Géométrie de l'espace, nombres complexes, calcul des probabilités, équations différentielles et calcul intégral, étude de fonctions numériques et suites numériques

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Géométrie de l'espace3 pts

   Chapitre : Géométrie dans l'espace

   Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les points $A(0,1,1)$, $B(1,2,0)$ et $C(-1,1,2)$.

   1. (a) Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$. (0,5 pt) (b) En déduire que $x+z-1=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$. (0,25 pt)
   2. Soit $(S)$ la sphère de centre $\Omega (1,1,2)$ et de rayon $R=\sqrt{2}$. Déterminer une équation de la sphère $(S)$. (0,5 pt)
   3. Montrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$ au point $A$. (0,5 pt)
   4. On considère la droite $(\Delta )$ passant par le point $C$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$. (a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\Delta )$. (0,25 pt) (b) Montrer que la droite $(\Delta )$ est tangente à la sphère $(S)$ en un point $D$ dont on déterminera les coordonnées. (0,5 pt) (c) Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AC}\cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k})$, puis en déduire la distance $d(A,(\Delta ))$. (0,5 pt)
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   1. (a) $\overrightarrow{AB}(1,1,-1)$ et $\overrightarrow{AC}(-1,0,1)$. Par la formule du produit vectoriel : $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=(1\times 1-(-1)\times 0)\overrightarrow{i}-(1\times 1-(-1)\times (-1))\overrightarrow{j}+(1\times 0-1\times (-1))\overrightarrow{k}=\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$. Donc $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$. (b) Le vecteur $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$, de coordonnées $(1,0,1)$, est non nul et orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : c'est un vecteur normal au plan $(ABC)$, qui admet donc une équation de la forme $x+z+d=0$. Comme $A(0,1,1)\in (ABC)$ : $0+1+d=0$, soit $d=-1$. Donc $(ABC):x+z-1=0$.
   2. $M(x,y,z)\in (S)\iff \Omega M=\sqrt{2}\iff (x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=2$. En développant : $(S):x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+4=0$.
   3. $d(\Omega ,(ABC))=|1+2-1\frac{|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}=R$ : le plan $(ABC)$ est donc tangent à la sphère $(S)$. Le point de contact est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan. Or $A\in (ABC)$ (d'après 1.b) et $\overrightarrow{\Omega A}(-1,0,-1)=-\overrightarrow{n}$ est colinéaire au vecteur normal $\overrightarrow{n}$ : $A$ est bien le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(ABC)$. Donc $(ABC)$ est tangent à $(S)$ au point $A$.
   4. (a) $(\Delta )$ passe par $C(-1,1,2)$ et est dirigée par $\overrightarrow{n}(1,0,1)$ : $(\Delta ):x=-1+t,y=1,z=2+t(t\in \mathbb{R})$. (b) Un point $M(-1+t,1,2+t)$ de $(\Delta )$ appartient à $(S)$ si et seulement si $(-2+t{)}^2+0+t^2=2$, soit $2t^2-4t+2=0$, c'est-à-dire $(t-1{)}^2=0$. Cette équation a une solution unique $t=1$ : la droite $(\Delta )$ coupe la sphère en un seul point, donc elle est tangente à $(S)$ au point $D$ obtenu pour $t=1$ : $D(0,1,3)$. (c) $\overrightarrow{AC}\cdot (\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k})=(-1)\times 1+0\times 0+1\times 1=0$. Ainsi $\overrightarrow{AC}$ est orthogonal au vecteur directeur de $(\Delta )$ ; comme $C\in (\Delta )$, le point $C$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(\Delta )$, donc $d(A,(\Delta ))=AC=\sqrt{(-1{)}^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}$.

2. Exercice 2Nombres complexes3 pts

   Chapitres : Nombres complexes (partie 1) · Nombres complexes (partie 2) · Nombres complexes (introduction)

   Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère le point $A$ d'affixe $a=-1-i\sqrt{3}$, le point $B$ d'affixe $b=-1+i\sqrt{3}$ et la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{OA}$.

   1. Prouver que l'affixe du point $D$ image du point $B$ par la translation $t$ est $d=-2$. (0,5 pt)
   2. On considère la rotation $R$ de centre $D$ et d'angle $\frac{2\pi }{3}$. Montrer que l'affixe du point $C$ image du point $B$ par la rotation $R$ est $c=-4$. (0,5 pt)
   3. (a) Écrire le nombre $\frac{b-c}{a-c}$ sous forme trigonométrique. (0,5 pt) (b) En déduire que $(\frac{b-c}{a-c}{)}^2=\frac{c-d}{b-d}$. (0,5 pt)
   4. Soient $(\Gamma )$ le cercle de centre $D$ et de rayon $2$, $({\Gamma }^{\prime })$ le cercle de centre $O$ et de rayon $4$ et $M$ un point d'affixe $z$ appartenant aux deux cercles $(\Gamma )$ et $({\Gamma }^{\prime })$. (a) Vérifier que $|z+2|=2$. (0,25 pt) (b) Prouver que $z+\overline{z}=-8$ (remarquer que $|z|=4$). (0,5 pt) (c) En déduire que les cercles $(\Gamma )$ et $({\Gamma }^{\prime })$ se coupent en un point unique qu'on déterminera. (0,25 pt)
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   1. $t$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{OA}$ d'affixe $a$ ; l'affixe de $D=t(B)$ est $d=b+a=(-1+i\sqrt{3})+(-1-i\sqrt{3})=-2$.
   2. L'écriture complexe de $R$ est $z^{\prime }-d=e^{i\frac{2\pi }{3}}(z-d)$, avec $e^{i\frac{2\pi }{3}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Donc $c=d+e^{i\frac{2\pi }{3}}(b-d)=-2+(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})(1+i\sqrt{3})=-2+(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2})=-2-2=-4$.
   3. (a) $\frac{b-c}{a-c}=\frac{3+i\sqrt{3}}{3-i\sqrt{3}}$. Or $3+i\sqrt{3}=2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=2\sqrt{3}{e}^{i\frac{\pi }{6}}$ et $3-i\sqrt{3}=\overline{3+i\sqrt{3}}=2\sqrt{3}{e}^{-i\frac{\pi }{6}}$. Donc $\frac{b-c}{a-c}=e^{i\frac{\pi }{6}}/e^{-i\frac{\pi }{6}}=e^{i\frac{\pi }{3}}=\cos (\frac{\pi }{3})+i\sin (\frac{\pi }{3})$ (module $1$, argument $\frac{\pi }{3}$). (b) D'après (a), $(\frac{b-c}{a-c}{)}^2=e^{i\frac{2\pi }{3}}$. D'autre part $\frac{c-d}{b-d}=\frac{-4+2}{-1+i\sqrt{3}+2}=\frac{-2}{1+i\sqrt{3}}=\frac{-2(1-i\sqrt{3})}{4}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=e^{i\frac{2\pi }{3}}$. Donc $(\frac{b-c}{a-c}{)}^2=\frac{c-d}{b-d}$. (On peut aussi remarquer que $\frac{c-d}{b-d}=e^{i\frac{2\pi }{3}}$ est exactement le rapport de la rotation $R$ qui envoie $B$ sur $C$.)
   4. (a) $M\in (\Gamma )\iff DM=2\iff |z-d|=2\iff |z+2|=2$. (b) $M\in ({\Gamma }^{\prime })$ donne $|z|=4$, d'où $z\overline{z}=|z{|}^2=16$. D'autre part $|z+2{|}^2=4$ s'écrit $(z+2)(\overline{z}+2)=4$, soit $z\overline{z}+2z+2\overline{z}+4=4$, donc $16+2(z+\overline{z})=0$, c'est-à-dire $z+\overline{z}=-8$. (c) Posons $z=x+iy$ ($x,y$ réels). $z+\overline{z}=2x=-8$ donne $x=-4$ ; puis $|z|=4$ donne $16+y^2=16$, donc $y=0$. Ainsi tout point commun aux deux cercles a pour affixe $z=-4$. Réciproquement, $|-4+2|=2$ et $|-4|=4$ : le point d'affixe $-4$ appartient bien aux deux cercles. Les cercles $(\Gamma )$ et $({\Gamma }^{\prime })$ se coupent donc en un point unique, le point $C$ d'affixe $-4$ (les cercles sont tangents intérieurement en $C$).

3. Exercice 3Calcul des probabilités3 pts

   Chapitres : Dénombrement et probabilités · Dénombrement et probabilités

   Une urne contient dix boules : trois boules blanches, trois boules vertes et quatre boules rouges indiscernables au toucher. On tire au hasard simultanément trois boules de l'urne.

   1. Montrer que $p(A)=\frac{1}{6}$ ; où $A$ est l'évènement « N'obtenir aucune boule rouge ». (0,75 pt)
   2. Calculer $p(B)$ ; où $B$ est l'évènement « Obtenir trois boules blanches ou trois boules vertes ». (0,75 pt)
   3. Montrer que $p(C)=\frac{1}{2}$ ; où $C$ est l'évènement « Obtenir exactement une boule rouge ». (0,75 pt)
   4. Calculer $p(D)$ ; où $D$ est l'évènement « Obtenir au moins deux boules rouges ». (0,75 pt)
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   Les tirages simultanés de trois boules parmi dix sont équiprobables : $\mathrm{card}\Omega =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=120$.

   1. $A$ est réalisé lorsque les trois boules sont prises parmi les six boules non rouges : $\mathrm{card}A=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$, donc $p(A)=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$.
   2. $\mathrm{card}B=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)=2$ (les deux cas sont incompatibles), donc $p(B)=\frac{2}{120}=\frac{1}{60}$.
   3. Une boule rouge parmi quatre et deux boules non rouges parmi six : $\mathrm{card}C=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=4\times 15=60$, donc $p(C)=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$.
   4. $D$ est réalisé lorsqu'on obtient deux ou trois boules rouges : $\mathrm{card}D=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=36+4=40$, donc $p(D)=\frac{40}{120}=\frac{1}{3}$. (Vérification : $D$ est l'évènement contraire de $A\cup C$, avec $A$ et $C$ incompatibles, donc $p(D)=1-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$.)

4. Exercice 4Équations différentielles et calcul intégral2.5 pts

   Chapitres : Fonctions primitives · Calcul intégral · Équations différentielles · Fonctions exponentielles · Fonctions primitives · Calcul intégral · Équations différentielles · Fonctions exponentielles

   On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=(x+1)e^x$.

   1. (a) Vérifier que $x\to x{e}^x$ est une primitive de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$ ; puis calculer $I={\int }_{-1}^{0}h(x)\mathrm{d}x$. (0,75 pt) (b) À l'aide d'une intégration par parties, calculer $J={\int }_{-1}^0(x+1{)}^2{e}^x\mathrm{d}x$. (0,75 pt)
   2. (a) Résoudre l'équation différentielle $(E):y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=0$. (0,5 pt) (b) Montrer que la fonction $h$ est la solution de $(E)$ qui vérifie les conditions $h(0)=1$ et $h^{\prime }(0)=2$. (0,5 pt)
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   1. (a) La fonction $H:x\to x{e}^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $H^{\prime }(x)=1\times e^x+x{e}^x=(x+1)e^x=h(x)$ : $H$ est une primitive de $h$ sur $\mathbb{R}$. Donc $I=[x{e}^x{]}_{-1}^0=0-(-1)e^{-1}=\frac{1}{e}$. (b) On pose $u(x)=(x+1{)}^2$ et $v^{\prime }(x)=e^x$, d'où $u^{\prime }(x)=2(x+1)$ et $v(x)=e^x$ ; $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[-1,0]$. Alors $J=[(x+1{)}^2{e}^x{]}_{-1}^0-{\int }_{-1}^{0}2(x+1)e^x\mathrm{d}x=(1-0)-2I=1-\frac{2}{e}$.
   2. (a) L'équation caractéristique $r^2-2r+1=0$ s'écrit $(r-1{)}^2=0$ : elle a une racine double $r=1$. Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $y(x)=(\alpha x+\beta )e^x$, avec $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. (b) Soit $y(x)=(\alpha x+\beta )e^x$ une solution de $(E)$. $y(0)=\beta$, et $y^{\prime }(x)=(\alpha x+\alpha +\beta )e^x$ donne $y^{\prime }(0)=\alpha +\beta$. Les conditions $y(0)=1$ et $y^{\prime }(0)=2$ imposent $\beta =1$ et $\alpha =1$ : la solution cherchée est $y(x)=(x+1)e^x=h(x)$. Donc $h$ est la solution de $(E)$ vérifiant $h(0)=1$ et $h^{\prime }(0)=2$.

5. Exercice 5Problème d'analyse8.5 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Dérivation et étude des fonctions · Limites et continuité · Suites numériques · Fonctions exponentielles · Dérivation et étude des fonctions · Limites et continuité · Suites numériques

   On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x(e^{\frac{x}{2}}-1{)}^2$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 1 cm).

   1. Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$. (0,5 pt)
   2. Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)/x$ et interpréter géométriquement le résultat. (0,5 pt)
   3. (a) Montrer que la droite $(\Delta )$ d'équation $y=x$ est asymptote à la courbe $(C)$ au voisinage de $-\infty$. (0,5 pt) (b) Étudier le signe de $(f(x)-x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ et en déduire la position relative de la courbe $(C)$ et la droite $(\Delta )$. (0,75 pt)
   4. (a) Montrer que $f^{\prime }(x)=(e^{\frac{x}{2}}-1{)}^2+x{e}^{\frac{x}{2}}(e^{\frac{x}{2}}-1)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$. (0,5 pt) (b) Vérifier que $x(e^{\frac{x}{2}}-1)\ge 0$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, puis en déduire le signe de la fonction dérivée $f^{\prime }$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt) (c) Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. (0,25 pt)
   5. (a) Montrer que $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{2}{e}^{\frac{x}{2}}g(x)$ ; où $g(x)=(2x+4)e^{\frac{x}{2}}-x-4$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$. (0,5 pt) (b) À partir de la courbe ci-contre de la fonction $g$, déterminer le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$ (Remarque : $g(\alpha )=0$). (0,5 pt) [Figure : courbe $(C_g)$ de la fonction $g$ dans un repère orthonormé ; elle coupe l'axe des abscisses en deux points seulement, d'abscisses $\alpha \approx -4,5$ et $0$ ; elle est au-dessus de l'axe des abscisses pour $x<\alpha$ et pour $x>0$, au-dessous entre $\alpha$ et $0$, avec un minimum voisin de $-2$ atteint vers $x\approx -1,7$ ; elle croît très vite pour $x>0$.] (c) Étudier la concavité de la courbe $(C)$ et déterminer les abscisses des deux points d'inflexion. (0,5 pt)
   6. Construire la courbe $(C)$ dans le repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (On prend : $\ln (4)\approx 1,4$, $\alpha \approx -4,5$ et $f(\alpha )\approx -3,5$). (1 pt)
   7. (a) Montrer que la fonction $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt) (b) Calculer $(f^{-1}{)}^{\prime }(\ln 4)$. (0,25 pt)
   8. Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (a) Montrer par récurrence que $0<u_n<\ln 4$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (0,5 pt) (b) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante. (0,5 pt) (c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. (0,25 pt) (d) Calculer la limite de la suite $(u_n)$. (0,5 pt)
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   1. ${\lim }_{x\to +\infty }{e}^{\frac{x}{2}}=+\infty$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }(e^{\frac{x}{2}}-1{)}^2=+\infty$ et ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$. ${\lim }_{x\to -\infty }{e}^{\frac{x}{2}}=0$, donc ${\lim }_{x\to -\infty }(e^{\frac{x}{2}}-1{)}^2=1$ et, comme ${\lim }_{x\to -\infty }x=-\infty$, ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$.
   2. Pour $x\ne 0$, $f(x)/x=(e^{\frac{x}{2}}-1{)}^2$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)/x=+\infty$ : la courbe $(C)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
   3. (a) Pour tout réel $x$ : $f(x)-x=x[(e^{\frac{x}{2}}-1{)}^2-1]=x(e^{\frac{x}{2}}-2)e^{\frac{x}{2}}=x{e}^x-2x{e}^{\frac{x}{2}}$. Or ${\lim }_{x\to -\infty }x{e}^x=0$ et ${\lim }_{x\to -\infty }x{e}^{\frac{x}{2}}={\lim }_{t\to -\infty }2t{e}^t=0$ (en posant $t=\frac{x}{2}$). Donc ${\lim }_{x\to -\infty }(f(x)-x)=0$ : la droite $(\Delta ):y=x$ est asymptote à $(C)$ au voisinage de $-\infty$. (b) $f(x)-x=x{e}^{\frac{x}{2}}(e^{\frac{x}{2}}-2)$, et $e^{\frac{x}{2}}>0$. De plus $e^{\frac{x}{2}}-2\ge 0\iff \frac{x}{2}\ge \ln 2\iff x\ge \ln 4$.

   • Si $x<0$ : $x<0$ et $e^{\frac{x}{2}}-2<0$, donc $f(x)-x>0$.
   • Si $0<x<\ln 4$ : $x>0$ et $e^{\frac{x}{2}}-2<0$, donc $f(x)-x<0$.
   • Si $x>\ln 4$ : $f(x)-x>0$ ; enfin $f(x)-x=0$ pour $x=0$ et $x=\ln 4$. Donc $(C)$ est au-dessus de $(\Delta )$ sur $]-\infty ,0[$ et sur $]\ln 4,+\infty [$, au-dessous de $(\Delta )$ sur $]0,\ln 4[$, et $(C)$ coupe $(\Delta )$ aux points $O(0,0)$ et $(\ln 4,\ln 4)$.

   1. (a) $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables. Avec $(x{)}^{\prime }=1$ et $((e^{\frac{x}{2}}-1{)}^2{)}^{\prime }=2\times \frac{1}{2}{e}^{\frac{x}{2}}(e^{\frac{x}{2}}-1)=e^{\frac{x}{2}}(e^{\frac{x}{2}}-1)$ : $f^{\prime }(x)=(e^{\frac{x}{2}}-1{)}^2+x{e}^{\frac{x}{2}}(e^{\frac{x}{2}}-1)$. (b) $e^{\frac{x}{2}}-1\ge 0\iff x\ge 0$ : les réels $x$ et $e^{\frac{x}{2}}-1$ sont toujours de même signe (et nuls simultanément en $0$), donc $x(e^{\frac{x}{2}}-1)\ge 0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Alors $f^{\prime }(x)=(e^{\frac{x}{2}}-1{)}^2+e^{\frac{x}{2}}\times x(e^{\frac{x}{2}}-1)$ est la somme de deux termes positifs : $f^{\prime }(x)\ge 0$ sur $\mathbb{R}$, avec égalité seulement en $x=0$. (c) $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (sa dérivée est positive et ne s'annule qu'en $0$) : $f$ croît de $-\infty$ (en $-\infty$) à $+\infty$ (en $+\infty$), avec $f(0)=0$ et une tangente horizontale en $O$.
   2. (a) $f^{\prime }(x)=(e^{\frac{x}{2}}-1{)}^2+x(e^x-e^{\frac{x}{2}})$. On dérive : $((e^{\frac{x}{2}}-1{)}^2{)}^{\prime }=e^{\frac{x}{2}}(e^{\frac{x}{2}}-1)=e^x-e^{\frac{x}{2}}$ et $(x(e^x-e^{\frac{x}{2}}){)}^{\prime }=e^x-e^{\frac{x}{2}}+x(e^x-\frac{1}{2}{e}^{\frac{x}{2}})$. Donc $f^{\prime \prime }(x)=2e^x-2e^{\frac{x}{2}}+x{e}^x-\frac{x}{2}{e}^{\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}{e}^{\frac{x}{2}}(4e^{\frac{x}{2}}-4+2x{e}^{\frac{x}{2}}-x)=\frac{1}{2}{e}^{\frac{x}{2}}[(2x+4)e^{\frac{x}{2}}-x-4]=\frac{1}{2}{e}^{\frac{x}{2}}g(x)$. (b) D'après la courbe $(C_g)$, $g$ s'annule en $\alpha \approx -4,5$ et en $0$ (on vérifie : $g(0)=4-4=0$), et : $g(x)>0$ sur $]-\infty ,\alpha [\cup ]0,+\infty [$, $g(x)<0$ sur $]\alpha ,0[$. (c) Comme $e^{\frac{x}{2}}>0$, $f^{\prime \prime }(x)$ a le signe de $g(x)$ : $(C)$ est convexe sur $]-\infty ,\alpha ]$ et sur $[0,+\infty [$, concave sur $[\alpha ,0]$. $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe en $\alpha$ et en $0$ : les deux points d'inflexion ont pour abscisses $\alpha \approx -4,5$ et $0$.
   3. Construction : $(C)$ passe par $O$ (tangente horizontale, point d'inflexion) et par le point $(\ln 4,\ln 4)\approx (1,4,1,4)$ où elle recoupe $(\Delta )$ ; elle admet $(\Delta ):y=x$ pour asymptote en $-\infty$ (elle est au-dessus de $(\Delta )$ pour $x<0$), le point d'inflexion $(\alpha ,f(\alpha ))\approx (-4,5,-3,5)$, elle est au-dessous de $(\Delta )$ sur $]0,\ln 4[$ puis au-dessus, et elle présente une branche parabolique de direction $(Oy)$ en $+\infty$. La fonction est croissante sur tout $\mathbb{R}$.
   4. (a) $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : elle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $f(\mathbb{R})=]{\lim }_{-\infty }f,{\lim }_{+\infty }f[=]-\infty ,+\infty [=\mathbb{R}$. Donc $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$. (b) $f(\ln 4)=\ln 4(e^{\ln 2}-1{)}^2=\ln 4$, donc $f^{-1}(\ln 4)=\ln 4$. Par ailleurs $f^{\prime }(\ln 4)=(2-1{)}^2+\ln 4\times 2\times (2-1)=1+2\ln 4\ne 0$. Comme $f$ est dérivable en $\ln 4$ et $f^{\prime }(\ln 4)\ne 0$ : $(f^{-1}{)}^{\prime }(\ln 4)=1/(f^{\prime }(f^{-1}(\ln 4)))=\frac{1}{f^{\prime }(\ln 4)}=\frac{1}{1+2\ln 4}=\frac{1}{1+4\ln 2}$.
   5. (a) Initialisation : $u_0=1$ et $0<1<\ln 4\approx 1,39$. Hérédité : supposons $0<u_n<\ln 4$. Comme $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : $f(0)<f(u_n)<f(\ln 4)$, soit $0<u_{n+1}<\ln 4$ (car $f(0)=0$ et $f(\ln 4)=\ln 4$). Conclusion : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0<u_n<\ln 4$. (b) Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n$. Or $u_n\in ]0,\ln 4[$ et, d'après 3.b, $f(x)-x<0$ sur $]0,\ln 4[$. Donc $u_{n+1}-u_n<0$ : la suite $(u_n)$ est strictement décroissante. (c) $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$ : elle est convergente (théorème de convergence monotone). (d) Soit $\ell =\lim u_n$ ; d'après (a), $0\le \ell \le \ln 4$ et même $\ell \le u_0=1<\ln 4$ car la suite est décroissante. Comme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $u_{n+1}=f(u_n)$, $\ell$ vérifie $f(\ell )=\ell$, c'est-à-dire $\ell (e^{\frac{\ell }{2}}-1{)}^2=\ell$, soit $\ell =0$ ou $(e^{\frac{\ell }{2}}-1{)}^2=1$. Cette dernière égalité donne $e^{\frac{\ell }{2}}=2$ (car $e^{\frac{\ell }{2}}=0$ est impossible), soit $\ell =\ln 4$, exclu. Donc ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=0$.