Dérivation et étude des fonctions

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

1. 01Dérivabilité

2. 02Théorèmes fondamentaux

   a, b[, avecf(a) = f(b). Alors il existec in ]a, b[tel quef'(c) = 0$. ] a, b[. Il existec in ]a, b[tel que : f(b) - f(a) = f'(c) (b - a). $ ]

3. 03Dérivabilité à gauche et à droite

4. 04Dérivée d'une fonction composée (rappel)

   (g compose u)'(x) = u'(x) × g'(u(x)). Cas particuliers : (u^n)' = n u^(n-1) u' ; (√(u))' = u'/(2 √(u)) ; (1/u)' = -u'/u².

5. 05Étude complète d'une fonction

   Plan (rappel 1BAC SE) : Domaine. Parité, périodicité. Limites aux bornes. Asymptotes. Dérivée, signe, tableau de variations. Extrema. Points particuliers, tangentes. Tracé. En 2e Bac on ajoute : Étude de la via la dérivée seconde f''. Détection des (où f'' change de signe). - plus raffinées.

6. 06Branches paraboliques

   Quand f(x) -> ± ∞ en ± ∞ : Si f(x)/x -> a ≠ 0 et f(x) - a x -> b finie : asymptote oblique y = a x + b. Si f(x)/x -> a mais f(x) - a x -> ± ∞ : branche parabolique de direction y = a x. Si f(x)/x -> ± ∞ : branche parabolique verticale. Si f(x)/x -> 0 : branche parabolique horizontale.

7. 07Optimisation (problèmes de maximum/minimum)

   Les extrema s'obtiennent : en annulant la dérivée dans l'intérieur d'un intervalle ; aux bornes de l'intervalle (si fermé) ; en des points où la fonction n'est pas dérivable.