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2ème Bac Sciences Physiques
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Géométrie dans l'espace

Produit scalaire et produit vectoriel dans l'espace, équations de plans et sphères, distances.

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

  1. Produit scalaire dans l'espace (approfondissement)

  2. Produit vectoriel

  3. Équation cartésienne d'un plan

  4. Intersection droite-plan, plan-plan

  5. Équation d'une sphère

  6. Distances

  7. Volume du parallélépipède

    Le volume du parallélépipède engendré par arrow(u), arrow(v), arrow(w) est |det(arrow(u), arrow(v), arrow(w))| = |(arrow(u) ∧ arrow(v)) · arrow(w)| (produit mixte).

Exercices type bac corrigés

3 exercices dans l'esprit des sujets de bac, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

  1. Plan défini par trois points, aire et volume

    L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct. On donne A(1, 2, 0), B(-1, 0, 3), C(2, -1, 1) et D(0, 0, 5).

    1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
    2. Calculer vec(AB) × vec(AC) et en déduire une équation cartésienne du plan (A B C).
    3. Calculer l'aire du triangle A B C.
    4. Calculer la distance du point D au plan (A B C), puis le volume du tétraèdre A B C D.
    Voir la correction
    1. vec(AB) (-2, -2, 3) et vec(AC) (1, -3, 1). Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (les rapports -2/1 et -2/(-3) diffèrent), donc A, B, C ne sont pas alignés.
    2. vec(AB) × vec(AC) = ((-2)(1) - (3)(-3), (3)(1) - (-2)(1), (-2)(-3) - (-2)(1)) = (7, 5, 8). Ce vecteur est normal au plan (A B C), d'où l'équation 7x + 5y + 8z + d = 0. Avec A : 7 + 10 + d = 0, donc d = -17. (A B C) : 7x + 5y + 8z - 17 = 0 (on vérifie que B et C la satisfont).
    3. Aire = 1/2 norm(vec(AB) × vec(AC)) = 1/2 √(49 + 25 + 64) = √138/2.
    4. d(D, (A B C)) = |7 × 0 + 5 × 0 + 8 × 5 - 17|/√138 = 23/√138. Volume = 1/3 × Aire × d = 1/3 × √138/2 × 23/√138 = 23/6.

  2. Sphère et plan

    On considère l'ensemble (S) des points M(x, y, z) tels que x² + y² + z² - 2x + 4y - 6z + 5 = 0 et le plan (P) : 2x - y + 2z - 5 = 0.

    1. Montrer que (S) est une sphère dont on précisera le centre Ω et le rayon R.
    2. Calculer la distance de Ω au plan (P) et en déduire que (P) coupe (S) suivant un cercle dont on déterminera le rayon.
    3. Déterminer les coordonnées du centre H de ce cercle.
    Voir la correction
    1. En complétant les carrés : (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 1 + 4 + 9 - 5 = 9. (S) est la sphère de centre Ω(1, -2, 3) et de rayon R = 3.
    2. d(Ω, (P)) = |2 + 2 + 6 - 5|/√(4 + 1 + 4) = 5/3. Comme 5/3 < 3 = R, le plan coupe la sphère suivant un cercle de rayon r = √(R² - d²) = √(9 - 25/9) = √(56/9) = (2 √14)/3.
    3. H est le projeté orthogonal de Ω sur (P) : H = Ω + t vec(n) avec vec(n)(2, -1, 2), soit H(1 + 2t, -2 - t, 3 + 2t). H ∈ (P) : 2(1 + 2t) - (-2 - t) + 2(3 + 2t) - 5 = 0, soit 9t + 5 = 0 et t = -5/9. Donc H(-1/9, -13/9, 17/9).

  3. Droite, plan et plan tangent

    On donne la droite (D) de représentation paramétrique x = 1 + t ; y = -2t ; z = 3 + 2t (t ∈ ℝ), le plan (Q) : x + 2y - z + 4 = 0 et la sphère (S) de centre Ω(1, -2, 3) et de rayon 3.

    1. Déterminer le point d'intersection de (D) et (Q).
    2. Vérifier que le point M(1, -2, 6) appartient à (S) et déterminer une équation du plan tangent à (S) en M.
    Voir la correction
    1. On remplace dans l'équation de (Q) : (1 + t) + 2(-2t) - (3 + 2t) + 4 = 2 - 5t = 0, donc t = 2/5. Le point d'intersection est I(7/5, -4/5, 19/5).
    2. Ω M = √(0 + 0 + 9) = 3 = R, donc M ∈ (S). Le plan tangent en M est le plan passant par M et de vecteur normal vec(Ω M)(0, 0, 3) : son équation est 3(z - 6) = 0, soit z = 6.

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