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2ème Bac Sciences Physiques
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Équations différentielles

Équations y' = ay, y' = ay + b, y'' + ω²y = 0 ; problèmes à conditions initiales.

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

  1. Équation y' = a y

  2. Équation y' = a y + b (affine)

  3. Équation harmonique y'' + ω² y = 0

    Cette équation régit les oscillations harmoniques (ressort, pendule simple).

  4. Problèmes à conditions initiales

    Ces équations apparaissent naturellement quand on modélise : - : T'(t) = k (T(t) - Text) (loi de Newton). - : N'(t) = -λ N(t). - (modèle exponentiel) : P'(t) = r P(t). Chaque situation physique fournit des conditions initiales qui déterminent la constante d'intégration.

  5. Liens avec les primitives

    Résoudre y' = f(x) (équation sans y au second membre) revient à trouver une primitive de f. C'est le cas le plus simple : y(x) = F(x) + C.

Exercices type bac corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de bac, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

  1. Équations y' = a y avec condition initiale

    1. Résoudre l'équation différentielle y' = 3y et déterminer la solution f vérifiant f(0) = 2.
    2. Résoudre l'équation différentielle y' + 2y = 0 et déterminer la solution g vérifiant g(1) = e.
    Voir la correction
    1. Les solutions de y' = 3y sont les fonctions x → C e^(3x), C ∈ ℝ. f(0) = 2 donne C = 2, donc f(x) = 2 e^(3x).
    2. y' + 2y = 0 s'écrit y' = -2y : solutions x → C e^(-2x). g(1) = e donne C e^(-2) = e, soit C = e³, donc g(x) = e³ e^(-2x) = e^(3 - 2x).

  2. Équation affine y' = a y + b

    On considère l'équation différentielle (E) : y' = 2y - 4.

    1. Déterminer la solution constante de (E).
    2. Résoudre (E).
    3. Déterminer la solution f de (E) telle que f(0) = 5, puis calculer f'(0).
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    1. Une fonction constante y = c vérifie y' = 0, donc 0 = 2c - 4 et c = 2.
    2. Les solutions de y' = a y + b sont x → C e^(a x) - b/a ; ici a = 2, b = -4 : y = C e^(2x) + 2, C ∈ ℝ.
    3. f(0) = 5 donne C + 2 = 5, soit C = 3 : f(x) = 3 e^(2x) + 2. Alors f'(x) = 6 e^(2x) et f'(0) = 6 (on vérifie : 2 f(0) - 4 = 10 - 4 = 6).

  3. Équation harmonique y'' + ω² y = 0

    On considère l'équation différentielle (E) : y'' + 4y = 0.

    1. Donner la forme générale des solutions de (E).
    2. Déterminer la solution f vérifiant f(0) = 1 et f'(0) = 2.
    3. Montrer que f(x) = √2 cos(2x - π/4) et en déduire le maximum de f.
    Voir la correction
    1. ω² = 4 donc ω = 2 : les solutions sont x → A cos(2x) + B sin(2x), A, B ∈ ℝ.
    2. f(0) = A = 1. f'(x) = -2A sin(2x) + 2B cos(2x), donc f'(0) = 2B = 2 et B = 1. Ainsi f(x) = cos(2x) + sin(2x).
    3. √2 cos(2x - π/4) = √2 (cos(2x) cos(π/4) + sin(2x) sin(π/4)) = √2 (√2/2 cos(2x) + √2/2 sin(2x)) = cos(2x) + sin(2x) = f(x). Comme -1 ≤ cos(2x - π/4) ≤ 1, le maximum de f vaut √2, atteint lorsque 2x - π/4 = 2 k π, soit x = π/8 + k π.

  4. Décroissance radioactive

    Le nombre N(t) de noyaux d'un échantillon radioactif vérifie N'(t) = -λ N(t) (t en jours, λ > 0), avec N(0) = N_0.

    1. Exprimer N(t) en fonction de t, λ et N_0.
    2. La demi-vie T est la durée au bout de laquelle N(T) = N_0/2. Montrer que λ = (ln 2)/T.
    3. Pour T = 8 jours, au bout de combien de jours reste-t-il 10 % des noyaux initiaux ?
    Voir la correction
    1. N' = -λ N est du type y' = a y avec a = -λ : N(t) = N_0 e^(-λ t).
    2. N(T) = N_0/2 équivaut à e^(-λ T) = 1/2, soit -λ T = -ln 2, d'où λ = (ln 2)/T.
    3. On cherche t tel que N(t) = N_0/10 : e^(-λ t) = 1/10, donc t = (ln 10)/λ = (T ln 10)/(ln 2) = (8 ln 10)/(ln 2) ≈ 26,6 jours.

  5. Solution particulière et solution générale

    On considère l'équation différentielle (E) : y' + y = e^(-x) et la fonction g définie sur ℝ par g(x) = x e^(-x).

    1. Vérifier que g est une solution de (E).
    2. Montrer qu'une fonction f dérivable sur ℝ est solution de (E) si et seulement si f - g est solution de (E') : y' + y = 0.
    3. En déduire toutes les solutions de (E), puis celle qui vérifie f(0) = 1.
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    1. g'(x) = e^(-x) - x e^(-x), donc g'(x) + g(x) = e^(-x) - x e^(-x) + x e^(-x) = e^(-x) : g est solution de (E).
    2. Posons h = f - g. Alors h' + h = (f' + f) - (g' + g) = (f' + f) - e^(-x). Donc f' + f = e^(-x) si et seulement si h' + h = 0.
    3. Les solutions de (E') sont x → C e^(-x). Donc les solutions de (E) sont f(x) = g(x) + C e^(-x) = (x + C) e^(-x), C ∈ ℝ. f(0) = 1 donne C = 1 : f(x) = (x + 1) e^(-x).

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