Géométrie dans l'espace, nombres complexes, calcul des probabilités et étude de fonctions numériques, calcul intégral et suites numériques

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Géométrie dans l'espace3 pts

   Chapitre : Géométrie dans l'espace

   Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les deux points $A(1,1,0)$ et $\Omega (-1,1,-2)$ et le plan $(P)$ d'équation $x+z-1=0$.

   1. (a) Vérifier que $A$ est un point du plan $(P)$ et donner un vecteur normal de $(P)$. (0,5 pt) (b) Montrer que la droite $(\Omega A)$ est perpendiculaire au plan $(P)$. (0,5 pt)
   2. Soit $(S)$ l'ensemble des points $M(x,y,z)$ de l'espace vérifiant : $x^2+y^2+z^2+2x-2y+4z-3=0$. (a) Montrer que $(S)$ est une sphère de centre $\Omega$ et déterminer son rayon. (0,5 pt) (b) Montrer que $(P)$ coupe $(S)$ suivant un cercle de centre $A$ puis déterminer son rayon. (0,5 pt)
   3. Soit $(Q_m)$ un plan d'équation $x+y+mz-2=0$, où $m$ est un nombre réel. (a) Vérifier que $A$ est un point du plan $(Q_m)$, pour tout $m$ de $\mathbb{R}$. (0,25 pt) (b) Déterminer la valeur du réel $m$ pour que $(Q_m)$ soit perpendiculaire au plan $(P)$. (0,5 pt) (c) Existe-t-il un plan $(Q_m)$ qui coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle de centre $A$ ? Justifier. (0,25 pt)
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   1. (a) $1+0-1=0$, donc $A(1,1,0)\in (P)$. D'après l'équation $x+0y+z-1=0$, le vecteur $\overrightarrow{n}(1,0,1)$ est normal à $(P)$. (b) $\overrightarrow{\Omega A}(1-(-1),1-1,0-(-2))=(2,0,2)=2\overrightarrow{n}$. Le vecteur $\overrightarrow{\Omega A}$ est colinéaire au vecteur normal $\overrightarrow{n}$ de $(P)$, donc la droite $(\Omega A)$ est perpendiculaire au plan $(P)$.
   2. (a) $x^2+2x+y^2-2y+z^2+4z-3=0<\Rightarrow (x+1{)}^2-1+(y-1{)}^2-1+(z+2{)}^2-4-3=0<\Rightarrow (x+1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=9$. Donc $(S)$ est la sphère de centre $\Omega (-1,1,-2)$ et de rayon $R=3$. (b) $d(\Omega ,(P))=|-1+(-2)-1\frac{|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$. Comme $2\sqrt{2}=\sqrt{8}<3=R$, le plan $(P)$ coupe $(S)$ suivant un cercle dont le centre est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(P)$. Or $A\in (P)$ et $(\Omega A)\perp (P)$ (question 1), donc ce projeté est $A$ : le cercle a pour centre $A$, et pour rayon $r=\sqrt{R^2-d(\Omega ,(P){)}^2}=\sqrt{9-8}=1$.
   3. (a) $1+1+m\times 0-2=0$ pour tout réel $m$, donc $A\in (Q_m)$ pour tout $m\in \mathbb{R}$. (b) $(Q_m)$ a pour vecteur normal ${\overrightarrow{n}}_m(1,1,m)$. Les plans $(Q_m)$ et $(P)$ sont perpendiculaires si et seulement si ${\overrightarrow{n}}_m\cdot \overrightarrow{n}=0<\Rightarrow 1\times 1+1\times 0+m\times 1=0<\Rightarrow m=-1$. (c) Un plan $(Q_m)$ (qui contient $A$) coupe $(S)$ suivant un cercle de centre $A$ si et seulement si $A$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(Q_m)$, c'est-à-dire si et seulement si $\overrightarrow{\Omega A}(2,0,2)$ est colinéaire à ${\overrightarrow{n}}_m(1,1,m)$. Or la deuxième coordonnée de $\overrightarrow{\Omega A}$ est nulle alors que celle de ${\overrightarrow{n}}_m$ vaut $1$ : ces vecteurs ne sont jamais colinéaires. Il n'existe donc aucun plan $(Q_m)$ coupant $(S)$ suivant un cercle de centre $A$.

2. Exercice 2Nombres complexes4 pts

   Chapitres : Nombres complexes (partie 1) · Nombres complexes (partie 2) · Nombres complexes (introduction)

   I) On considère dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation $(E):z^2-4z+9=0$.

   1. Vérifier que le discriminant de l'équation $(E)$ est $\Delta =(2i\sqrt{5}{)}^2$. (0,25 pt)
   2. Résoudre l'équation $(E)$. (0,5 pt)

   II) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=2+i\sqrt{5}$, $b=2-i\sqrt{5}$ et $c=2-\sqrt{5}$.

   1. (a) Vérifier que $|a|=3$. (0,25 pt) (b) Montrer que le triangle $OAB$ est isocèle. (0,25 pt)
   2. (a) Vérifier que $\frac{a-c}{b-c}=i$. (0,5 pt) (b) Déduire la nature du triangle $ABC$. (0,5 pt)
   3. (a) Déterminer l'affixe du point $D$ image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CA}$. (0,5 pt) (b) Montrer que $ADBC$ est un carré. (0,5 pt)
   4. On pose $x_n=(\frac{a}{3}{)}^n$ et $y_n=\frac{1}{1-x_n}$, avec $n$ un entier naturel non nul. (a) Vérifier que $x_n\overline{x_n}=1$. (0,25 pt) (b) Montrer que $y_n+\overline{y_n}=1$ puis déduire la partie réelle de $y_n$. (0,5 pt)
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   I)

   1. $\Delta =(-4{)}^2-4\times 1\times 9=16-36=-20$. Et $(2i\sqrt{5}{)}^2=4i^2\times 5=-20$. Donc $\Delta =(2i\sqrt{5}{)}^2$.
   2. $\Delta <0$ : l'équation admet deux solutions complexes conjuguées $z_1=\frac{4+2i\sqrt{5}}{2}=2+i\sqrt{5}$ et $z_2=\frac{4-2i\sqrt{5}}{2}=2-i\sqrt{5}$. Donc $S=2+i\sqrt{5},2-i\sqrt{5}$.

   II)

   1. (a) $|a|=\sqrt{2^2+(\sqrt{5}{)}^2}=\sqrt{4+5}=3$. (b) $b=\overline{a}$, donc $OB=|b|=|\overline{a}|=|a|=OA=3$. Le triangle $OAB$ est isocèle en $O$.
   2. (a) $a-c=2+i\sqrt{5}-2+\sqrt{5}=\sqrt{5}(1+i)$ et $b-c=\sqrt{5}(1-i)$. Donc $\frac{a-c}{b-c}=\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i{)}^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i$. (b) $|\frac{a-c}{b-c}|=|i|=1$, donc $CA=CB$ ; et $(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})\equiv arg(\frac{a-c}{b-c})\equiv \frac{\pi }{2}[2\pi ]$. Le triangle $ABC$ est donc isocèle et rectangle en $C$.
   3. (a) $D$ est l'image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{CA}$, donc $d=b+(a-c)=2-i\sqrt{5}+\sqrt{5}(1+i)=2+\sqrt{5}$. (b) Par construction $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CA}$, donc le quadrilatère $ADBC$ (de sommets $A$, $D$, $B$, $C$ dans cet ordre) est un parallélogramme (ses côtés $[CA]$ et $[BD]$ sont parallèles et de même longueur). D'après 2)(b), ce parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux ($CA=CB$) et un angle droit en $C$ : c'est un carré.
   4. (a) $x_n\overline{x_n}=|x_n{|}^2=(|a\frac{|}{3}{)}^{2n}=(\frac{3}{3}{)}^{2n}=1$. (b) $\overline{y_n}=\frac{1}{1-\overline{x_n}}$, donc $y_n+\overline{y_n}=\frac{1}{1-x_n}+\frac{1}{1-\overline{x_n}}=\frac{1-\overline{x_n}+1-x_n}{(1-x_n)(1-\overline{x_n})}=\frac{2-x_n-\overline{x_n}}{1-x_n-\overline{x_n}+x_n\overline{x_n}}=\frac{2-x_n-\overline{x_n}}{2-x_n-\overline{x_n}}=1$ (en utilisant $x_n\overline{x_n}=1$). Comme $y_n+\overline{y_n}=2\mathrm{Re}(y_n)$, on obtient $\mathrm{Re}(y_n)=\frac{1}{2}$.

3. Exercice 3Calcul des probabilités2 pts

   Chapitres : Dénombrement et probabilités · Dénombrement et probabilités

   Une urne contient huit boules : quatre boules blanches, trois boules noires et une boule verte. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard successivement et sans remise trois boules de l'urne.

   1. Vérifier que le nombre de tirages possibles est égal à $336$. (0,25 pt)
   2. Calculer la probabilité de l'évènement $A$ : « Tirer trois boules blanches ». (0,5 pt)
   3. Montrer que la probabilité de l'évènement $B$ : « Tirer trois boules de même couleur » est $p(B)=\frac{5}{56}$. (0,75 pt)
   4. Calculer la probabilité de l'évènement $C$ : « Obtenir au moins deux couleurs différentes ». (0,5 pt)
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   Les tirages sont successifs et sans remise : un tirage est un arrangement de $3$ boules parmi $8$, et tous les tirages sont équiprobables.

   1. Nombre de tirages : $A_8^3=8\times 7\times 6=336$.
   2. $A$ : trois boules blanches parmi les quatre, dans l'ordre : $4\times 3\times 2=24$ tirages. $p(A)=\frac{24}{336}=\frac{1}{14}$.
   3. $B$ = « trois blanches » ou « trois noires » (il n'y a qu'une boule verte). Trois noires : $3\times 2\times 1=6$ tirages. Donc $p(B)=\frac{24+6}{336}=\frac{30}{336}=\frac{5}{56}$.
   4. $C$ est l'évènement contraire de $B$ (au moins deux couleurs différentes, c'est-à-dire pas toutes de la même couleur). $p(C)=1-p(B)=1-\frac{5}{56}=\frac{51}{56}$.

4. Exercice 4Problème d'analyse11 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Fonctions logarithmiques · Suites numériques · Limites et continuité · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral · Fonctions exponentielles · Fonctions logarithmiques · Suites numériques · Limites et continuité · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral

   Partie I. La figure ci-contre représente les courbes $({\mathcal{C}}_g)$ et $({\mathcal{C}}_h)$ des fonctions $g:x\to .bar\frac{x}{1+x}$ et $h:x\to .bar\ln (1+x)$ sur l'intervalle $]-1,+\infty [$ et la droite d'équation $y=x$, dans un même repère orthonormé. [Figure : repère orthonormé gradué de $-1$ à $8$ en abscisses et de $-4$ à $5$ en ordonnées. Les trois courbes passent par l'origine $O$ et y ont la même tangente. Sur $]-1,+\infty [$, la droite $y=x$ est au-dessus de $({\mathcal{C}}_h)$ (tracée en pointillés, croissante, passant par $(e-1,1)$), elle-même au-dessus de $({\mathcal{C}}_g)$ (tracée en trait plein, croissante, tendant vers $1$ en $+\infty$) ; les trois courbes ne se touchent qu'en $O$. Au voisinage de $-1$, $({\mathcal{C}}_g)$ et $({\mathcal{C}}_h)$ tendent vers $-\infty$.]

   1. (a) À partir de cette figure, justifier que : $\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x$, pour tout $x$ de $]-1,+\infty [$. (0,5 pt) (b) En déduire que $(1+x)\ln (1+x)-x\ge 0$, pour tout $x$ de $]-1,+\infty [$. (0,25 pt) (c) Prouver que $e^x-(1+e^x)\ln (1+e^x)\le 0$, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$. (0,5 pt)
   2. Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0=1$ et la relation $u_{n+1}=g(u_n)$, pour tout $n\in \mathbb{N}$. (a) Montrer par récurrence que $0<u_n\le 1$, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (0,5 pt) (b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante. (On peut utiliser la question 1) a).) (0,5 pt) (c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. (0,25 pt) (d) Déterminer la limite de $(u_n)$. (0,75 pt)

   Partie II. On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{-x}\ln (1+e^x)$. Soit $({\mathcal{C}}_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

   1. (a) Calculer $f(0)$ et vérifier que $f(x)>0$, pour tout $x\in \mathbb{R}$. (0,5 pt) (b) Montrer que ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=1$ puis donner une interprétation géométrique de ce résultat. (0,5 pt) (c) Montrer que ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$, puis donner une interprétation géométrique de ce résultat. (0,5 pt)
   2. (a) Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+e^x}-e^{-x}\ln (1+e^x)$. (0,5 pt) (b) Vérifier que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f^{\prime }(x)=\frac{e^x-(1+e^x)\ln (1+e^x)}{e^x(1+e^x)}$. (0,5 pt) (c) Déduire que $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. (On peut utiliser la question 1) c) de la partie I.) (0,5 pt)
   3. (a) Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $({\mathcal{C}}_f)$ au point d'abscisse $0$. (0,5 pt) (b) Vérifier que la tangente $(T)$ passe par le point $A(1,\frac{1}{2})$. (0,25 pt) (c) Construire $(T)$ et la courbe $({\mathcal{C}}_f)$ dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. (On prend $\ln 2\approx 0,7$.) (0,75 pt)
   4. (a) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera. (Il n'est pas demandé de déterminer $f^{-1}(x)$.) (0,5 pt) (b) Vérifier que $f^{-1}$ est dérivable en $\ln 2$ et calculer $(f^{-1}{)}^{\prime }(\ln 2)$. (0,5 pt)
   5. Soit $\lambda$ un réel strictement positif. (a) Vérifier que $\frac{1}{1+e^x}=\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$. (0,25 pt) (b) Montrer que ${\int }_0^{\lambda }\frac{1}{1+e^x}\mathrm{d}x=\ln (2)-\ln (1+e^{-\lambda })$. (0,5 pt) (c) Montrer que ${\int }_0^{\lambda }f(x)\mathrm{d}x=\ln (2)-f(\lambda )+{\int }_0^{\lambda }\frac{1}{1+e^x}\mathrm{d}x$. (Remarquer que $f(x)=\frac{1}{1+e^x}-f^{\prime }(x)$.) (0,5 pt) (d) Déduire en fonction de $\lambda$, l'aire ${\mathcal{A}}_{\lambda }$ de la partie du plan délimitée par la courbe $({\mathcal{C}}_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=\lambda$. (0,5 pt) (e) Calculer ${\lim }_{\lambda \to +\infty }{\mathcal{A}}_{\lambda }$. (0,5 pt)
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   Partie I.

   1. (a) Sur la figure, pour tout $x$ de $]-1,+\infty [$, la courbe $({\mathcal{C}}_g)$ est au-dessous de $({\mathcal{C}}_h)$, elle-même au-dessous de la droite $y=x$ (les trois se touchent seulement en $O$). Donc $g(x)\le h(x)\le x$, soit $\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x$ pour tout $x\in ]-1,+\infty [$. (b) Pour $x>-1$, $1+x>0$ ; en multipliant l'inégalité $\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)$ par $1+x>0$ : $x\le (1+x)\ln (1+x)$, soit $(1+x)\ln (1+x)-x\ge 0$. (c) Pour tout réel $x$, $e^x>0>-1$, donc on peut appliquer (b) à $e^x$ : $(1+e^x)\ln (1+e^x)-e^x\ge 0$, c'est-à-dire $e^x-(1+e^x)\ln (1+e^x)\le 0$.
   2. (a) Initialisation : $u_0=1$, donc $0<u_0\le 1$. Hérédité : supposons $0<u_n\le 1$. Alors $1+u_n>0$ et $u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}>0$ ; de plus $u_n<1+u_n$ donc $u_{n+1}=\frac{u_n}{1+u_n}<1$. Ainsi $0<u_{n+1}\le 1$. Conclusion : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0<u_n\le 1$. (b) $u_{n+1}-u_n=g(u_n)-u_n$. D'après 1)(a), pour tout $x>-1$ : $\frac{x}{1+x}\le x$, donc $g(u_n)\le u_n$ (car $u_n>-1$). Ainsi $u_{n+1}-u_n\le 0$ : la suite $(u_n)$ est décroissante. (c) $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$, donc elle converge (théorème de convergence des suites monotones). (d) Soit $l=\lim u_n$ ; comme $0<u_n\le 1$, $l\in [0,1]$. La fonction $g$ est continue sur $[0,1]$ et $u_{n+1}=g(u_n)$, donc $l$ vérifie $g(l)=l$ : $\frac{l}{1+l}=l<\Rightarrow l=l(1+l)<\Rightarrow l^2=0<\Rightarrow l=0$. Donc ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=0$. (On peut aussi vérifier par récurrence que $u_n=\frac{1}{n+1}$.)

   Partie II.

   1. (a) $f(0)=e^0\ln (1+e^0)=\ln 2$. Pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $e^{-x}>0$ et $1+e^x>1$ donc $\ln (1+e^x)>0$ ; ainsi $f(x)>0$. (b) Posons $t=e^x$ ; quand $x\to -\infty$, $t\to 0^{+}$ et $f(x)=\ln (1+t)/t$. Or ${\lim }_{t\to 0}\ln (1+t)/t=1$ (limite usuelle, nombre dérivé de $t\to .bar\ln (1+t)$ en $0$). Donc ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=1$. Interprétation : la droite d'équation $y=1$ est asymptote horizontale à $({\mathcal{C}}_f)$ au voisinage de $-\infty$. (c) Pour tout $x$ : $1+e^x=e^x(1+e^{-x})$, donc $\ln (1+e^x)=x+\ln (1+e^{-x})$ et $f(x)=x{e}^{-x}+e^{-x}\ln (1+e^{-x})$. Quand $x\to +\infty$ : $x{e}^{-x}=\frac{x}{e^x}\to 0$ (croissances comparées), $e^{-x}\to 0$ et $\ln (1+e^{-x})\to \ln 1=0$. Donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$. Interprétation : l'axe des abscisses (droite $y=0$) est asymptote horizontale à $({\mathcal{C}}_f)$ au voisinage de $+\infty$.
   2. (a) $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables. $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$ et $(\ln (1+e^x){)}^{\prime }=\frac{e^x}{1+e^x}$, donc $f^{\prime }(x)=-e^{-x}\ln (1+e^x)+e^{-x}\times \frac{e^x}{1+e^x}=\frac{1}{1+e^x}-e^{-x}\ln (1+e^x)$. (b) En réduisant au même dénominateur $e^x(1+e^x)$ : $\frac{1}{1+e^x}=\frac{e^x}{e^x(1+e^x)}$ et $e^{-x}\ln (1+e^x)=\frac{(1+e^x)\ln (1+e^x)}{e^x(1+e^x)}$. Donc $f^{\prime }(x)=\frac{e^x-(1+e^x)\ln (1+e^x)}{e^x(1+e^x)}$. (c) Le dénominateur $e^x(1+e^x)$ est strictement positif. D'après la question 1)(c) de la partie I, le numérateur $e^x-(1+e^x)\ln (1+e^x)$ est négatif ou nul ; il est en fait strictement négatif : l'égalité $(1+t)\ln (1+t)=t$ n'a lieu que pour $t=0$ (sur la figure, $({\mathcal{C}}_g)$ et $({\mathcal{C}}_h)$ ne se touchent qu'en $O$), et $t=e^x\ne 0$. Donc $f^{\prime }(x)<0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
   3. (a) $(T):y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)$ avec $f(0)=\ln 2$ et $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}-\ln 2$. Donc $(T):y=(\frac{1}{2}-\ln 2)x+\ln 2$. (b) Pour $x=1$ : $y=\frac{1}{2}-\ln 2+\ln 2=\frac{1}{2}$. Donc $A(1,\frac{1}{2})\in (T)$. (c) Construction : $(T)$ passe par $(0;0,7)$ et $(1;0,5)$. La courbe $({\mathcal{C}}_f)$ est strictement décroissante, au-dessus de l'axe des abscisses, avec les asymptotes $y=1$ en $-\infty$ et $y=0$ en $+\infty$ ; elle passe par $(0;0,7)$ où elle est tangente à $(T)$, par $(1;0,48)$ environ et $(2;0,29)$ environ, et par $(-2;0,94)$ environ.
   4. (a) $f$ est continue et strictement décroissante sur $\mathbb{R}$, donc elle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $J=f(\mathbb{R})=]{\lim }_{x\to +\infty }f(x),{\lim }_{x\to -\infty }f(x)[=]0,1[$. Ainsi $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J=]0,1[$. (b) $\ln 2=f(0)$ et $f$ est dérivable en $0$ avec $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}-\ln 2\ne 0$ (car $\ln 2\approx 0,69\ne 0,5$). Donc $f^{-1}$ est dérivable en $\ln 2$ et $(f^{-1}{)}^{\prime }(\ln 2)=\frac{1}{f^{\prime }(0)}=\frac{1}{\frac{1}{2}-\ln 2}=\frac{2}{1-2\ln 2}$.
   5. (a) En multipliant numérateur et dénominateur par $e^{-x}>0$ : $\frac{1}{1+e^x}=\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}=\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$. (b) La fonction $x\to .bar1+e^{-x}$ est strictement positive et a pour dérivée $-e^{-x}$, donc $x\to .bar-\ln (1+e^{-x})$ est une primitive de $x\to .bar\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$. Ainsi ${\int }_0^{\lambda }\frac{1}{1+e^x}\mathrm{d}x={\int }_0^{\lambda }\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\mathrm{d}x=[-\ln (1+e^{-x}){]}_0^{\lambda }=-\ln (1+e^{-\lambda })+\ln 2=\ln (2)-\ln (1+e^{-\lambda })$. (c) D'après 2)(a), $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+e^x}-f(x)$, donc $f(x)=\frac{1}{1+e^x}-f^{\prime }(x)$ pour tout $x$. Par linéarité de l'intégrale : ${\int }_0^{\lambda }f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\lambda }\frac{1}{1+e^x}\mathrm{d}x-{\int }_0^{\lambda }{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\lambda }\frac{1}{1+e^x}\mathrm{d}x-[f(x){]}_0^{\lambda }={\int }_0^{\lambda }\frac{1}{1+e^x}\mathrm{d}x-f(\lambda )+f(0)$, soit ${\int }_0^{\lambda }f(x)\mathrm{d}x=\ln (2)-f(\lambda )+{\int }_0^{\lambda }\frac{1}{1+e^x}\mathrm{d}x$. (d) Comme $f>0$ sur $[0,\lambda ]$, l'aire cherchée est, en unités d'aire, ${\mathcal{A}}_{\lambda }={\int }_0^{\lambda }f(x)\mathrm{d}x$. D'après (b) et (c) : ${\mathcal{A}}_{\lambda }=\ln 2-f(\lambda )+\ln 2-\ln (1+e^{-\lambda })=2\ln 2-e^{-\lambda }\ln (1+e^{\lambda })-\ln (1+e^{-\lambda })$. (e) Quand $\lambda \to +\infty$ : $f(\lambda )\to 0$ (question 1)(c)) et $e^{-\lambda }\to 0$ donc $\ln (1+e^{-\lambda })\to 0$. Ainsi ${\lim }_{\lambda \to +\infty }{\mathcal{A}}_{\lambda }=2\ln 2=\ln 4$.