Suites numériques, géométrie dans l'espace, nombres complexes, calcul des probabilités et étude de fonctions numériques et calcul intégral

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Suites numériques3 pts

   Chapitres : Suites numériques · Suites numériques

   On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0=4$ et $u_{n+1}=\frac{4u_n-2}{1+u_n}$, pour tout entier naturel $n$.

   1. (a) Vérifier que $u_{n+1}=4-\frac{6}{1+u_n}$, pour tout entier naturel $n$. (0,25 pt) (b) Montrer par récurrence que $2\le u_n\le 4$, pour tout entier naturel $n$. (0,5 pt)
   2. (a) Montrer que $u_{n+1}-u_n=\frac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}$, pour tout entier naturel $n$. (0,25 pt) (b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et en déduire que $(u_n)$ est convergente. (0,5 pt)
   3. Soit $(v_n)$ la suite numérique définie par $v_n=\frac{2-u_n}{1-u_n}$, pour tout entier naturel $n$. (a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{2}{3}$. (0,5 pt) (b) Montrer que $u_n=1+\frac{1}{1-(\frac{2}{3}{)}^{n+1}}$, pour tout entier naturel $n$. (0,5 pt) (c) Calculer la limite de la suite $(u_n)$. (0,5 pt)
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   1. (a) Pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $4-\frac{6}{1+u_n}=\frac{4(1+u_n)-6}{1+u_n}=\frac{4u_n-2}{1+u_n}=u_{n+1}$. (b) Initialisation : $u_0=4$, donc $2\le u_0\le 4$. Hérédité : supposons $2\le u_n\le 4$ pour un entier $n$. Alors $3\le 1+u_n\le 5$, donc $\frac{6}{5}\le \frac{6}{1+u_n}\le 2$ (la fonction inverse est décroissante sur $]0,+\infty [$), d'où $4-2\le 4-\frac{6}{1+u_n}\le 4-\frac{6}{5}$, c'est-à-dire $2\le u_{n+1}\le \frac{14}{5}\le 4$. Conclusion : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $2\le u_n\le 4$.
   2. (a) $u_{n+1}-u_n=\frac{4u_n-2}{1+u_n}-u_n=\frac{4u_n-2-u_n-u_n^2}{1+u_n}=\frac{-u_n^2+3u_n-2}{1+u_n}$. Or $(u_n-1)(2-u_n)=2u_n-u_n^2-2+u_n=-u_n^2+3u_n-2$. Donc $u_{n+1}-u_n=\frac{(u_n-1)(2-u_n)}{1+u_n}$. (b) D'après 1)(b), $2\le u_n\le 4$, donc $u_n-1>0$, $2-u_n\le 0$ et $1+u_n>0$ : $u_{n+1}-u_n\le 0$ pour tout $n$. La suite $(u_n)$ est décroissante. Elle est décroissante et minorée par $2$, donc elle est convergente (théorème de convergence des suites monotones).
   3. (a) Comme $u_n\ge 2$, $1-u_n\ne 0$ et $v_n$ est bien défini. Pour tout $n$ : $2-u_{n+1}=2-\frac{4u_n-2}{1+u_n}=\frac{2+2u_n-4u_n+2}{1+u_n}=\frac{4-2u_n}{1+u_n}=\frac{2(2-u_n)}{1+u_n}$ et $1-u_{n+1}=\frac{1+u_n-4u_n+2}{1+u_n}=\frac{3-3u_n}{1+u_n}=\frac{3(1-u_n)}{1+u_n}$. Donc $v_{n+1}=\frac{2-u_{n+1}}{1-u_{n+1}}=\frac{2(2-u_n)}{3(1-u_n)}=\frac{2}{3}{v}_n$. $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{2}{3}$, de premier terme $v_0=\frac{2-4}{1-4}=\frac{2}{3}$. (b) Pour tout $n$ : $v_n=v_0(\frac{2}{3}{)}^n=(\frac{2}{3}{)}^{n+1}$. De $v_n=\frac{2-u_n}{1-u_n}$ on tire $v_n(1-u_n)=2-u_n$, soit $u_n(1-v_n)=2-v_n$. Comme $v_n\ne 1$ (car $0<v_n<1$), $u_n=\frac{2-v_n}{1-v_n}=\frac{1+(1-v_n)}{1-v_n}=1+\frac{1}{1-v_n}$, donc $u_n=1+\frac{1}{1-(\frac{2}{3}{)}^{n+1}}$. (c) Comme $-1<\frac{2}{3}<1$, ${\lim }_{n\to +\infty }(\frac{2}{3}{)}^{n+1}=0$, donc ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=1+\frac{1}{1-0}=2$.

2. Exercice 2Géométrie dans l'espace3 pts

   Chapitre : Géométrie dans l'espace

   Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les deux points $A(-1,0,-1)$ et $B(1,2,-1)$, le plan $(P)$ passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}(2,-2,1)$ et la sphère $(S)$ de centre $\Omega (2,-1,0)$ et de rayon $5$.

   1. Montrer que $2x-2y+z+3=0$ est une équation cartésienne du plan $(P)$. (0,25 pt)
   2. Déterminer une équation cartésienne de la sphère $(S)$. (0,25 pt)
   3. (a) Vérifier que la distance du point $\Omega$ au plan $(P)$ est $d(\Omega ,(P))=3$. (0,5 pt) (b) En déduire que le plan $(P)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(\Gamma )$ de rayon à déterminer. (0,5 pt)
   4. (a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\Delta )$ passant par $\Omega$ et perpendiculaire au plan $(P)$. (0,5 pt) (b) Montrer que le point $H(0,1,-1)$ est le centre du cercle $(\Gamma )$. (0,5 pt) (c) Montrer que la droite $(\Delta )$ est une médiatrice du segment $[AB]$. (0,5 pt)
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   1. Le plan $(P)$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{n}(2,-2,1)$, donc une équation de la forme $2x-2y+z+d=0$. Comme $A(-1,0,-1)\in (P)$ : $-2-0-1+d=0$, d'où $d=3$. Ainsi $(P):2x-2y+z+3=0$.
   2. $M(x,y,z)\in (S)<\Rightarrow \Omega M=5<\Rightarrow (x-2{)}^2+(y+1{)}^2+z^2=25$, soit $x^2+y^2+z^2-4x+2y-20=0$.
   3. (a) $d(\Omega ,(P))=|2\times 2-2\times (-1)+0+3\frac{|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=|9\frac{|}{\sqrt{9}}=\frac{9}{3}=3$. (b) Comme $d(\Omega ,(P))=3<5=R$, le plan $(P)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(\Gamma )$ de rayon $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-9}=4$.
   4. (a) $(\Delta )$ passe par $\Omega (2,-1,0)$ et est dirigée par $\overrightarrow{n}(2,-2,1)$ (vecteur normal à $(P)$) : $(\Delta ):\{\begin{array}{l}x=2+2ty=-1-2tz=t\end{array}(t\in \mathbb{R})$. (b) Le centre du cercle $(\Gamma )$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(P)$, c'est-à-dire le point d'intersection de $(\Delta )$ et $(P)$. On remplace dans l'équation de $(P)$ : $2(2+2t)-2(-1-2t)+t+3=0<\Rightarrow 9t+9=0<\Rightarrow t=-1$, ce qui donne le point $(0,1,-1)=H$. Donc $H$ est le centre de $(\Gamma )$. (c) Le milieu de $[AB]$ est $(\frac{-1+1}{2},\frac{0+2}{2},\frac{-1-1}{2})=(0,1,-1)=H$, qui appartient à $(\Delta )$. De plus $\overrightarrow{AB}(2,2,0)$ et $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{n}=4-4+0=0$, donc $(\Delta )$ est perpendiculaire à $(AB)$. La droite $(\Delta )$ passe par le milieu de $[AB]$ et lui est perpendiculaire : c'est une médiatrice du segment $[AB]$.

3. Exercice 3Nombres complexes4 pts

   Chapitres : Nombres complexes (partie 1) · Nombres complexes (partie 2) · Nombres complexes (introduction)

   Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a=\sqrt{3}(1-i)$ et $b=2+\sqrt{3}+i$.

   1. Vérifier que $|a|=\sqrt{6}$ et que $arg(a)\equiv \frac{-\pi }{4}[2\pi ]$. (0,5 pt)
   2. (a) Montrer que $\frac{b}{a}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}+(\frac{1+\sqrt{3}}{2})i$ puis vérifier que $\frac{b}{a}=\frac{3+\sqrt{3}}{3}{e}^{i\frac{\pi }{3}}$. (0,75 pt) (b) En déduire une forme trigonométrique du complexe $b$ puis vérifier que $b^{24}$ est un nombre réel. (0,75 pt)
   3. Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi }{6}$, qui transforme chaque point $M$ du plan d'affixe $z$ en un point $M^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }$. On pose $R(B)=B^{\prime }$, $R(A)=A^{\prime }$ et $R(A^{\prime })=A^{\prime \prime }$. (a) Vérifier que $z^{\prime }=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)z$ et que $arg(a^{\prime })\equiv \frac{-\pi }{12}[2\pi ]$ où $a^{\prime }$ est l'affixe du point $A^{\prime }$. (0,5 pt) (b) Montrer que l'affixe du point $A^{\prime \prime }$ est $a^{\prime \prime }=\sqrt{6}{e}^{i\frac{\pi }{12}}$ et en déduire que les points $O$, $A^{\prime \prime }$ et $B$ sont alignés. (0,5 pt) (c) Montrer que $b^{\prime }$, l'affixe du point $B^{\prime }$, vérifie $b^{\prime }=(\frac{3+\sqrt{3}}{3})\overline{a}$. (0,5 pt) (d) En déduire que le triangle $OA{B}^{\prime }$ est rectangle en $O$. (0,5 pt)
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   1. $|a|=\sqrt{3}|1-i|=\sqrt{3}\sqrt{2}=\sqrt{6}$. Puis $a=\sqrt{6}(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{6}(\cos (\frac{-\pi }{4})+i\sin (\frac{-\pi }{4}))$, donc $arg(a)\equiv \frac{-\pi }{4}[2\pi ]$.
   2. (a) $\frac{b}{a}=\frac{2+\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}(1-i)}=\frac{(2+\sqrt{3}+i)(1+i)}{\sqrt{3}(1-i)(1+i)}=\frac{2+\sqrt{3}+i+2i+\sqrt{3}i-1}{2\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{3}+(3+\sqrt{3})i}{2\sqrt{3}}$. Or $\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}+3}{6}$ et $\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}+3}{6}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$. Donc $\frac{b}{a}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}+(\frac{1+\sqrt{3}}{2})i$. Ensuite $\frac{3+\sqrt{3}}{3}{e}^{i\frac{\pi }{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3}(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{3+\sqrt{3}}{6}+\frac{3\sqrt{3}+3}{6}i=\frac{3+\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}+1}{2}i=\frac{b}{a}$. (b) $b=a\times \frac{b}{a}=\sqrt{6}{e}^{-i\frac{\pi }{4}}\times \frac{3+\sqrt{3}}{3}{e}^{i\frac{\pi }{3}}=\frac{\sqrt{6}(3+\sqrt{3})}{3}{e}^{i(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4})}=(\sqrt{6}+\sqrt{2})e^{i\frac{\pi }{12}}$ (car $\frac{\sqrt{6}(3+\sqrt{3})}{3}=\sqrt{6}+\frac{\sqrt{18}}{3}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$). Donc $b=(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\cos (\frac{\pi }{12})+i\sin (\frac{\pi }{12}))$. Alors $b^{24}=(\sqrt{6}+\sqrt{2}{)}^{24}{e}^{i24\frac{\pi }{12}}=(\sqrt{6}+\sqrt{2}{)}^{24}{e}^{2i\pi }=(\sqrt{6}+\sqrt{2}{)}^{24}$, qui est un nombre réel.
   3. (a) L'écriture complexe de la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi }{6}$ est $z^{\prime }=e^{i\frac{\pi }{6}}z=(\cos (\frac{\pi }{6})+i\sin (\frac{\pi }{6}))z=(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)z=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)z$. Ainsi $a^{\prime }=e^{i\frac{\pi }{6}}a$, donc $arg(a^{\prime })\equiv arg(a)+\frac{\pi }{6}\equiv \frac{-\pi }{4}+\frac{\pi }{6}\equiv \frac{-\pi }{12}[2\pi ]$. (b) $a^{\prime \prime }=e^{i\frac{\pi }{6}}{a}^{\prime }=e^{i\frac{\pi }{6}}{e}^{i\frac{\pi }{6}}a=e^{i\frac{\pi }{3}}\sqrt{6}{e}^{-i\frac{\pi }{4}}=\sqrt{6}{e}^{i(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4})}=\sqrt{6}{e}^{i\frac{\pi }{12}}$. D'après 2)(b), $b=(\sqrt{6}+\sqrt{2})e^{i\frac{\pi }{12}}$, donc $a^{\prime \prime }/b=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\in \mathbb{R}$ : les vecteurs $\overrightarrow{O{A}^{\prime \prime }}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont colinéaires, donc les points $O$, $A^{\prime \prime }$ et $B$ sont alignés. (c) $b^{\prime }=e^{i\frac{\pi }{6}}b=e^{i\frac{\pi }{6}}\times a\times \frac{b}{a}=e^{i\frac{\pi }{6}}\times \frac{3+\sqrt{3}}{3}{e}^{i\frac{\pi }{3}}\times a=\frac{3+\sqrt{3}}{3}{e}^{i\frac{\pi }{2}}a=\frac{3+\sqrt{3}}{3}ia$. Or $ia=i\sqrt{3}(1-i)=\sqrt{3}(i+1)=\sqrt{3}(1+i)=\overline{a}$. Donc $b^{\prime }=(\frac{3+\sqrt{3}}{3})\overline{a}$. (d) D'après (c), $b^{\prime }/a=\frac{3+\sqrt{3}}{3}i$, donc $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{O{B}^{\prime }})\equiv arg(b^{\prime }/a)\equiv \frac{\pi }{2}[2\pi ]$. Les droites $(OA)$ et $(O{B}^{\prime })$ sont perpendiculaires : le triangle $OA{B}^{\prime }$ est rectangle en $O$.

4. Exercice 4Calcul des probabilités2 pts

   Chapitres : Dénombrement et probabilités · Dénombrement et probabilités

   Une urne contient sept boules : quatre boules portant le numéro 1, deux boules portant le numéro 2 et une boule portant le numéro 3. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire simultanément au hasard deux boules de cette urne.

   1. Montrer que $p(A)=\frac{1}{3}$, où $A$ est l'évènement « les deux boules tirées portent le même numéro ». (0,5 pt)
   2. Montrer que $p(B)=\frac{5}{21}$, où $B$ est l'évènement « la somme des numéros des boules tirées est 4 ». (0,5 pt)
   3. Calculer $p(A\cap B)$. (0,5 pt)
   4. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier. (0,5 pt)
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   Le tirage est simultané : l'univers est l'ensemble des combinaisons de $2$ boules parmi $7$, équiprobables, de cardinal $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)=21$.

   1. $A$ est réalisé si les deux boules portent le numéro $1$ ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ tirages) ou le numéro $2$ ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)=1$ tirage) ; il n'y a qu'une boule numérotée $3$. Donc $p(A)=\frac{6+1}{21}=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$.
   2. La somme vaut $4$ pour les tirages $(1,3)$ : $4\times 1=4$ tirages, et $(2,2)$ : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)=1$ tirage. Donc $p(B)=\frac{4+1}{21}=\frac{5}{21}$.
   3. $A\cap B$ : mêmes numéros et somme $4$, donc les deux boules portent le numéro $2$ : $1$ tirage. $p(A\cap B)=\frac{1}{21}$.
   4. $p(A)\times p(B)=\frac{1}{3}\times \frac{5}{21}=\frac{5}{63}\ne \frac{1}{21}=p(A\cap B)$. Les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

5. Exercice 5Problème d'analyse8 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Fonctions logarithmiques · Limites et continuité · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral · Fonctions exponentielles · Fonctions logarithmiques · Limites et continuité · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral

   Partie I. On considère les deux fonctions $u$ et $v$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $u(x)=e^x$ et $v(x)=x$.

   1. Tracer dans un même repère orthonormé les courbes $({\mathcal{C}}_u)$ et $({\mathcal{C}}_v)$ des fonctions $u$ et $v$. (0,5 pt)
   2. Justifier graphiquement que $e^x-x>0$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$. (0,25 pt)
   3. Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $({\mathcal{C}}_u)$, la courbe $({\mathcal{C}}_v)$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. (0,5 pt)

   Partie II. On considère la fonction numérique $f$ définie par $f(x)=x+1-\ln (e^x-x)$.

   1. (a) Vérifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. (0,25 pt) (b) Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=1-\ln (1-x{e}^{-x})$. (0,5 pt) (c) En déduire que ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$, puis interpréter géométriquement ce résultat. (0,5 pt)
   2. (a) Calculer ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$. (0,25 pt) (b) Vérifier que pour tout $x<0$, $f(x)=x+1-\ln (-x)-\ln (1-\frac{1}{x{e}^{-x}})$. (0,5 pt) (c) Calculer ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)/x$ puis déduire que la courbe $({\mathcal{C}}_f)$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y=x$ au voisinage de $-\infty$. (0,75 pt)
   3. (a) Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f^{\prime }(x)=\frac{1-x}{e^x-x}$. (0,5 pt) (b) Étudier le signe de la fonction dérivée de $f$, puis déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt) (c) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $]-1,0[$. (0,75 pt)
   4. La courbe $({\mathcal{C}}_f)$ ci-contre est la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé. [Figure : dans un repère orthonormé gradué de $-4$ à $4$ en abscisses et de $-3$ à $4$ en ordonnées, la courbe $({\mathcal{C}}_f)$ et la droite d'équation $y=x$ sont tracées. La courbe est croissante sur $]-\infty ,1]$, passe par le point $(0,1)$, atteint son maximum au point d'abscisse $1$ (d'ordonnée voisine de $1,46$), puis décroît lentement vers l'asymptote horizontale $y=1$. Elle coupe la droite $y=x$ en deux points : l'un d'abscisse négative (voisine de $-2,6$), l'autre d'abscisse positive (voisine de $1,4$).] (a) Justifier graphiquement que l'équation $f(x)=x$ admet deux solutions $\alpha$ et $\beta$. (0,5 pt) (b) Montrer que : $e^{\alpha }-e^{\beta }=\alpha -\beta$. (0,5 pt)
   5. Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur l'intervalle $I=]-\infty ,1]$. (a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera. (Il n'est pas demandé de déterminer $g^{-1}(x)$.) (0,5 pt) (b) Vérifier que $g^{-1}$ est dérivable en $1$ et calculer $(g^{-1}{)}^{\prime }(1)$. (0,75 pt)
   Voir la correction

   Partie I.

   1. $({\mathcal{C}}_u)$ est la courbe de l'exponentielle : croissante, passant par $(0,1)$ et $(1,e)$, d'asymptote l'axe des abscisses en $-\infty$ ; $({\mathcal{C}}_v)$ est la première bissectrice $y=x$. On les trace dans un même repère orthonormé.
   2. Sur le graphique, la courbe $({\mathcal{C}}_u)$ est entièrement au-dessus de la droite $({\mathcal{C}}_v)$ (les deux courbes ne se coupent pas), donc $u(x)>v(x)$, c'est-à-dire $e^x-x>0$, pour tout $x\in \mathbb{R}$.
   3. Comme $u\ge v$ sur $[0,1]$, l'aire cherchée vaut, en unités d'aire : $\mathcal{A}={\int }_0^1(e^x-x)\mathrm{d}x=[e^x-\frac{x^2}{2}{]}_0^1=(e-\frac{1}{2})-1=e-\frac{3}{2}$.

   Partie II.

   1. (a) $f(x)$ existe si et seulement si $e^x-x>0$, ce qui est vrai pour tout réel $x$ d'après la partie I. Donc $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. (b) Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $e^x-x=e^x(1-x{e}^{-x})$ avec $e^x>0$ et $1-x{e}^{-x}>0$ (quotient de $e^x-x>0$ par $e^x$). Donc $\ln (e^x-x)=\ln (e^x)+\ln (1-x{e}^{-x})=x+\ln (1-x{e}^{-x})$ et $f(x)=x+1-x-\ln (1-x{e}^{-x})=1-\ln (1-x{e}^{-x})$. (c) ${\lim }_{x\to +\infty }x{e}^{-x}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{x}{e^x}=0$ (croissances comparées), donc ${\lim }_{x\to +\infty }(1-x{e}^{-x})=1$ et, par continuité de $\ln$ en $1$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1-\ln 1=1$. Interprétation : la droite d'équation $y=1$ est asymptote horizontale à $({\mathcal{C}}_f)$ au voisinage de $+\infty$.
   2. (a) Quand $x\to -\infty$ : $e^x\to 0$ et $-x\to +\infty$, donc $e^x-x\to +\infty$ et $\ln (e^x-x)\to +\infty$. Écrivons $f(x)=1-\ln (1-x{e}^{-x})$ : $x{e}^{-x}\to -\infty$ (produit de $x\to -\infty$ par $e^{-x}\to +\infty$), donc $1-x{e}^{-x}\to +\infty$, $\ln (1-x{e}^{-x})\to +\infty$ et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$. (b) Pour $x<0$ : $e^x-x=-x(\frac{e^x}{-x}+1)=(-x)(1-\frac{e^x}{x})=(-x)(1-\frac{1}{x{e}^{-x}})$ car $\frac{e^x}{x}=\frac{1}{x{e}^{-x}}$. Comme $-x>0$ et $1-\frac{1}{x{e}^{-x}}=\frac{e^x-x}{-x}>0$, on a $\ln (e^x-x)=\ln (-x)+\ln (1-\frac{1}{x{e}^{-x}})$, d'où $f(x)=x+1-\ln (-x)-\ln (1-\frac{1}{x{e}^{-x}})$. (c) Pour $x<0$ : $f(x)/x=1+\frac{1}{x}-\ln (-x)/x-\ln (1-1/(x{e}^{-x}))/x$. Posons $t=-x\to +\infty$ : $\ln (-x)/x=-\frac{\ln t}{t}\to 0$ (croissances comparées). De plus $x{e}^{-x}\to -\infty$, donc $\frac{1}{x{e}^{-x}}\to 0$ et $\ln (1-\frac{1}{x{e}^{-x}})\to \ln 1=0$, d'où le dernier quotient tend vers $0$. Enfin $\frac{1}{x}\to 0$. Donc ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)/x=1$. Comme ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)/x=1$, étudions $f(x)-x=1-\ln (-x)-\ln (1-\frac{1}{x{e}^{-x}})$ : $\ln (-x)\to +\infty$ et le dernier terme tend vers $0$, donc ${\lim }_{x\to -\infty }(f(x)-x)=-\infty$. La courbe $({\mathcal{C}}_f)$ admet donc une branche parabolique de direction la droite d'équation $y=x$ au voisinage de $-\infty$.
   3. (a) $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (composée et somme de fonctions dérivables, avec $e^x-x>0$) et, pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f^{\prime }(x)=1-\frac{e^x-1}{e^x-x}=\frac{e^x-x-e^x+1}{e^x-x}=\frac{1-x}{e^x-x}$. (b) Le dénominateur $e^x-x$ est strictement positif (partie I), donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de $1-x$ : $f^{\prime }(x)>0$ pour $x<1$, $f^{\prime }(1)=0$ et $f^{\prime }(x)<0$ pour $x>1$. $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty ,1]$ et strictement décroissante sur $[1,+\infty [$. Son maximum est $f(1)=2-\ln (e-1)$. Tableau de variations : $f$ croît de $-\infty$ (en $-\infty$) jusqu'à $f(1)=2-\ln (e-1)$, puis décroît vers $1$ (en $+\infty$). (c) $f$ est continue et strictement croissante sur $[-1,0]$. $f(-1)=-\ln (e^{-1}+1)<0$ car $e^{-1}+1>1$, et $f(0)=1-\ln 1=1>0$. Comme $0\in ]f(-1),f(0)[$, le théorème des valeurs intermédiaires (cas d'une fonction strictement monotone) assure que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans $]-1,0[$.
   4. (a) Les solutions de $f(x)=x$ sont les abscisses des points d'intersection de $({\mathcal{C}}_f)$ avec la droite d'équation $y=x$. Sur la figure, cette droite coupe $({\mathcal{C}}_f)$ en exactement deux points, d'abscisses $\alpha <0$ et $\beta >0$ : l'équation $f(x)=x$ admet deux solutions $\alpha$ et $\beta$. (b) $f(\alpha )=\alpha <\Rightarrow \alpha +1-\ln (e^{\alpha }-\alpha )=\alpha <\Rightarrow \ln (e^{\alpha }-\alpha )=1<\Rightarrow e^{\alpha }-\alpha =e$. De même $e^{\beta }-\beta =e$. En soustrayant : $e^{\alpha }-\alpha -(e^{\beta }-\beta )=0$, c'est-à-dire $e^{\alpha }-e^{\beta }=\alpha -\beta$.
   5. (a) $g$ est continue et strictement croissante sur $I=]-\infty ,1]$ (question 3)(b)), donc $g$ réalise une bijection de $I$ sur $J=g(I)=]{\lim }_{x\to -\infty }f(x),f(1)]=]-\infty ,2-\ln (e-1)]$. Ainsi $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur $J=]-\infty ,2-\ln (e-1)]$. (b) On a $g(0)=f(0)=1$ et $g^{\prime }(0)=f^{\prime }(0)=\frac{1-0}{e^0-0}=1\ne 0$. Comme $g$ est dérivable en $0$ avec $g^{\prime }(0)\ne 0$, $g^{-1}$ est dérivable en $g(0)=1$ et $(g^{-1}{)}^{\prime }(1)=\frac{1}{g^{\prime }(0)}=1$.