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2ème Bac Sciences Mathématiques B
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Suites numériques

Limite d'une suite, limites usuelles, théorèmes de comparaison, convergence monotone, suites récurrentes u(n+1)=f(u(n)) et point fixe, suites arithmético-géométriques, suites adjacentes.

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

  1. Rappels de première

  2. Limite d'une suite

  3. Limites usuelles et opérations

  4. Théorèmes de comparaison

  5. Convergence monotone

    Attention : le théorème donne l' de la limite, pas sa valeur. Si (un) est croissante et majorée par M, on sait seulement que lim un ≤ M.

  6. Suites récurrentes du type u(n+1) = f(un)

    C'est le cœur de l'exercice de bac. On considère u0 donné et u(n + 1) = f(un) avec f continue sur un intervalle I.

    • Suites arithmético-géométriques

  7. Suites adjacentes

  8. Ce qu'il faut retenir

    Limite d'une suite : unique ; convergente ⇒ bornée. lim q^n = 0 si |q| < 1, +∞ si q > 1. Comparaison : gendarmes, ou |un - ell| ≤ vn → 0. Convergence monotone : croissante + majorée (ou décroissante + minorée) ⇒ converge. Suite récurrente u(n + 1) = f(un) : intervalle stable (récurrence), monotonie (f croissante ou signe de f(x) - x), convergence, puis limite = point fixe f(ell) = ell. Arithmético-géométrique u(n + 1) = a un + b : vn = un - ell est géométrique avec ell = b/(1 - a). Suites adjacentes : même limite, et un ≤ ell ≤ vn.

Exercices type bac corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de bac, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

  1. Monotonie, majoration et limite

    Soit (u_n) la suite définie pour n ∈ ℕ par u_n = (3n + 1)/(n + 2).

    1. Montrer que u_n = 3 - 5/(n + 2) et en déduire que (u_n) est majorée par 3.
    2. Étudier la monotonie de (u_n).
    3. Déterminer lim(n → +∞) u_n.
    Voir la correction
    1. 3 - 5/(n + 2) = (3(n + 2) - 5)/(n + 2) = (3n + 1)/(n + 2) = u_n. Comme 5/(n + 2) > 0, on a u_n < 3.
    2. u_(n+1) - u_n = 5/(n + 2) - 5/(n + 3) = 5/((n + 2)(n + 3)) > 0 : la suite est strictement croissante.
    3. 5/(n + 2) → 0, donc lim u_n = 3.

  2. Suite arithmético-géométrique

    Soit (u_n) définie par u_0 = 1 et u_(n+1) = 1/2 u_n + 3.

    1. On pose v_n = u_n - 6. Montrer que (v_n) est géométrique.
    2. Exprimer v_n puis u_n en fonction de n, et calculer lim u_n.
    3. Calculer S_n = u_0 + u_1 + … + u_n.
    Voir la correction
    1. v_(n+1) = u_(n+1) - 6 = 1/2 u_n + 3 - 6 = 1/2 (u_n - 6) = 1/2 v_n : (v_n) est géométrique de raison 1/2 et de premier terme v_0 = -5.
    2. v_n = -5 (1/2)^n, donc u_n = 6 - 5 (1/2)^n. Comme -1 < 1/2 < 1, (1/2)^n → 0 et lim u_n = 6.
    3. S_n = ∑_(k=0)^n (6 + v_k) = 6(n + 1) + v_0 (1 - (1/2)^(n + 1))/(1 - 1/2) = 6(n + 1) - 10(1 - (1/2)^(n + 1)).

  3. Théorème des gendarmes et limites usuelles

    Déterminer les limites des suites suivantes :

    1. u_n = (n + cos n)/(n + 1) ;
    2. v_n = (sin n)/n (pour n ≥ 1) ;
    3. w_n = (2^n + 3^n)/3^n.
    Voir la correction
    1. -1 ≤ cos n ≤ 1 donne (n - 1)/(n + 1) ≤ u_n ≤ 1 ; comme (n - 1)/(n + 1) → 1, le théorème des gendarmes donne lim u_n = 1.
    2. |v_n| ≤ 1/n → 0, donc lim v_n = 0.
    3. w_n = (2/3)^n + 1 et (2/3)^n → 0 car 0 < 2/3 < 1 : lim w_n = 1.

  4. Suite récurrente : convergence monotone

    Soit (u_n) définie par u_0 = 0 et u_(n+1) = √(u_n + 6).

    1. Montrer par récurrence que pour tout n : 0 ≤ u_n ≤ 3.
    2. Montrer que (u_n) est croissante.
    3. En déduire que (u_n) converge et déterminer sa limite.
    Voir la correction
    1. Initialisation : u_0 = 0 ∈ [0, 3]. Hérédité : si 0 ≤ u_n ≤ 3, alors 6 ≤ u_n + 6 ≤ 9, donc √6 ≤ u_(n+1) ≤ 3, en particulier 0 ≤ u_(n+1) ≤ 3.
    2. Comme u_n ≥ 0 : u_(n+1) ≥ u_n ≤⇒ u_n + 6 ≥ u_n² ≤⇒ u_n² - u_n - 6 ≤ 0 ≤⇒ (u_n - 3)(u_n + 2) ≤ 0, vrai car 0 ≤ u_n ≤ 3.
    3. Croissante et majorée par 3, la suite converge vers une limite L ∈ [0, 3]. La fonction x → √(x + 6) étant continue, L = √(L + 6), soit L² - L - 6 = 0, d'où L = 3 (la racine -2 est exclue).

  5. Suites adjacentes

    Soient (u_n) et (v_n) définies par u_0 = 1, v_0 = 2 et, pour tout n : u_(n+1) = (u_n + v_n)/2 et v_(n+1) = (u_(n+1) + v_n)/2.

    1. Montrer que v_(n+1) - u_(n+1) = (v_n - u_n)/4 et en déduire v_n - u_n en fonction de n.
    2. Montrer que (u_n) est croissante et (v_n) décroissante.
    3. En déduire que (u_n) et (v_n) sont adjacentes.
    4. Montrer que la suite (u_n + 2 v_n) est constante et déterminer la limite commune de (u_n) et (v_n).
    Voir la correction
    1. v_(n+1) - u_(n+1) = (u_(n+1) + v_n)/2 - u_(n+1) = (v_n - u_(n+1))/2 = (v_n - (u_n + v_n)/2)/2 = (v_n - u_n)/4. La suite (v_n - u_n) est géométrique de raison 1/4 : v_n - u_n = (1/4)^n > 0.
    2. u_(n+1) - u_n = (v_n - u_n)/2 > 0 et v_(n+1) - v_n = (u_(n+1) - v_n)/2 = -(v_n - u_n)/4 < 0.
    3. (u_n) croissante, (v_n) décroissante et v_n - u_n = (1/4)^n → 0 : les suites sont adjacentes, donc convergent vers une même limite L.
    4. u_(n+1) + 2 v_(n+1) = u_(n+1) + u_(n+1) + v_n = 2 u_(n+1) + v_n = u_n + v_n + v_n = u_n + 2 v_n : la suite est constante, égale à u_0 + 2 v_0 = 5. En passant à la limite, 3L = 5, donc L = 5/3.

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