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2ème Bac Sciences Mathématiques B
MATHEMATICS · 2ème Bac Sciences Mathématiques B · 2ème Bac

Limites et continuité

Limites (formes indéterminées, comparaison, composée), continuité, prolongement, théorème des valeurs intermédiaires et dichotomie, théorème de la bijection, fonction réciproque et racine n-ième.

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

  1. Limites : définitions et vocabulaire

  2. Limites usuelles

  3. Opérations et formes indéterminées

    Les limites d'une somme, d'un produit, d'un quotient se calculent « naturellement » sauf dans quatre situations, dites : ∞ - ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0. Une forme indéterminée n'a pas de réponse toute faite : il faut transformer l'expression.

  4. Théorèmes de comparaison

  5. Limite d'une fonction composée

  6. Continuité

    Graphiquement, une fonction continue sur un intervalle a une courbe que l'on peut tracer « sans lever le crayon ».

  7. Image d'un intervalle, théorème des valeurs intermédiaires

  8. Fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone

    • Racine n-ième

  9. Ce qu'il faut retenir

    Quatre formes indéterminées : ∞ - ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0 ; on les lève par factorisation du terme dominant, quantité conjuguée, simplification ou encadrement. √(x²) = |x| : en -∞, factoriser √(x² + …) = -x √(1 + …). Gendarmes : encadrer par deux fonctions de même limite. Continuité en a : lim(x → a) f(x) = f(a) ; prolongement par continuité lorsque la limite existe sans que f(a) soit définie. TVI : continue + changement de signe ⇒ existence ; + stricte monotonie ⇒ unicité ; dichotomie pour encadrer. Bijection : continue et strictement monotone sur I ⇒ réciproque f^(-1) continue, de même…

Exercices type bac corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de bac, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

  1. Calculs de limites

    Calculer les limites suivantes :

    1. lim(x → +∞) (2x² - 3x + 1)/(x² + 5) ;
    2. lim(x → +∞) (√(x² + 1) - x) ;
    3. lim(x → 0) (√(1 + x) - 1)/x ;
    4. lim(x → 2^+) (x + 1)/(x - 2).
    Voir la correction
    1. En factorisant par x² : (2 - 3/x + 1/x²)/(1 + 5/x²) → 2.
    2. Forme indéterminée ∞ - ∞. On multiplie par la quantité conjuguée : √(x² + 1) - x = ((x² + 1) - x²)/(√(x² + 1) + x) = 1/(√(x² + 1) + x) → 0.
    3. Forme 0/0. Avec la quantité conjuguée : (√(1 + x) - 1)/x = ((1 + x) - 1)/(x(√(1 + x) + 1)) = 1/(√(1 + x) + 1) → 1/2.
    4. Le numérateur tend vers 3 > 0 et le dénominateur vers 0^+ : la limite est +∞.

  2. Théorème des gendarmes

    1. Soit f(x) = (2x + sin x)/x pour x > 0. Encadrer f(x) et en déduire lim(x → +∞) f(x).
    2. Déterminer lim(x → 0) x² cos(1/x).
    Voir la correction
    1. Pour x > 0, -1 ≤ sin x ≤ 1 donne (2x - 1)/x ≤ f(x) ≤ (2x + 1)/x, soit 2 - 1/x ≤ f(x) ≤ 2 + 1/x. Les deux bornes tendent vers 2, donc lim(x → +∞) f(x) = 2 (théorème des gendarmes).
    2. Pour x ≠ 0, |x² cos(1/x)| ≤ x² car |cos(1/x)| ≤ 1. Comme x² → 0, on obtient lim(x → 0) x² cos(1/x) = 0.

  3. Continuité et prolongement par continuité

    1. Soit f(x) = (x² - 4)/(x - 2) pour x ≠ 2. Montrer que f est prolongeable par continuité en 2 et préciser le prolongement.
    2. Soit g(x) = (√(x + 4) - 2)/x pour x > -4, x ≠ 0. Calculer lim(x → 0) g(x) et conclure.
    3. Soit h définie par h(x) = x² + a si x ≤ 1 et h(x) = 3x - 1 si x > 1. Déterminer a pour que h soit continue sur ℝ.
    Voir la correction
    1. Pour x ≠ 2, f(x) = ((x - 2)(x + 2))/(x - 2) = x + 2, donc lim(x → 2) f(x) = 4 : f est prolongeable par continuité en 2 en posant f(2) = 4 (le prolongement est x → x + 2).
    2. g(x) = ((x + 4) - 4)/(x(√(x + 4) + 2)) = 1/(√(x + 4) + 2) → 1/4. g est prolongeable par continuité en 0 avec g(0) = 1/4.
    3. Sur chaque intervalle, h est polynomiale donc continue. En 1 : h(1) = 1 + a et lim(x → 1^+) h(x) = 2. h est continue en 1 si et seulement si 1 + a = 2, soit a = 1.

  4. Théorème des valeurs intermédiaires

    Soit f(x) = x³ + x - 3.

    1. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans [1, 2].
    2. Donner un encadrement de α d'amplitude 10^(-1).
    Voir la correction
    1. f est continue (polynôme) et f'(x) = 3x² + 1 > 0, donc f est strictement croissante sur ℝ. f(1) = -1 < 0 et f(2) = 7 > 0 : d'après le théorème des valeurs intermédiaires (version stricte monotonie), l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α ∈ ]1, 2[.
    2. f(1,2) = 1,728 + 1,2 - 3 = -0,072 < 0 et f(1,3) = 2,197 + 1,3 - 3 = 0,497 > 0, donc 1,2 < α < 1,3.

  5. Image d'un intervalle et limite d'une composée

    1. Soit f(x) = x² - 2x. Déterminer f([0, 3]).
    2. Calculer lim(x → +∞) √((x + 1)/(2x - 3)).
    Voir la correction
    1. f est continue sur [0, 3] et f'(x) = 2x - 2 : f décroît sur [0, 1] puis croît sur [1, 3], avec f(0) = 0, f(1) = -1, f(3) = 3. L'image d'un segment par une fonction continue est un segment : f([0, 3]) = [-1, 3].
    2. (x + 1)/(2x - 3) → 1/2 en +∞, et la fonction racine carrée est continue en 1/2, donc la limite vaut √(1/2) = √2/2.

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