17 i.
    2. conj(z_1) = 3 + 2i ; |z_1| = √(9 + 4) = √13 ; |z_1 z_2| = |z_1| |z_2| = √13 × √17 = √221.

  2. Équation du second degré dans ℂ

    1. Résoudre dans ℂ l'équation z² - 4z + 13 = 0.
    2. On note z_1 la solution de partie imaginaire positive. Calculer |z_1|, z_1 + conj(z_1) et z_1 conj(z_1).
    3. Résoudre dans ℂ l'équation z² + z + 1 = 0.
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    1. Δ = 16 - 52 = -36 = (6i)². Les solutions sont z = (4 ± 6i)/2, soit z_1 = 2 + 3i et z_2 = 2 - 3i.
    2. |z_1| = √(4 + 9) = √13 ; z_1 + conj(z_1) = 2 Re(z_1) = 4 ; z_1 conj(z_1) = |z_1|² = 13. On retrouve la somme et le produit des racines.
    3. Δ = 1 - 4 = -3 = (i √3)², donc z = (-1 ± i √3)/2 : z = -1/2 + (√3)/2 i ou z = -1/2 - (√3)/2 i.

  3. Ensembles de points dans le plan complexe

    Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. Déterminer et représenter l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

    1. |z - 2 + i| = 3 ;
    2. |z - 1| = |z + i|.
    Voir la correction
    1. |z - 2 + i| = |z - (2 - i)| = Ω M où Ω est le point d'affixe 2 - i. L'ensemble cherché est le cercle de centre Ω(2, -1) et de rayon 3.
    2. |z - 1| = A M et |z + i| = |z - (-i)| = B M avec A(1, 0) et B(0, -1). A M = B M : l'ensemble cherché est la médiatrice du segment [A B].

  4. Partie réelle et partie imaginaire

    Soit z = x + i y (x, y réels) et w = z² + 2 conj(z).

    1. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de w en fonction de x et y.
    2. Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que w soit réel.
    Voir la correction
    1. z² = x² - y² + 2 i x y et 2 conj(z) = 2x - 2 i y, donc w = (x² - y² + 2x) + i (2 x y - 2y) : Re(w) = x² - y² + 2x et Im(w) = 2y(x - 1).
    2. w est réel si et seulement si 2y(x - 1) = 0, soit y = 0 ou x = 1. L'ensemble cherché est la réunion de l'axe des réels et de la droite d'équation x = 1.

  5. Racines carrées d'un nombre complexe

    1. Déterminer les nombres complexes z tels que z² = -5 + 12i.
    2. En déduire les solutions dans ℂ de l'équation 2z² - 2z + 3 - 6i = 0.
    Voir la correction
    1. On pose z = x + i y. Alors z² = x² - y² + 2 i x y et |z|² = |z²| : x² - y² = -5, 2 x y = 12 et x² + y² = |-5 + 12i| = √(25 + 144) = 13. En ajoutant et retranchant : x² = 4 et y² = 9. Comme x y = 6 > 0, x et y ont le même signe : z = 2 + 3i ou z = -2 - 3i. Vérification : (2 + 3i)² = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i.
    2. Δ = (-2)² - 4 × 2 × (3 - 6i) = 4 - 24 + 48i = -20 + 48i = 4(-5 + 12i). D'après la question 1, une racine carrée de Δ est δ = 2(2 + 3i) = 4 + 6i. Les solutions sont z = (2 ± (4 + 6i))/4, soit z_1 = (6 + 6i)/4 = 3/2 + 3/2 i et z_2 = (-2 - 6i)/4 = -1/2 - 3/2 i. Vérification : z_1 + z_2 = 1 = 2/2 et z_1 z_2 = (3 - 6i)/2, conformément aux relations somme et produit des racines.

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