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2ème Bac Sciences Physiques
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Fonctions exponentielles

Fonction exp, propriétés algébriques, dérivée, limites, étude, fonctions puissances.

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

  1. Fonction exponentielle

  2. Propriétés algébriques

  3. Dérivée et variations

  4. Équations et inéquations

  5. Fonctions puissances

  6. Étude type

Exercices type bac corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de bac, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

  1. Équations et inéquations

    Résoudre dans ℝ :

    1. e^(2x) - 3 e^x + 2 = 0 ;
    2. e^x ≤ e^(3 - 2x) ;
    3. (e^x - 1)(e^(x) - 4) > 0.
    Voir la correction
    1. On pose X = e^x > 0 : X² - 3X + 2 = 0, soit X = 1 ou X = 2. Donc e^x = 1 ou e^x = 2 : S = {0, ln 2}.
    2. La fonction exponentielle est strictement croissante : e^x ≤ e^(3 - 2x) équivaut à x ≤ 3 - 2x, soit x ≤ 1. S = ]-∞, 1].
    3. Un produit est strictement positif si ses facteurs sont de même signe. e^x - 1 > 0 équivaut à x > 0 et e^x - 4 > 0 équivaut à x > ln 4. Tableau de signes : le produit est positif pour x < 0 (deux facteurs négatifs) et pour x > ln 4. S = ]-∞, 0[ ∪ ]ln 4, +∞[.

  2. Étude d'une fonction

    Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = (2 - x) e^x.

    1. Calculer les limites de f en -∞ et en +∞.
    2. Calculer f'(x) et dresser le tableau de variations de f.
    3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0.
    4. Résoudre l'équation f(x) = 0.
    Voir la correction
    1. En -∞ : f(x) = 2 e^x - x e^x ; or lim(x → -∞) e^x = 0 et lim(x → -∞) x e^x = 0, donc lim(x → -∞) f(x) = 0. En +∞ : 2 - x → -∞ et e^x → +∞, donc lim(x → +∞) f(x) = -∞.
    2. f'(x) = -e^x + (2 - x) e^x = (1 - x) e^x. Comme e^x > 0, f'(x) est du signe de 1 - x : f est croissante sur ]-∞, 1] et décroissante sur [1, +∞[, avec un maximum f(1) = e.
    3. f(0) = 2 et f'(0) = 1 : tangente y = x + 2.
    4. e^x > 0 pour tout x, donc f(x) = 0 équivaut à 2 - x = 0 : x = 2.

  3. Inégalité classique e^x ≥ 1 + x

    Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = e^x - x - 1.

    1. Étudier les variations de g.
    2. En déduire que pour tout réel x : e^x ≥ 1 + x.
    3. En déduire que pour tout x > -1 : ln(1 + x) ≤ x.
    Voir la correction
    1. g'(x) = e^x - 1, qui s'annule en 0, est négative sur ]-∞, 0[ et positive sur ]0, +∞[. g est décroissante sur ]-∞, 0] puis croissante sur [0, +∞[ ; son minimum est g(0) = 1 - 0 - 1 = 0.
    2. Pour tout x, g(x) ≥ g(0) = 0, c'est-à-dire e^x ≥ 1 + x.
    3. Pour x > -1, 1 + x > 0 et l'inégalité 1 + x ≤ e^x donne, par croissance de ln : ln(1 + x) ≤ ln(e^x) = x.

  4. Fonctions puissances et croissances comparées

    1. Résoudre dans ℝ l'équation 2^x = 8^(x - 1).
    2. Résoudre dans ℝ l'équation 3^(2x) - 4 × 3^x + 3 = 0.
    3. Calculer lim(x → +∞) x² e^(-x).
    Voir la correction
    1. 8 = 2³, donc 8^(x - 1) = 2^(3(x - 1)). L'équation devient x = 3x - 3, soit x = 3/2. (Autre méthode : x ln 2 = (x - 1) ln 8 = 3(x - 1) ln 2.)
    2. On pose X = 3^x > 0 : X² - 4X + 3 = 0, soit X = 1 ou X = 3. Donc 3^x = 1 ou 3^x = 3 : S = {0, 1}.
    3. x² e^(-x) = x²/e^x. Par croissances comparées, lim(x → +∞) e^x/x² = +∞, donc lim(x → +∞) x² e^(-x) = 0.

  5. Charge d'un condensateur

    La tension aux bornes d'un condensateur en charge est donnée par u(t) = E (1 - e^(-t/τ)) pour t ≥ 0, avec E = 6 V et τ = 2 s.

    1. Calculer u(0) et lim(t → +∞) u(t). Interpréter.
    2. Calculer u'(t) et en déduire le sens de variation de u.
    3. Au bout de combien de temps la tension atteint-elle 95 % de sa valeur limite ?
    Voir la correction
    1. u(0) = E(1 - 1) = 0 : le condensateur est initialement déchargé. lim(t → +∞) e^(-t/τ) = 0, donc lim(t → +∞) u(t) = E = 6 V : la tension tend vers la tension du générateur.
    2. u'(t) = E/τ e^(-t/τ) = 3 e^(-t/2) > 0 : u est strictement croissante sur [0, +∞[.
    3. u(t) = 0,95 E équivaut à 1 - e^(-t/2) = 0,95, soit e^(-t/2) = 0,05, donc -t/2 = ln(0,05) et t = 2 ln 20 ≈ 6,0 s (environ 3 τ).

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