Analyse (deux exercices), nombres complexes, arithmétique et structures algébriques

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Analyse7.75 pts

   Chapitres : Limites et continuité · Limites et continuité · Dérivation et étude des fonctions · Dérivation et étude des fonctions · Fonctions logarithmiques · Fonctions logarithmiques · Fonctions exponentielles · Fonctions exponentielles · Suites numériques · Suites numériques · Calcul intégral · Calcul intégral

   Partie I.

   1. (a) Montrer que : $\forall t\in [0,+\infty [$ ; $\frac{4}{(2+t{)}^2}\le \frac{1}{1+t}\le \frac{1}{2}(1+\frac{1}{(1+t{)}^2})$. (0,5 pt) (b) En déduire que : $\forall x\in [0,+\infty [$ ; $\frac{2x}{2+x}\le \ln (1+x)\le \frac{1}{2}(\frac{x^2+2x}{1+x})$. (0,5 pt)
   2. Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $]0,+\infty [$ par : $g(x)=\ln (1+x)/x$. Montrer que : ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{g(x)-1}{x}=-\frac{1}{2}$. (0,5 pt)

   Partie II. Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $[0,+\infty [$ par : $f(0)=1\mathrm{et}\forall x\in ]0,+\infty [;f(x)=g(x)e^{-x}.$ On note $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

   1. Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu. (0,5 pt)
   2. (a) Montrer que $f$ est continue à droite en $0$. (0,25 pt) (b) Vérifier que : $\forall x\in ]0,+\infty [$ ; $\frac{f(x)-1}{x}=(\frac{e^{-x}-1}{x})g(x)+(\frac{g(x)-1}{x})$. (0,25 pt) (c) En déduire que $f$ est dérivable à droite en $0$ et déterminer $f_d^{\prime }(0)$. (0,5 pt)
   3. Montrer que $f$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ puis que : (0,75 pt) $\forall x\in ]0,+\infty [;f^{\prime }(x)=\frac{x-(1+x{)}^2\ln (1+x)}{x^2(1+x)}{e}^{-x}.$
   4. (a) Montrer que : $\forall x\in ]0,+\infty [$ ; $-\frac{3}{2}<\frac{x-(1+x{)}^2\ln (1+x)}{x^2(1+x)}<0$. (0,5 pt) (b) En déduire que : $\forall x\in ]0,+\infty [$ ; $-\frac{3}{2}<f^{\prime }(x)<0$. (0,25 pt)
   5. (a) Dresser le tableau de variations de $f$. (0,25 pt) (b) Construire la courbe $(C)$ en faisant apparaître la demi-tangente à droite au point d'abscisse $0$ (on prendra $\Vert \overrightarrow{i}\Vert =2\mathrm{cm}$). (0,75 pt)

   Partie III.

   1. Montrer que l'équation d'inconnue $x$ : $f(x)=3x$, admet une unique solution $\alpha$ dans $]0,+\infty [$. (0,5 pt)
   2. Soient $\beta \in {\mathbb{R}}^{+}$ et $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite numérique définie par : $u_0=\beta \mathrm{et}\forall n\in \mathbb{N};u_{n+1}=\frac{1}{3}f(u_n).$ (a) Montrer que : $\forall n\in \mathbb{N}$ ; $u_n\ge 0$. (0,5 pt) (b) Montrer que : $\forall n\in \mathbb{N}$ ; $|u_{n+1}-\alpha |\le \frac{1}{2}|u_n-\alpha |$. (0,5 pt) (c) Montrer par récurrence que : $\forall n\in \mathbb{N}$ ; $|u_n-\alpha |\le \frac{1}{2^n}|\beta -\alpha |$. (0,5 pt) (d) En déduire que la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$. (0,25 pt)
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   Partie I.

   1. (a) Soit $t\ge 0$. Première inégalité : $\frac{4}{(2+t{)}^2}\le \frac{1}{1+t}\iff 4(1+t)\le (2+t{)}^2$ (les dénominateurs sont strictement positifs) $\iff 4+4t\le 4+4t+t^2\iff 0\le t^2$, ce qui est vrai. Deuxième inégalité : $\frac{1}{1+t}\le \frac{1}{2}(1+\frac{1}{(1+t{)}^2})\iff 2(1+t)\le (1+t{)}^2+1$ (on multiplie par $2(1+t{)}^2>0$) $\iff 0\le (1+t{)}^2-2(1+t)+1=t^2$, ce qui est vrai. D'où l'encadrement pour tout $t\in [0,+\infty [$. (b) Soit $x\ge 0$. Les trois fonctions de l'encadrement précédent sont continues sur $[0,x]$ ; par croissance de l'intégrale : ${\int }_0^x\frac{4}{(2+t{)}^2}\mathrm{d}t\le {\int }_0^x\frac{\mathrm{d}t}{1+t}\le \frac{1}{2}{\int }_0^x(1+\frac{1}{(1+t{)}^2})\mathrm{d}t.$ Or ${\int }_0^x\frac{4}{(2+t{)}^2}\mathrm{d}t=[-\frac{4}{2+t}{]}_0^x=2-\frac{4}{2+x}=\frac{2x}{2+x}$, ${\int }_0^x\frac{\mathrm{d}t}{1+t}=\ln (1+x)$ et $\frac{1}{2}[t-\frac{1}{1+t}{]}_0^x=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{1+x}+1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{x(1+x)+x}{1+x}=\frac{1}{2}(\frac{x^2+2x}{1+x})$. D'où $\frac{2x}{2+x}\le \ln (1+x)\le \frac{1}{2}(\frac{x^2+2x}{1+x})$.
   2. Pour $x>0$ : $\frac{g(x)-1}{x}=\frac{\ln (1+x)-x}{x^2}$. D'après 1.b : $\frac{2x}{2+x}-x\le \ln (1+x)-x\le \frac{x^2+2x}{2(1+x)}-x$, soit $-\frac{x^2}{2+x}\le \ln (1+x)-x\le -\frac{x^2}{2(1+x)}$ (car $\frac{2x}{2+x}-x=\frac{2x-2x-x^2}{2+x}$ et $\frac{x^2+2x-2x-2x^2}{2(1+x)}=-\frac{x^2}{2(1+x)}$). En divisant par $x^2>0$ : $-\frac{1}{2+x}\le \frac{g(x)-1}{x}\le -\frac{1}{2(1+x)}.$ Les deux bornes tendent vers $-\frac{1}{2}$ quand $x\to 0^{+}$ ; par le théorème des gendarmes, ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{g(x)-1}{x}=-\frac{1}{2}$.

   Partie II.

   1. ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)={\lim }_{x\to +\infty }\ln (1+x)/x=0$ (car $\ln (1+x)/x=\ln (1+x)/(1+x)\cdot \frac{1+x}{x}$, avec $\ln (1+x)/(1+x)\to 0$ par croissances comparées et $\frac{1+x}{x}\to 1$) et ${\lim }_{x\to +\infty }{e}^{-x}=0$. Donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ : la courbe $(C)$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$.
   2. (a) ${\lim }_{x\to 0^{+}}g(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}\ln (1+x)/x=1$ (limite usuelle) et ${\lim }_{x\to 0^{+}}{e}^{-x}=1$, donc ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1=f(0)$ : $f$ est continue à droite en $0$. (b) Pour $x>0$ : $(\frac{e^{-x}-1}{x})g(x)+\frac{g(x)-1}{x}=\frac{g(x)e^{-x}-g(x)+g(x)-1}{x}=\frac{g(x)e^{-x}-1}{x}=\frac{f(x)-1}{x}$. (c) Quand $x\to 0^{+}$ : $\frac{e^{-x}-1}{x}=-\frac{e^{-x}-1}{-x}\to -1$ (limite usuelle ${\lim }_{u\to 0}\frac{e^u-1}{u}=1$), $g(x)\to 1$ et $\frac{g(x)-1}{x}\to -\frac{1}{2}$ (Partie I). Donc ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)-1}{x}=-1\times 1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$ : $f$ est dérivable à droite en $0$ et $f_d^{\prime }(0)=-\frac{3}{2}$.
   3. $g$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ comme quotient de fonctions dérivables (dénominateur non nul), donc $f=g\times \exp (-x)$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ comme produit. Pour $x>0$ : $g^{\prime }(x)=\frac{\frac{x}{1+x}-\ln (1+x)}{x^2}=\frac{x-(1+x)\ln (1+x)}{x^2(1+x)},$ $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)e^{-x}-g(x)e^{-x}=e^{-x}(\frac{x-(1+x)\ln (1+x)}{x^2(1+x)}-\frac{x(1+x)\ln (1+x)}{x^2(1+x)})=\frac{x-(1+x{)}^2\ln (1+x)}{x^2(1+x)}{e}^{-x},$ car $(1+x)\ln (1+x)+x(1+x)\ln (1+x)=(1+x)(1+x)\ln (1+x)=(1+x{)}^2\ln (1+x)$.
   4. (a) Soit $x>0$ ; le dénominateur $x^2(1+x)$ est strictement positif. Majoration : d'après I.1.b, $\ln (1+x)\ge \frac{2x}{2+x}$, donc $(1+x{)}^2\ln (1+x)\ge \frac{2x(1+x{)}^2}{2+x}$. Or $\frac{2x(1+x{)}^2}{2+x}>x\iff 2(1+x{)}^2>2+x\iff 2x^2+3x>0$, vrai pour $x>0$. Donc $x-(1+x{)}^2\ln (1+x)<0$ et le quotient est strictement négatif. Minoration : d'après I.1.b, $\ln (1+x)\le \frac{x^2+2x}{2(1+x)}$, donc $(1+x{)}^2\ln (1+x)\le \frac{(1+x)(x^2+2x)}{2}=\frac{x^3+3x^2+2x}{2}$. Ainsi $x-(1+x{)}^2\ln (1+x)\ge x-\frac{x^3+3x^2+2x}{2}=\frac{-x^3-3x^2}{2}>\frac{-3x^3-3x^2}{2}=-\frac{3}{2}{x}^2(1+x)$ (car $-x^3>-3x^3$ pour $x>0$). En divisant par $x^2(1+x)>0$ : $\frac{x-(1+x{)}^2\ln (1+x)}{x^2(1+x)}>-\frac{3}{2}$. (b) Pour $x>0$, notons $Q(x)$ le quotient précédent : $f^{\prime }(x)=Q(x)e^{-x}$ avec $-\frac{3}{2}<Q(x)<0$ et $0<e^{-x}<1$. Donc $f^{\prime }(x)<0$ et $f^{\prime }(x)=Q(x)e^{-x}>-\frac{3}{2}{e}^{-x}>-\frac{3}{2}$. Ainsi $-\frac{3}{2}<f^{\prime }(x)<0$.
   5. (a) $f^{\prime }(x)<0$ sur $]0,+\infty [$ et $f$ est continue en $0$ : $f$ est strictement décroissante sur $[0,+\infty [$, de $f(0)=1$ vers ${\lim }_{+\infty }f=0$. (b) [Figure : dans le repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ d'unité $2$ cm, la courbe $(C)$ part du point $(0;1)$ avec une demi-tangente à droite de coefficient directeur $-\frac{3}{2}$ (passant par $(0;1)$ et $(\frac{2}{3};0)$), décroît strictement, reste au-dessus de l'axe des abscisses (car $f(x)>0$) et admet cet axe pour asymptote en $+\infty$. Points : $f(1)=\ln \frac{2}{e}\approx 0,25$, $f(2)=\ln \frac{3}{2e^2}\approx 0,07$.]

   Partie III.

   1. Soit $h(x)=f(x)-3x$ sur $]0,+\infty [$. $h$ est continue sur $]0,+\infty [$ et strictement décroissante (somme de $f$ strictement décroissante et de $x|\to -3x$ strictement décroissante). ${\lim }_{x\to 0^{+}}h(x)=f(0)-0=1>0$ (continuité à droite en $0$) et ${\lim }_{x\to +\infty }h(x)=0-\infty =-\infty$. Donc $h$ réalise une bijection de $]0,+\infty [$ sur $]-\infty ,1[$, qui contient $0$ : l'équation $h(x)=0$, c'est-à-dire $f(x)=3x$, admet une unique solution $\alpha$ dans $]0,+\infty [$. (Numériquement $\alpha \approx 0,24$.) On note que $\alpha =\frac{1}{3}f(\alpha )$.
   2. (a) Pour $x>0$, $g(x)>0$ (car $\ln (1+x)>0$) et $e^{-x}>0$, donc $f(x)>0$ ; de plus $f(0)=1>0$. Ainsi $f\ge 0$ sur $[0,+\infty [$. Par récurrence : $u_0=\beta \ge 0$ ; si $u_n\ge 0$, alors $f(u_n)$ est défini et $u_{n+1}=\frac{1}{3}f(u_n)\ge 0$. Donc $\forall n\in \mathbb{N}$ ; $u_n\ge 0$. (b) Soit $\psi (x)=\frac{1}{3}f(x)$ sur $[0,+\infty [$. $\psi$ est continue sur $[0,+\infty [$, dérivable sur $]0,+\infty [$ avec $|{\psi }^{\prime }(x)|=\frac{1}{3}|f^{\prime }(x)|<\frac{1}{2}$ d'après II.4.b, et $\psi (\alpha )=\alpha$. Pour $n\in \mathbb{N}$, $u_n$ et $\alpha$ sont dans $[0,+\infty [$ ; d'après l'inégalité des accroissements finis appliquée à $\psi$ entre $u_n$ et $\alpha$ : $|\psi (u_n)-\psi (\alpha )|\le \frac{1}{2}|u_n-\alpha |,\mathrm{soit}|u_{n+1}-\alpha |\le \frac{1}{2}|u_n-\alpha |.$ (c) Initialisation : $|u_0-\alpha |=|\beta -\alpha |=\frac{1}{2^0}|\beta -\alpha |$. Hérédité : si $|u_n-\alpha |\le \frac{1}{2^n}|\beta -\alpha |$, alors d'après (b), $|u_{n+1}-\alpha |\le \frac{1}{2}|u_n-\alpha |\le \frac{1}{2^{n+1}}|\beta -\alpha |$. Conclusion : $\forall n\in \mathbb{N}$ ; $|u_n-\alpha |\le \frac{1}{2^n}|\beta -\alpha |$. (d) ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{2^n}|\beta -\alpha |=0$ car $0<\frac{1}{2}<1$. Comme $0\le |u_n-\alpha |\le \frac{1}{2^n}|\beta -\alpha |$, le théorème des gendarmes donne $\lim |u_n-\alpha |=0$ : la suite $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$.

2. Exercice 2Analyse2.25 pts

   Chapitres : Calcul intégral · Calcul intégral · Dérivation et étude des fonctions · Dérivation et étude des fonctions · Fonctions exponentielles · Fonctions exponentielles

   On considère la fonction numérique : $x|\to e^x$ et soit $(\Gamma )$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et pour tout $k\in \{0;1;\dots ;n\}$, on note $M_k$ le point de la courbe $(\Gamma )$ de coordonnées $(\frac{k}{n};e^{\frac{k}{n}})$.

   1. (a) Montrer que : $\forall k\in \{0;1;\dots ;(n-1)\}$ ; $\exists c_k\in ]\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}[$ tel que : $e^{\frac{k+1}{n}}-e^{\frac{k}{n}}=\frac{1}{n}{e}^{c_k}$. (0,5 pt) (b) Montrer que : $\forall k\in \{0;1;\dots ;(n-1)\}$ ; $M_k{M}_{k+1}=\frac{1}{n}\sqrt{1+e^{2c_k}}$ ($M_k{M}_{k+1}$ désigne la distance de $M_k$ à $M_{k+1}$). (0,25 pt) (c) En déduire que : $\forall k\in \{0;1;\dots ;(n-1)\}$ ; $\frac{1}{n}\sqrt{1+e^{\frac{2k}{n}}}\le M_k{M}_{k+1}\le \frac{1}{n}\sqrt{1+e^{\frac{2(k+1)}{n}}}$. (0,5 pt)
   2. Soit $(S_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ la suite numérique définie par : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ; $S_n={\sum }_{k=0}^{n-1}{M}_k{M}_{k+1}$. (a) Vérifier que : $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ; $\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}\sqrt{1+e^{\frac{2k}{n}}}\le S_n\le \frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\sqrt{1+e^{\frac{2k}{n}}}$. (0,5 pt) (b) En déduire que : ${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n={\int }_0^1\sqrt{1+e^{2x}}\mathrm{d}x$. (0,5 pt)
   Voir la correction

   1. (a) Soit $k\in \{0;1;\dots ;n-1\}$. La fonction $\exp$ est continue sur $[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}]$ et dérivable sur $]\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}[$ ; d'après le théorème des accroissements finis, il existe $c_k\in ]\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}[$ tel que $e^{\frac{k+1}{n}}-e^{\frac{k}{n}}=(\frac{k+1}{n}-\frac{k}{n}){\exp }^{\prime }(c_k)=\frac{1}{n}{e}^{c_k}$. (b) $M_k(\frac{k}{n};e^{\frac{k}{n}})$ et $M_{k+1}(\frac{k+1}{n};e^{\frac{k+1}{n}})$, donc $M_k{M}_{k+1}=\sqrt{(\frac{k+1}{n}-\frac{k}{n}{)}^2+(e^{\frac{k+1}{n}}-e^{\frac{k}{n}}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}{e}^{2c_k}}=\frac{1}{n}\sqrt{1+e^{2c_k}}.$ (c) Comme $\frac{k}{n}<c_k<\frac{k+1}{n}$ et que $x|\to \sqrt{1+e^{2x}}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (composée de fonctions croissantes) : $\sqrt{1+e^{\frac{2k}{n}}}\le \sqrt{1+e^{2c_k}}\le \sqrt{1+e^{\frac{2(k+1)}{n}}}$. En multipliant par $\frac{1}{n}>0$ : $\frac{1}{n}\sqrt{1+e^{\frac{2k}{n}}}\le M_k{M}_{k+1}\le \frac{1}{n}\sqrt{1+e^{\frac{2(k+1)}{n}}}$.
   2. (a) En sommant les inégalités de 1.c pour $k$ allant de $0$ à $n-1$ : $\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}\sqrt{1+e^{\frac{2k}{n}}}\le S_n\le \frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}\sqrt{1+e^{\frac{2(k+1)}{n}}}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\sqrt{1+e^{\frac{2k}{n}}}$ (changement d'indice $k+1\to k$). (b) La fonction $\phi :x|\to \sqrt{1+e^{2x}}$ est continue sur $[0,1]$. Les deux sommes $\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}\phi (\frac{k}{n})$ et $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\phi (\frac{k}{n})$ sont des sommes de Riemann de $\phi$ sur $[0,1]$ (subdivision régulière de pas $\frac{1}{n}$), donc elles convergent toutes deux vers ${\int }_0^1\phi (x)\mathrm{d}x$ quand $n\to +\infty$. Par le théorème des gendarmes, ${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n={\int }_0^1\sqrt{1+e^{2x}}\mathrm{d}x$ (c'est la longueur de l'arc de $(\Gamma )$ entre les abscisses $0$ et $1$).

3. Exercice 3Nombres complexes3.5 pts

   Chapitres : Nombres complexes (partie 1) · Nombres complexes (partie 1) · Suites numériques · Suites numériques

   On considère le nombre complexe : $u=1+(2-\sqrt{3})i$.

   1. (a) Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes : $1-i$ et $1+\sqrt{3}i$. (0,5 pt) (b) Montrer que : $\frac{(1-i)(1+\sqrt{3}i)}{2\sqrt{2}}=e^{i\frac{\pi }{12}}$. (0,25 pt) (c) En déduire que : $\tan (\frac{\pi }{12})=2-\sqrt{3}$. (0,25 pt) (d) Montrer que : $u=(\sqrt{6}-\sqrt{2})e^{i\frac{\pi }{12}}$. (0,5 pt)
   2. On considère les deux suites numériques $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $(y_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ définies par : $x_0=1,y_0=0\mathrm{et}(\forall n\in \mathbb{N});\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}=x_n-(2-\sqrt{3})y_n{y}_{n+1}=(2-\sqrt{3})x_n+y_n\end{array}.$ (a) Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $x_n+i{y}_n=u^n$. (0,5 pt) (b) En déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $x_n=\cos ((n\pi )/12)/(\cos (\pi /12){)}^n$ et $y_n=\sin ((n\pi )/12)/(\cos (\pi /12){)}^n$. (0,5 pt)
   3. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $u^n$. (a) Déterminer les entiers $n$ pour lesquels les points $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés. (0,5 pt) (b) Montrer que pour tout entier $n$, le triangle $O{A}_n{A}_{n+1}$ est rectangle en $A_n$. (0,5 pt)
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   1. (a) $|1-i|=\sqrt{2}$ et $1-i=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}(\cos (-\frac{\pi }{4})+i\sin (-\frac{\pi }{4}))$, donc $1-i=\sqrt{2}{e}^{-i\frac{\pi }{4}}$. $|1+\sqrt{3}i|=2$ et $1+\sqrt{3}i=2(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})$, donc $1+\sqrt{3}i=2e^{i\frac{\pi }{3}}$. (b) $\frac{(1-i)(1+\sqrt{3}i)}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}{e}^{-i\frac{\pi }{4}}\cdot 2e^{i\frac{\pi }{3}}}{2\sqrt{2}}=e^{i(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4})}=e^{i\frac{\pi }{12}}$. (c) En développant : $(1-i)(1+\sqrt{3}i)=1+\sqrt{3}i-i+\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})+(\sqrt{3}-1)i$. Donc $e^{i\frac{\pi }{12}}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+i\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$, d'où $\cos (\frac{\pi }{12})=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ et $\sin (\frac{\pi }{12})=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$. Ainsi $\tan (\frac{\pi }{12})=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}-1{)}^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}.$ (d) $u=1+\tan (\frac{\pi }{12})i=\frac{1}{\cos }(\frac{\pi }{12})(\cos (\frac{\pi }{12})+i\sin (\frac{\pi }{12}))=\frac{1}{\cos }(\frac{\pi }{12})e^{i\frac{\pi }{12}}$, et $\frac{1}{\cos }(\frac{\pi }{12})=\frac{2\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)=\sqrt{6}-\sqrt{2}$. Comme $\sqrt{6}-\sqrt{2}>0$, on a bien $u=(\sqrt{6}-\sqrt{2})e^{i\frac{\pi }{12}}$ (module $\sqrt{6}-\sqrt{2}$, argument $\frac{\pi }{12}$).
   2. (a) Initialisation : $x_0+i{y}_0=1=u^0$. Hérédité : supposons $x_n+i{y}_n=u^n$. Alors $x_{n+1}+i{y}_{n+1}=x_n-(2-\sqrt{3})y_n+i(2-\sqrt{3})x_n+i{y}_n=(x_n+i{y}_n)(1+(2-\sqrt{3})i)=u^n\cdot u=u^{n+1}.$ Conclusion : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $x_n+i{y}_n=u^n$. (b) D'après 1.d, $u^n=(\sqrt{6}-\sqrt{2}{)}^n{e}^{i\frac{n\pi }{12}}=\frac{1}{(\cos (\frac{\pi }{12}){)}^n}(\cos (\frac{n\pi }{12})+i\sin (\frac{n\pi }{12}))$. Comme $x_n$ et $y_n$ sont réels (récurrence immédiate : ils sont définis à partir de réels par des opérations réelles), l'identification des parties réelle et imaginaire donne $x_n=\cos ((n\pi )/12)/(\cos (\pi /12){)}^n$ et $y_n=\sin ((n\pi )/12)/(\cos (\pi /12){)}^n$.
   3. (a) $A_0$ a pour affixe $u^0=1\ne 0$. Les points $O$, $A_0$, $A_n$ sont alignés si et seulement si $\frac{u^n}{1}=u^n\in \mathbb{R}$, c'est-à-dire $y_n=0$, soit $\sin (\frac{n\pi }{12})=0$ (car $(\cos (\frac{\pi }{12}){)}^n\ne 0$), soit $\frac{n\pi }{12}\equiv 0[\pi ]$, soit $n\equiv 0[12]$. Les entiers cherchés sont les multiples de $12$ : $n\in \{12mmed\text{/}medm\in \mathbb{N}\}$. (b) Soit $n\in \mathbb{N}$. $A_n\ne O$ car $u\ne 0$. On calcule $\frac{u^{n+1}-u^n}{0-u^n}=\frac{u^n(u-1)}{-u^n}=1-u=-(2-\sqrt{3})i.$ Ce quotient est un imaginaire pur non nul, donc $(\overrightarrow{A_{n}O},\overrightarrow{A_n{A}_{n+1}})\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$ : le triangle $O{A}_n{A}_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.

4. Exercice 4Arithmétique3 pts

   Chapitres : Arithmétique dans ℤ · Arithmétique dans ℤ · Nombres complexes (partie 1) · Nombres complexes (partie 1)

   Soit $p$ un nombre premier impair. On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E):x^2\equiv 2[p]$.

   1. (a) Montrer que : $2^{p-1}\equiv 1[p]$. (0,25 pt) (b) En déduire que : $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$ ou $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1[p]$ (on remarque que : $(2^{\frac{p-1}{2}}-1)(2^{\frac{p-1}{2}}+1)=2^{p-1}-1$). (0,25 pt)
   2. Soit $x$ une solution de l'équation $(E)$. (a) Montrer que $p$ et $x$ sont premiers entre eux. (0,5 pt) (b) En déduire que : $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$ (on pourra utiliser le théorème de Fermat). (0,5 pt)
   3. Montrer que pour tout $k\in \{1,2,\dots ,p-1\}$, $p$ divise $C_p^k$ (on rappelle que : $(\forall k\in \{1,2,\dots ,p-1\})$ $C_p^k=\frac{p!}{k!(p-k)!}$ et que : $k{C}_p^k=p{C}_{p-1}^{k-1}$). (0,25 pt)
   4. (a) En utilisant la formule de Moivre, montrer que : $(1+i{)}^p=2^{\frac{p}{2}}\cos (p\frac{\pi }{4})+i{2}^{\frac{p}{2}}\sin (p\frac{\pi }{4})$ ($i$ étant le nombre complexe tel que : $i^2=-1$). (0,25 pt) (b) On admet que : $(1+i{)}^p={\sum }_{k=0}^{k=\frac{p-1}{2}}(-1{)}^k{C}_p^{2k}+i{\sum }_{k=0}^{k=\frac{p-1}{2}}(-1{)}^k{C}_p^{2k+1}$. Montrer que : $2^{\frac{p}{2}}\cos (p\frac{\pi }{4})\in \mathbb{Z}$ et $2^{\frac{p}{2}}\cos (p\frac{\pi }{4})\equiv 1[p]$ (on pourra utiliser la question 3). (0,5 pt)
   5. En déduire que si $p\equiv 5[8]$ alors l'équation $(E)$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{Z}$. (0,5 pt)
   Voir la correction

   1. (a) $p$ est premier et impair, donc $p$ ne divise pas $2$ ; d'après le petit théorème de Fermat, $2^{p-1}\equiv 1[p]$. (b) $p$ étant impair, $\frac{p-1}{2}$ est un entier naturel et $(2^{\frac{p-1}{2}}-1)(2^{\frac{p-1}{2}}+1)=2^{p-1}-1\equiv 0[p]$. Comme $p$ est premier et divise ce produit, il divise l'un des facteurs (lemme d'Euclide) : $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$ ou $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1[p]$.
   2. (a) Si $p$ divisait $x$, alors $p$ diviserait $x^2$, donc $2=x^2-(x^2-2)$ serait divisible par $p$ (car $p|x^2-2$), ce qui est impossible car $p$ est un nombre premier impair. Donc $p$ ne divise pas $x$, et $p$ étant premier, $p$ et $x$ sont premiers entre eux. (b) $x^2\equiv 2[p]$ donne, en élevant à la puissance $\frac{p-1}{2}$ : $x^{p-1}=(x^2{)}^{\frac{p-1}{2}}\equiv 2^{\frac{p-1}{2}}[p]$. Or $p$ est premier et ne divise pas $x$, donc d'après le petit théorème de Fermat $x^{p-1}\equiv 1[p]$. Par conséquent $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$.
   3. Soit $k\in \{1,2,\dots ,p-1\}$. On a $k{C}_p^k=p{C}_{p-1}^{k-1}$, donc $p$ divise $k{C}_p^k$. Comme $1\le k\le p-1$ et $p$ est premier, $p$ et $k$ sont premiers entre eux ; d'après le théorème de Gauss, $p$ divise $C_p^k$.
   4. (a) $1+i=\sqrt{2}(\cos (\frac{\pi }{4})+i\sin (\frac{\pi }{4}))$. D'après la formule de Moivre, $(1+i{)}^p=(\sqrt{2}{)}^p(\cos (p\frac{\pi }{4})+i\sin (p\frac{\pi }{4}))=2^{\frac{p}{2}}\cos (p\frac{\pi }{4})+i{2}^{\frac{p}{2}}\sin (p\frac{\pi }{4})$. (b) Les sommes admises sont des entiers relatifs. En identifiant les parties réelles des deux écritures de $(1+i{)}^p$ (les $C_p^j$ étant réels) : $2^{\frac{p}{2}}\cos (p\frac{\pi }{4})={\sum }_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}(-1{)}^k{C}_p^{2k}\in \mathbb{Z}$. Dans cette somme, le terme $k=0$ vaut $C_p^0=1$ ; pour $1\le k\le \frac{p-1}{2}$, on a $2\le 2k\le p-1$, donc $p$ divise $C_p^{2k}$ d'après la question 3. Ainsi $2^{\frac{p}{2}}\cos (p\frac{\pi }{4})\equiv 1[p]$.
   5. Supposons $p\equiv 5[8]$ : $p=8m+5$ avec $m\in \mathbb{N}$. Alors $p\frac{\pi }{4}=2m\pi +\frac{5\pi }{4}$, donc $\cos (p\frac{\pi }{4})=\cos (\frac{5\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}=-2^{-\frac{1}{2}}$ et $2^{\frac{p}{2}}\cos (p\frac{\pi }{4})=-2^{\frac{p}{2}-\frac{1}{2}}=-2^{\frac{p-1}{2}}$. D'après 4.b : $-2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$, soit $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1[p]$. Si l'équation $(E)$ admettait une solution $x$, on aurait d'après 2.b $2^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$, d'où $1\equiv -1[p]$, c'est-à-dire $p|2$, ce qui est absurde car $p$ est impair. Donc si $p\equiv 5[8]$, l'équation $x^2\equiv 2[p]$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{Z}$ (exemples : $p=5$, $p=13$, $p=29$).

5. Exercice 5Structures algébriques3.5 pts

   Chapitres : Structures algébriques · Structures algébriques · Espaces vectoriels · Espaces vectoriels

   On rappelle que $(M_2(\mathbb{R}),+,\times )$ est un anneau non commutatif de zéro la matrice $O=\left(\begin{array}{ccc}0& 00& 0\end{array}\right)$ et d'unité la matrice $I=\left(\begin{array}{ccc}1& 00& 1\end{array}\right)$, et que $(M_2(\mathbb{R}),+,.)$ est un espace vectoriel réel.

   On considère l'ensemble $E=\{M(x,y)=\left(\begin{array}{ccc}x+y& y2y& x-y\end{array}\right)med\text{/}med(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\}$.

   Partie I.

   1. Montrer que $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb{R}),+)$. (0,5 pt)
   2. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $(M_2(\mathbb{R}),+,.)$. (0,25 pt)
   3. (a) Vérifier que : $\forall (x,y,x^{\prime },y^{\prime })\in {\mathbb{R}}^4$ ; $M(x,y)\times M(x^{\prime },y^{\prime })=M(x{x}^{\prime }+3y{y}^{\prime },x{y}^{\prime }+y{x}^{\prime })$. (0,25 pt) (b) En déduire que $(E,+,\times )$ est un anneau commutatif et unitaire. (0,5 pt)
   4. (a) Vérifier que : $M(\sqrt{3},1)\times M(-\sqrt{3},1)=O$. (0,25 pt) (b) En déduire que $(E,+,\times )$ n'est pas un corps. (0,25 pt)

   Partie II. Soient $F=\{x+y\sqrt{3}med\text{/}med(x,y)\in {\mathbb{Q}}^2\}$ et $G=\{M(x,y)=\left(\begin{array}{ccc}x+y& y2y& x-y\end{array}\right)med\text{/}med(x,y)\in {\mathbb{Q}}^2\}$.

   1. Montrer que : $\forall (x,y)\in {\mathbb{Q}}^2$ ; $x+y\sqrt{3}=0$ si et seulement si ($x=0$ et $y=0$). (0,25 pt)
   2. Montrer que $F-\{0\}$ est un sous-groupe de $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$. (0,25 pt)
   3. Soit $\phi$ l'application définie de $F-\{0\}$ vers $E$ par : $\forall (x,y)\in {\mathbb{Q}}^2-\{(0,0)\}$ ; $\phi (x+y\sqrt{3})=M(x,y)$. (a) Vérifier que : $\phi (F-\{0\})=G-\{O\}$. (0,25 pt) (b) Montrer que $\phi$ est un homomorphisme de $(F-\{0\},\times )$ vers $(E,\times )$. (0,25 pt) (c) En déduire que $(G-\{O\},\times )$ est un groupe commutatif. (0,25 pt)
   4. Montrer que $(G,+,\times )$ est un corps commutatif. (0,25 pt)
   Voir la correction

   Partie I.

   1. $E\subset M_2(\mathbb{R})$ et $O=M(0,0)\in E$, donc $E\ne \varnothing$. Pour $(x,y),(x^{\prime },y^{\prime })\in {\mathbb{R}}^2$ : $M(x,y)-M(x^{\prime },y^{\prime })=\left(\begin{array}{ccc}x-x^{\prime }+y-y^{\prime }& y-y^{\prime }2(y-y^{\prime })& x-x^{\prime }-(y-y^{\prime })\end{array}\right)=M(x-x^{\prime },y-y^{\prime })\in E.$ Donc $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb{R}),+)$.
   2. $E$ est un sous-groupe de $(M_2(\mathbb{R}),+)$, donc non vide et stable par addition. De plus, pour $\lambda \in \mathbb{R}$ et $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ : $\lambda .M(x,y)=\left(\begin{array}{ccc}\lambda x+\lambda y& \lambda y2\lambda y& \lambda x-\lambda y\end{array}\right)=M(\lambda x,\lambda y)\in E$. Donc $E$ est un sous-espace vectoriel de $(M_2(\mathbb{R}),+,.)$. (On peut aussi remarquer que $M(x,y)=xI+yM(0,1)$ : $E$ est le sous-espace engendré par $I$ et $M(0,1)$.)
   3. (a) $M(x,y)\times M(x^{\prime },y^{\prime })=\left(\begin{array}{ccc}x+y& y2y& x-y\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{x}^{\prime }+y^{\prime }& y^{\prime }2y^{\prime }& x^{\prime }-y^{\prime }\end{array}\right)$. Coefficients : ligne 1 : $(x+y)(x^{\prime }+y^{\prime })+2y{y}^{\prime }=(x{x}^{\prime }+3y{y}^{\prime })+(x{y}^{\prime }+y{x}^{\prime })$ et $(x+y)y^{\prime }+y(x^{\prime }-y^{\prime })=x{y}^{\prime }+y{x}^{\prime }$ ; ligne 2 : $2y(x^{\prime }+y^{\prime })+2y^{\prime }(x-y)=2(x{y}^{\prime }+y{x}^{\prime })$ et $2y{y}^{\prime }+(x-y)(x^{\prime }-y^{\prime })=(x{x}^{\prime }+3y{y}^{\prime })-(x{y}^{\prime }+y{x}^{\prime })$. En posant $X=x{x}^{\prime }+3y{y}^{\prime }$ et $Y=x{y}^{\prime }+y{x}^{\prime }$, la matrice obtenue est $\left(\begin{array}{ccc}X+Y& Y2Y& X-Y\end{array}\right)=M(X,Y)$. Donc $M(x,y)\times M(x^{\prime },y^{\prime })=M(x{x}^{\prime }+3y{y}^{\prime },x{y}^{\prime }+y{x}^{\prime })$. (b) $(E,+)$ est un groupe commutatif (question 1). D'après (a), $E$ est stable pour $\times$. La multiplication est associative et distributive par rapport à l'addition dans $E$ car elle l'est dans $M_2(\mathbb{R})$. $I=M(1,0)\in E$ est l'élément unité. Enfin la formule de (a) est symétrique en $(x,y)$ et $(x^{\prime },y^{\prime })$ : $M(x^{\prime },y^{\prime })\times M(x,y)=M(x^{\prime }x+3y^{\prime }y,x^{\prime }y+y^{\prime }x)=M(x,y)\times M(x^{\prime },y^{\prime })$. Donc $(E,+,\times )$ est un anneau commutatif et unitaire.
   4. (a) D'après 3.a : $M(\sqrt{3},1)\times M(-\sqrt{3},1)=M(-3+3,\sqrt{3}-\sqrt{3})=M(0,0)=O$. (b) $M(\sqrt{3},1)\ne O$ et $M(-\sqrt{3},1)\ne O$ sont deux éléments non nuls de $E$ dont le produit est nul : $E$ possède des diviseurs de zéro. Dans un corps, un produit nul a un facteur nul (tout élément non nul est inversible). Donc $(E,+,\times )$ n'est pas un corps. (Directement : si $M(\sqrt{3},1)$ était inversible, en multipliant l'égalité de (a) par son inverse on obtiendrait $M(-\sqrt{3},1)=O$, faux.)

   Partie II.

   1. Si $x=y=0$ alors $x+y\sqrt{3}=0$. Réciproquement, soit $(x,y)\in {\mathbb{Q}}^2$ avec $x+y\sqrt{3}=0$. Si $y\ne 0$, alors $\sqrt{3}=-\frac{x}{y}\in \mathbb{Q}$, ce qui est absurde car $\sqrt{3}$ est irrationnel. Donc $y=0$, puis $x=0$.
   2. $F-\{0\}\subset {\mathbb{R}}^{\ast }$ et $1=1+0\sqrt{3}\in F-\{0\}$. Soient $a=x+y\sqrt{3}$ et $b=x^{\prime }+y^{\prime }\sqrt{3}$ deux éléments de $F-\{0\}$ ($(x,y),(x^{\prime },y^{\prime })\in {\mathbb{Q}}^2$ non nuls). D'abord $b^{\prime }=x^{\prime }-y^{\prime }\sqrt{3}\ne 0$ d'après la question 1 (appliquée à $(x^{\prime },-y^{\prime })$), et $b{b}^{\prime }=x^{\prime 2}-3y^{\prime 2}\in {\mathbb{Q}}^{\ast }$. Alors $a{b}^{-1}=\frac{a{b}^{\prime }}{b{b}^{\prime }}=\frac{(x+y\sqrt{3})(x^{\prime }-y^{\prime }\sqrt{3})}{x^{\prime 2}-3y^{\prime 2}}=\frac{x{x}^{\prime }-3y{y}^{\prime }}{x^{\prime 2}-3y^{\prime 2}}+\frac{y{x}^{\prime }-x{y}^{\prime }}{x^{\prime 2}-3y^{\prime 2}}\sqrt{3}\in F,$ et $a{b}^{-1}\ne 0$ comme produit de réels non nuls. Donc $a{b}^{-1}\in F-\{0\}$ : $F-\{0\}$ est un sous-groupe de $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$.
   3. Remarque préalable : $\phi$ est bien définie car l'écriture $x+y\sqrt{3}$ d'un élément de $F$ est unique (si $x+y\sqrt{3}=x^{\prime }+y^{\prime }\sqrt{3}$ alors $(x-x^{\prime })+(y-y^{\prime })\sqrt{3}=0$ et la question 1 donne $x=x^{\prime }$, $y=y^{\prime }$). (a) $\phi (F-\{0\})=\{M(x,y)med\text{/}med(x,y)\in {\mathbb{Q}}^2-\{(0,0)\}\}$. Or $M(x,y)=O\iff (x+y=0,y=0,2y=0,x-y=0)\iff x=y=0$. Donc $\phi (F-\{0\})=\{M(x,y)med\text{/}med(x,y)\in {\mathbb{Q}}^2\}-\{O\}=G-\{O\}$. (b) Soient $a=x+y\sqrt{3}$ et $b=x^{\prime }+y^{\prime }\sqrt{3}$ dans $F-\{0\}$. $ab=(x{x}^{\prime }+3y{y}^{\prime })+(x{y}^{\prime }+y{x}^{\prime })\sqrt{3}$ avec $(x{x}^{\prime }+3y{y}^{\prime },x{y}^{\prime }+y{x}^{\prime })\in {\mathbb{Q}}^2$, donc $\phi (ab)=M(x{x}^{\prime }+3y{y}^{\prime },x{y}^{\prime }+y{x}^{\prime })=M(x,y)\times M(x^{\prime },y^{\prime })=\phi (a)\times \phi (b)$ (d'après I.3.a). $\phi$ est un homomorphisme de $(F-\{0\},\times )$ vers $(E,\times )$. (c) L'image d'un groupe commutatif par un homomorphisme est un groupe commutatif pour la loi d'arrivée. $(F-\{0\},\times )$ est un groupe commutatif (sous-groupe de $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$) et $\phi (F-\{0\})=G-\{O\}$, donc $(G-\{O\},\times )$ est un groupe commutatif, d'élément neutre $\phi (1)=M(1,0)=I$.
   4. $G\subset E$ et $G$ est un sous-groupe de $(E,+)$ : $I=M(1,0)\in G$ et $M(x,y)-M(x^{\prime },y^{\prime })=M(x-x^{\prime },y-y^{\prime })\in G$ pour $(x,y),(x^{\prime },y^{\prime })\in {\mathbb{Q}}^2$. $G$ est stable pour $\times$ ($M(x,y)\times M(x^{\prime },y^{\prime })=M(x{x}^{\prime }+3y{y}^{\prime },x{y}^{\prime }+y{x}^{\prime })$ à coefficients rationnels) ; $\times$ est associative, commutative, distributive par rapport à $+$ dans $G$ (car dans $E$) et $I\in G$. Donc $(G,+,\times )$ est un sous-anneau commutatif unitaire de $E$. Enfin, d'après 3.c, tout élément non nul de $G$ est inversible dans $G-\{O\}$, donc dans $G$, avec $I$ pour unité. Ainsi $(G,+,\times )$ est un corps commutatif.