Géométrie dans l'espace, nombres complexes, calcul des probabilités et étude de fonctions numériques, suites numériques et calcul intégral

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Géométrie dans l'espace3 pts

   Chapitre : Géométrie dans l'espace

   Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les points $A(0,0,2)$, $B(2,0,0)$ et la sphère $(S)$ de centre $O$ et de rayon $R=2$.

   1. (a) Déterminer l'équation cartésienne de la sphère $(S)$. (0,25 pt) (b) Vérifier que les points $A$ et $B$ appartiennent à la sphère $(S)$. (0,5 pt)
   2. Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$. (a) Déterminer l'intersection du plan $(OAB)$ avec la sphère $(S)$. (0,25 pt) (b) Vérifier que $\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ puis montrer que $d(O,(AB))=\sqrt{2}$. (0,5 pt)
   3. On considère un point $M(0,m,0)$ de l'espace, où $m\in \mathbb{R}$. (a) Vérifier que $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AM}=2m\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+2m\overrightarrow{k}$. (0,5 pt) (b) Déduire que $mx+2y+mz-2m=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABM)$. (0,25 pt) (c) Montrer que $d(O,(ABM))=\frac{2|m|}{\sqrt{4+2m^2}}$. (0,25 pt)
   4. Le plan $(ABM)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $({\Gamma }_m)$ de rayon $r$. Montrer que $r=\sqrt{2+\frac{4}{2+m^2}}$ et déduire que $\sqrt{2}<r\le 2$, pour tout $m\in \mathbb{R}$. (0,5 pt)
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   1. (a) $M(x,y,z)\in (S)<\Rightarrow OM=2<\Rightarrow x^2+y^2+z^2=4$. (b) $A$ : $0+0+2^2=4$ et $B$ : $2^2+0+0=4$. Donc $A\in (S)$ et $B\in (S)$.
   2. (a) Le plan $(OAB)$ passe par le centre $O$ de la sphère, donc $d(O,(OAB))=0<R$ : l'intersection de $(OAB)$ et de $(S)$ est le grand cercle de centre $O$ et de rayon $2$ contenu dans le plan $(OAB)$. (b) $I=(\frac{0+2}{2},0,\frac{2+0}{2})=(1,0,1)$ et $\overrightarrow{AB}(2,0,-2)$, donc $\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{AB}=1\times 2+0+1\times (-2)=0$. Ainsi $(OI)\perp (AB)$ ; comme $I\in (AB)$, $I$ est le projeté orthogonal de $O$ sur la droite $(AB)$ et $d(O,(AB))=OI=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}$.
   3. (a) $\overrightarrow{AB}(2,0,-2)$ et $\overrightarrow{AM}(0,m,-2)$. Le produit vectoriel a pour coordonnées $(0\times (-2)-(-2)\times m;(-2)\times 0-2\times (-2);2\times m-0\times 0)=(2m,4,2m)$, donc $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AM}=2m\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+2m\overrightarrow{k}$. (b) Ce vecteur n'est jamais nul (sa deuxième coordonnée vaut $4$), donc $A$, $B$, $M$ ne sont pas alignés et $\overrightarrow{n}(2m,4,2m)$ est normal au plan $(ABM)$ ; le vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow{n}=(m,2,m)$ l'est aussi. Une équation est donc $mx+2y+mz+d=0$, et $A(0,0,2)\in (ABM)$ donne $2m+d=0$, soit $d=-2m$. D'où $(ABM):mx+2y+mz-2m=0$. (c) $d(O,(ABM))=|m\times 0+2\times 0+m\times 0-2m\frac{|}{\sqrt{m^2+4+m^2}}=\frac{2|m|}{\sqrt{4+2m^2}}$.
   4. On a $d(O,(ABM){)}^2=\frac{4m^2}{4+2m^2}=\frac{2m^2}{2+m^2}<2<4=R^2$, donc le plan coupe bien la sphère suivant un cercle, de rayon $r$ vérifiant $r^2=R^2-d^2=4-\frac{2m^2}{2+m^2}=\frac{8+4m^2-2m^2}{2+m^2}=\frac{8+2m^2}{2+m^2}=\frac{2(2+m^2)+4}{2+m^2}=2+\frac{4}{2+m^2}$. Donc $r=\sqrt{2+\frac{4}{2+m^2}}$. Pour tout $m\in \mathbb{R}$ : $2+m^2\ge 2$, donc $0<\frac{4}{2+m^2}\le 2$ et $2<r^2\le 4$, d'où (la fonction racine carrée étant strictement croissante) $\sqrt{2}<r\le 2$.

2. Exercice 2Nombres complexes3.5 pts

   Chapitres : Nombres complexes (partie 1) · Nombres complexes (partie 2) · Nombres complexes (introduction)

   Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A$, $B$, $C$, $D$ et $\Omega$ d'affixes respectives $a=1+2i$, $b=\overline{a}$, $c=\frac{3(3+i)}{2}$, $d=\frac{3(1+i)}{2}$ et $\omega =\frac{5}{2}$.

   1. (a) Vérifier que $a+b=2$ et déduire que l'affixe du point $P$, milieu du segment $[AB]$, est $p=1$. (0,5 pt) (b) Montrer que $a$ et $b$ sont les solutions de l'équation : $z^2-2z+5=0$ dans l'ensemble $\mathbb{C}$. (0,5 pt)
   2. (a) Vérifier que $|\omega -a|=|\omega -b|=|\omega -c|$. (0,5 pt) (b) Déduire que $\Omega$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$. (0,25 pt)
   3. (a) Vérifier que $\frac{d-c}{a-b}=\frac{3}{4}i$. (0,25 pt) (b) Montrer que $d-b=(c-a)e^{i\frac{\pi }{2}}$ puis en déduire que les droites $(DB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires. (0,5 pt)
   4. Soit $h$ l'homothétie de centre $C$ et de rapport $\frac{2}{3}$ et qui transforme chaque point $M$ du plan d'affixe $z$ en un point $M^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }$. On pose $h(P)=G$. (a) Vérifier que $z^{\prime }=\frac{2}{3}z+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i$. (0,25 pt) (b) Montrer que l'affixe du point $G$ est $g=\frac{13}{6}+\frac{1}{2}i$. (0,25 pt)
   5. Montrer que les points $\Omega$, $G$ et $D$ sont alignés. (0,5 pt)
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   1. (a) $a+b=a+\overline{a}=2\mathrm{Re}(a)=2$. Le milieu $P$ de $[AB]$ a pour affixe $p=\frac{a+b}{2}=1$. (b) $a+b=2$ et $ab=a\overline{a}=|a{|}^2=1+4=5$. Deux nombres complexes de somme $S=2$ et de produit $P=5$ sont les solutions de $z^2-Sz+P=0$, c'est-à-dire de $z^2-2z+5=0$. (Vérification directe : $\Delta =4-20=-16=(4i{)}^2$, solutions $\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$.)
   2. (a) $\omega -a=\frac{5}{2}-1-2i=\frac{3}{2}-2i$, donc $|\omega -a|=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$. $\omega -b=\frac{3}{2}+2i$, donc $|\omega -b|=\frac{5}{2}$. $c=\frac{9}{2}+\frac{3}{2}i$, donc $\omega -c=-2-\frac{3}{2}i$ et $|\omega -c|=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$. (b) $\Omega A=\Omega B=\Omega C=\frac{5}{2}$ : $\Omega$ est équidistant des trois sommets, c'est donc le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ (de rayon $\frac{5}{2}$).
   3. (a) $d-c=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}i-\frac{9}{2}-\frac{3}{2}i=-3$ et $a-b=1+2i-1+2i=4i$. Donc $\frac{d-c}{a-b}=\frac{-3}{4i}=\frac{-3i}{4i^2}=\frac{3}{4}i$. (b) $d-b=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}i-1+2i=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}i$ et $c-a=\frac{9}{2}+\frac{3}{2}i-1-2i=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$. Or $e^{i\frac{\pi }{2}}=i$ et $(c-a)i=\frac{7}{2}i-\frac{1}{2}{i}^2=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}i=d-b$. Donc $d-b=(c-a)e^{i\frac{\pi }{2}}$. Il en résulte $\frac{d-b}{c-a}=e^{i\frac{\pi }{2}}$, donc $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})\equiv arg(\frac{d-b}{c-a})\equiv \frac{\pi }{2}[2\pi ]$ : les droites $(DB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
   4. (a) L'écriture complexe de l'homothétie de centre $C$ et de rapport $\frac{2}{3}$ est $z^{\prime }-c=\frac{2}{3}(z-c)$, soit $z^{\prime }=\frac{2}{3}z+\frac{1}{3}c=\frac{2}{3}z+\frac{3+i}{2}=\frac{2}{3}z+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i$. (b) $g=\frac{2}{3}p+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i=\frac{2}{3}+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i=\frac{4+9}{6}+\frac{1}{2}i=\frac{13}{6}+\frac{1}{2}i$.
   5. $g-\omega =\frac{13}{6}-\frac{15}{6}+\frac{1}{2}i=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}i$ et $d-\omega =\frac{3}{2}-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}i=-1+\frac{3}{2}i=3(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}i)=3(g-\omega )$. Donc $\overrightarrow{\Omega D}=3\overrightarrow{\Omega G}$ : les vecteurs sont colinéaires et les points $\Omega$, $G$ et $D$ sont alignés.

3. Exercice 3Calcul des probabilités2.5 pts

   Chapitres : Dénombrement et probabilités · Dénombrement et probabilités

   Une urne contient six boules indiscernables au toucher : quatre boules blanches numérotées $0$ ; $1$ ; $1$ ; $1$ et deux boules noires numérotées $0$ ; $1$. On tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. On considère les évènements suivants : $A$ : « Les deux boules tirées portent le numéro 1 » ; $B$ : « Les deux boules tirées sont de même couleur ».

   1. (a) Montrer que $p(A)=\frac{2}{5}$. (0,5 pt) (b) Montrer que $p(B)=\frac{7}{15}$. (0,5 pt) (c) Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier. (0,5 pt)
   2. On répète l'expérience précédente trois fois successives. On considère la variable aléatoire $X$ indiquant le nombre de fois que l'on réalise l'évènement $A$. (a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous, représentant la loi de probabilité de $X$ : (0,75 pt)

   $X=x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
   $p(X=x_i)$	$\frac{27}{125}$

   (b) Calculer l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$. (0,25 pt)

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   Le tirage est simultané : les issues sont les combinaisons de $2$ boules parmi $6$, équiprobables, au nombre de $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$.

   1. (a) Quatre boules portent le numéro $1$ (trois blanches et une noire) : $A$ compte $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ tirages, donc $p(A)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$. (b) Deux blanches : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ tirages ; deux noires : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)=1$ tirage. Donc $p(B)=\frac{6+1}{15}=\frac{7}{15}$. (c) $A\cap B$ : deux boules de même couleur portant le numéro $1$, donc deux blanches numérotées $1$ (il n'y a qu'une noire numérotée $1$) : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ tirages, $p(A\cap B)=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$. Or $p(A)\times p(B)=\frac{2}{5}\times \frac{7}{15}=\frac{14}{75}\ne \frac{15}{75}=\frac{1}{5}$. Donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
   2. (a) On répète $3$ fois, de façon identique et indépendante, une expérience dont le succès « $A$ est réalisé » a pour probabilité $p=\frac{2}{5}$. $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\frac{2}{5}$ : $p(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{k}\right)(\frac{2}{5}{)}^k(\frac{3}{5}{)}^{3-k}$. $p(X=0)=(\frac{3}{5}{)}^3=\frac{27}{125}$ ; $p(X=1)=3\times \frac{2}{5}\times \frac{9}{25}=\frac{54}{125}$ ; $p(X=2)=3\times \frac{4}{25}\times \frac{3}{5}=\frac{36}{125}$ ; $p(X=3)=(\frac{2}{5}{)}^3=\frac{8}{125}$.

   $X=x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
   $p(X=x_i)$	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

   (Vérification : $27+54+36+8=125$.) (b) $E(X)=np=3\times \frac{2}{5}=\frac{6}{5}$ (ou directement $E(X)=\frac{0\times 27+1\times 54+2\times 36+3\times 8}{125}=\frac{150}{125}=\frac{6}{5}$).

4. Exercice 4Problème d'analyse11 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Limites et continuité · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral · Suites numériques · Fonctions logarithmiques · Limites et continuité · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral · Suites numériques

   Partie I. Le graphique ci-contre représente les courbes $({\mathcal{C}}_g)$ et $({\mathcal{C}}_h)$ des fonctions $g:x\to .bar{x}^2$ et $h:x\to .bar2\ln x-(\ln x{)}^2$ sur l'intervalle $]0,+\infty [$ dans un même repère orthonormé. [Figure : dans un repère orthonormé (abscisses de $0$ à $9$), la parabole $({\mathcal{C}}_g)$ part de l'origine et monte rapidement ; la courbe $({\mathcal{C}}_h)$ vient de $-\infty$ au voisinage de $0$, coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $1$, atteint son maximum $1$ au point d'abscisse $e$, puis redescend et recoupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $e^2\approx 7,4$. La courbe $({\mathcal{C}}_g)$ est entièrement au-dessus de $({\mathcal{C}}_h)$.]

   1. (a) Justifier graphiquement que pour tout $x$ de $]0,+\infty [$ : $g(x)-h(x)>0$. (0,25 pt) (b) Déduire que pour tout $x$ de $]0,+\infty [$ : $\frac{2\ln x-(\ln x{)}^2}{x^2}<1$. (0,5 pt)
   2. (a) Vérifier que la fonction $H:x\to .barx\ln x-x$ est une primitive de la fonction $x\to .bar\ln x$ sur l'intervalle $]0,+\infty [$, puis déduire que ${\int }_1^{e^2}\ln (x)\mathrm{d}x=1+e^2$. (0,5 pt) (b) En utilisant une intégration par parties, montrer que ${\int }_1^{e^2}(\ln x{)}^2\mathrm{d}x=2e^2-2$. (0,5 pt) (c) Résoudre sur l'intervalle $]0,+\infty [$ l'équation $h(x)=0$ et déduire les deux points d'intersection de la courbe $({\mathcal{C}}_h)$ avec l'axe des abscisses. (0,5 pt) (d) Déduire, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $({\mathcal{C}}_h)$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=1$ et $x=e^2$. (0,5 pt)

   Partie II. On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0,+\infty [$ par $f(x)=x-\frac{(\ln x{)}^2}{x}$. Soit $({\mathcal{C}}_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

   1. (a) Vérifier que ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ et donner une interprétation géométrique de ce résultat. (0,5 pt) (b) Montrer que ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{(\ln x{)}^2}{x}=0$ (on peut poser $t=\sqrt{x}$), puis calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$. (0,5 pt) (c) Déduire que la droite d'équation $y=x$ est une asymptote oblique de $({\mathcal{C}}_f)$ au voisinage de $+\infty$. (0,5 pt)
   2. (a) Montrer que pour tout $x$ de $]0,+\infty [$, $f^{\prime }(x)=1-\frac{2\ln x-(\ln x{)}^2}{x^2}$. (0,75 pt) (b) Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0,+\infty [$. (On peut utiliser la question Partie I-1-b.) (0,5 pt)
   3. (a) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $]0,+\infty [$. (0,5 pt) (b) Vérifier que $e^{-1}<\alpha <1$ et montrer que $\ln \alpha =-\alpha$. (0,75 pt) (c) Montrer que $f(x)\le x$, pour tout $x\in ]0,+\infty [$. (0,25 pt) (d) Montrer que $y=x$ est l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $({\mathcal{C}}_f)$ au point d'abscisse $1$. (0,5 pt)
   4. Le graphique ci-contre représente la courbe $({\mathcal{C}}_f)$ dans le repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. [Figure : repère orthonormé gradué de $-3$ à $5$ en abscisses et de $-3$ à $5$ en ordonnées ; la droite $y=x$ est tracée en pointillés. La courbe $({\mathcal{C}}_f)$, définie pour $x>0$, part de $-\infty$ le long de l'axe des ordonnées (asymptote verticale), coupe l'axe des abscisses en $\alpha \approx 0,57$, est tangente à la droite $y=x$ au point $(1,1)$, reste au-dessous de cette droite et s'en rapproche en $+\infty$.] Soit $\phi$ la restriction de $f$ sur l'intervalle $]0,1]$. (a) Montrer que $\phi$ admet une fonction réciproque ${\phi }^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera. (Il n'est pas demandé de déterminer l'expression de ${\phi }^{-1}(x)$.) (0,5 pt) (b) Montrer que ${\phi }^{-1}$ est dérivable en $0$ et que $({\phi }^{-1}{)}^{\prime }(0)=\frac{\alpha }{2+2\alpha }$. (0,5 pt) (c) Recopier la courbe de $\phi$ et construire la courbe de ${\phi }^{-1}$ dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. (0,75 pt)

   Partie III. Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0=e$ et $u_{n+1}=f(u_n)$, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

   1. Montrer par récurrence que $1<u_n$, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (0,5 pt)
   2. (a) Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante. (On peut utiliser la question Partie II-3-c.) (0,5 pt) (b) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. (0,25 pt) (c) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. (0,5 pt)
   Voir la correction

   Partie I.

   1. (a) Sur le graphique, la courbe $({\mathcal{C}}_g)$ est strictement au-dessus de $({\mathcal{C}}_h)$ sur $]0,+\infty [$ (les deux courbes ne se coupent pas), donc $g(x)-h(x)>0$, soit $x^2-(2\ln x-(\ln x{)}^2)>0$ pour tout $x>0$. (b) Pour $x>0$, $x^2>0$ ; en divisant l'inégalité $2\ln x-(\ln x{)}^2<x^2$ par $x^2$ : $\frac{2\ln x-(\ln x{)}^2}{x^2}<1$.
   2. (a) $H$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ et $H^{\prime }(x)=\ln x+x\times \frac{1}{x}-1=\ln x$. Donc $H$ est une primitive de $x\to .bar\ln x$ sur $]0,+\infty [$, et ${\int }_1^{e^2}\ln (x)\mathrm{d}x=[x\ln x-x{]}_1^{e^2}=(e^2\times 2-e^2)-(0-1)=e^2+1$. (b) Posons $u(x)=(\ln x{)}^2$ et $v^{\prime }(x)=1$ ; alors $u^{\prime }(x)=\frac{2\ln x}{x}$ et $v(x)=x$, fonctions dérivables à dérivées continues sur $[1,e^2]$. Par intégration par parties : ${\int }_1^{e^2}(\ln x{)}^2\mathrm{d}x=[x(\ln x{)}^2{]}_1^{e^2}-{\int }_1^{e^2}x\times \frac{2\ln x}{x}\mathrm{d}x=e^2\times 4-0-2{\int }_1^{e^2}\ln x\mathrm{d}x=4e^2-2(1+e^2)=2e^2-2$. (c) $h(x)=0<\Rightarrow \ln x(2-\ln x)=0<\Rightarrow \ln x=0$ ou $\ln x=2<\Rightarrow x=1$ ou $x=e^2$. La courbe $({\mathcal{C}}_h)$ coupe l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(1,0)$ et $(e^2,0)$. (d) Pour $x\in [1,e^2]$, $0\le \ln x\le 2$ donc $h(x)=\ln x(2-\ln x)\ge 0$ : la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses. L'aire cherchée est donc $\mathcal{A}={\int }_1^{e^2}h(x)\mathrm{d}x=2{\int }_1^{e^2}\ln x\mathrm{d}x-{\int }_1^{e^2}(\ln x{)}^2\mathrm{d}x=2(1+e^2)-(2e^2-2)=4$ unités d'aire.

   Partie II.

   1. (a) Quand $x\to 0^{+}$ : $\ln x\to -\infty$ donc $(\ln x{)}^2\to +\infty$, et $\frac{1}{x}\to +\infty$ ; ainsi $\frac{(\ln x{)}^2}{x}\to +\infty$ et $f(x)=x-\frac{(\ln x{)}^2}{x}\to 0-\infty =-\infty$. Interprétation : la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à $({\mathcal{C}}_f)$. (b) Posons $t=\sqrt{x}$, c'est-à-dire $x=t^2$ ; quand $x\to +\infty$, $t\to +\infty$ et $\ln x=2\ln t$, donc $\frac{(\ln x{)}^2}{x}=\frac{4(\ln t{)}^2}{t^2}=4(\frac{\ln t}{t}{)}^2$. Comme ${\lim }_{t\to +\infty }\frac{\ln t}{t}=0$ (croissances comparées), ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{(\ln x{)}^2}{x}=0$. Alors ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)={\lim }_{x\to +\infty }(x-\frac{(\ln x{)}^2}{x})=+\infty$. (c) $f(x)-x=-\frac{(\ln x{)}^2}{x}\to 0$ quand $x\to +\infty$ (question (b)). Donc la droite d'équation $y=x$ est asymptote oblique à $({\mathcal{C}}_f)$ au voisinage de $+\infty$.
   2. (a) $f$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ (somme et quotient de fonctions dérivables, dénominateur non nul). La dérivée de $x\to .bar(\ln x{)}^2$ est $2\ln x\times \frac{1}{x}=\frac{2\ln x}{x}$, donc $f^{\prime }(x)=1-\frac{\frac{2\ln x}{x}\times x-(\ln x{)}^2\times 1}{x^2}=1-\frac{2\ln x-(\ln x{)}^2}{x^2}$. (b) D'après la partie I, question 1)(b) : $\frac{2\ln x-(\ln x{)}^2}{x^2}<1$ pour tout $x>0$, donc $f^{\prime }(x)=1-\frac{2\ln x-(\ln x{)}^2}{x^2}>0$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$.
   3. (a) $f$ est continue et strictement croissante sur $]0,+\infty [$, donc elle réalise une bijection de $]0,+\infty [$ sur $f(]0,+\infty [)=]{\lim }_{x\to 0^{+}}f(x),{\lim }_{x\to +\infty }f(x)[=]-\infty ,+\infty [=\mathbb{R}$. Comme $0\in \mathbb{R}$, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]0,+\infty [$. (b) $f(e^{-1})=e^{-1}-\frac{(\ln e^{-1}{)}^2}{e^{-1}}=\frac{1}{e}-(-1{)}^{2}e=\frac{1}{e}-e<0$ et $f(1)=1-0=1>0$. Comme $f$ est strictement croissante et $f(e^{-1})<0=f(\alpha )<f(1)$, on a $e^{-1}<\alpha <1$. $f(\alpha )=0<\Rightarrow \alpha =\frac{(\ln \alpha {)}^2}{\alpha }<\Rightarrow {\alpha }^2=(\ln \alpha {)}^2<\Rightarrow \ln \alpha =\alpha$ ou $\ln \alpha =-\alpha$. Or $0<\alpha <1$ donne $\ln \alpha <0<\alpha$, donc $\ln \alpha \ne \alpha$ ; par conséquent $\ln \alpha =-\alpha$. (c) Pour tout $x>0$ : $f(x)-x=-\frac{(\ln x{)}^2}{x}\le 0$ car $(\ln x{)}^2\ge 0$ et $x>0$. Donc $f(x)\le x$. (d) $f(1)=1$ et $f^{\prime }(1)=1-\frac{0-0}{1}=1$. La tangente en $1$ a pour équation $y=f^{\prime }(1)(x-1)+f(1)=(x-1)+1=x$. Donc $(T):y=x$.
   4. (a) $\phi$ est continue et strictement croissante sur $]0,1]$ (restriction de $f$), donc elle réalise une bijection de $]0,1]$ sur $J=\phi (]0,1])=]{\lim }_{x\to 0^{+}}f(x),f(1)]=]-\infty ,1]$. Ainsi $\phi$ admet une fonction réciproque ${\phi }^{-1}$ définie sur $J=]-\infty ,1]$. (b) $\alpha \in ]0,1]$ et $\phi (\alpha )=f(\alpha )=0$. $\phi$ est dérivable en $\alpha$ et, en utilisant $\ln \alpha =-\alpha$ : ${\phi }^{\prime }(\alpha )=1-\frac{2\ln \alpha -(\ln \alpha {)}^2}{{\alpha }^2}=1-\frac{-2\alpha -{\alpha }^2}{{\alpha }^2}=1+\frac{2}{\alpha }+1=2+\frac{2}{\alpha }=\frac{2\alpha +2}{\alpha }\ne 0$. Donc ${\phi }^{-1}$ est dérivable en $\phi (\alpha )=0$ et $({\phi }^{-1}{)}^{\prime }(0)=\frac{1}{{\phi }^{\prime }(\alpha )}=\frac{\alpha }{2+2\alpha }$. (c) La courbe de ${\phi }^{-1}$ est la symétrique de la courbe de $\phi$ (partie de $({\mathcal{C}}_f)$ correspondant à $0<x\le 1$) par rapport à la droite $y=x$ : elle est définie sur $]-\infty ,1]$, passe par $(0,\alpha )$ avec $\alpha \approx 0,57$ et par $(1,1)$ où elle est tangente à la droite $y=x$, elle est croissante et admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale en $-\infty$ (symétrique de l'asymptote verticale $x=0$).

   Partie III.

   1. Initialisation : $u_0=e>1$. Hérédité : supposons $1<u_n$. Comme $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$, $f(u_n)>f(1)=1$, c'est-à-dire $u_{n+1}>1$. Conclusion : $1<u_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
   2. (a) Pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\le 0$ d'après la question Partie II-3-c (appliquée à $x=u_n>0$). La suite $(u_n)$ est décroissante. (b) $(u_n)$ est décroissante et minorée par $1$, donc elle est convergente. (c) Soit $l=\lim u_n$ ; comme $u_n>1$ pour tout $n$, $l\ge 1$. La fonction $f$ est continue sur $[1,+\infty [$ et $u_{n+1}=f(u_n)$, donc $f(l)=l$, soit $\frac{(\ln l{)}^2}{l}=0$, donc $\ln l=0$ et $l=1$. Ainsi ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=1$.