Arithmétique dans ℤ
Bézout, Gauss, congruences, équations diophantiennes, petit théorème de Fermat.
Plan du chapitre
Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.
Rappels et identité de Bézout
En 2e Bac SM on reprend l'arithmétique de 1BAC SM avec plus de rigueur. L'algorithme d'Euclide étendu fournit une méthode algorithmique pour trouver u, v.
Théorèmes de Gauss et applications
Équations diophantiennes linéaires
Congruences
Résolution d'équations modulo n
Pour résoudre a x eq.triple b mod n : Si d = PGCD(a, n) ne divise pas b, pas de solution. Sinon, simplifier par d pour obtenir a' x eq.triple b' mod n' avec PGCD(a', n') = 1, puis utiliser l'inverse de a' modulo n' (fourni par Bézout).
Applications en cryptographie
Les congruences et le petit théorème de Fermat sont les fondations de la cryptographie moderne (RSA en particulier). À ce niveau, on se limite à des exercices de manipulation.
Documents
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