Suites numériques, géométrie dans l'espace, nombres complexes, calcul des probabilités, étude de fonctions numériques et calcul intégral

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Suites numériques3 pts

   Chapitres : Suites numériques · Fonctions exponentielles · Suites numériques · Fonctions exponentielles

   On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\frac{u_n-2}{2u_n+5}$, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

   1. Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_n>-1$. (0,5 pt)
   2. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, puis déduire que $(u_n)$ est convergente. (0,5 pt)
   3. On pose $v_n=\frac{3}{1+u_n}$, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (a) Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $2$ puis déterminer son premier terme. (0,5 pt) (b) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ et déduire la limite de $(u_n)$. (0,5 pt)
   4. On pose $w_n=e^{3-v_n}$ et $S_n=w_0+w_1+\dots +w_n$, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (a) Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme. (0,5 pt) (b) Calculer la limite de la somme $S_n$. (0,5 pt)
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   1. Par récurrence. Initialisation : $u_0=0>-1$. Hérédité : supposons $u_n>-1$ ; alors $2u_n+5>3>0$ et $u_{n+1}+1=\frac{u_n-2+2u_n+5}{2u_n+5}=\frac{3(u_n+1)}{2u_n+5}>0$, donc $u_{n+1}>-1$. Conclusion : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n>-1$.
   2. Pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n-2-u_n(2u_n+5)}{2u_n+5}=\frac{-2u_n^2-4u_n-2}{2u_n+5}=\frac{-2(u_n+1{)}^2}{2u_n+5}<0$ (le numérateur est strictement négatif car $u_n\ne -1$, et $2u_n+5>0$). La suite $(u_n)$ est donc strictement décroissante ; comme elle est minorée par $-1$, elle est convergente (théorème de convergence monotone).
   3. (a) $v_n$ est bien défini car $1+u_n>0$. Pour tout $n$ : $v_{n+1}=\frac{3}{1+u_{n+1}}=\frac{3}{\frac{3(u_n+1)}{2u_n+5}}=\frac{2u_n+5}{u_n+1}=\frac{2(u_n+1)+3}{u_n+1}=2+\frac{3}{u_n+1}=v_n+2$. Donc $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $2$ et de premier terme $v_0=\frac{3}{1+0}=3$. (b) $v_n=v_0+2n=2n+3$. De $v_n=\frac{3}{1+u_n}$ on tire $1+u_n=\frac{3}{v_n}$, donc $u_n=\frac{3}{2n+3}-1=\frac{-2n}{2n+3}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n={\lim }_{n\to +\infty }\frac{-2n}{2n+3}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{-2}{2+\frac{3}{n}}=-1$.
   4. (a) $w_n=e^{3-v_n}=e^{3-2n-3}=e^{-2n}=(e^{-2}{)}^n$. Donc $w_{n+1}=e^{-2}{w}_n$ : $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q=e^{-2}$ et de premier terme $w_0=e^0=1$. (b) $S_n=w_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-e^{-2(n+1)}}{1-e^{-2}}$. Comme $0<e^{-2}<1$, ${\lim }_{n\to +\infty }{e}^{-2(n+1)}=0$, donc ${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n=\frac{1}{1-e^{-2}}=\frac{e^2}{e^2-1}$.

2. Exercice 2Géométrie dans l'espace3 pts

   Chapitre : Géométrie dans l'espace

   Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les points $A(2,1,2)$ ; $B(-2,0,5)$ ; $C(4,-5,7)$ et $\Omega (1,-1,0)$. On pose $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\Omega A}$. Soit $(S)$ la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R=3$.

   1. (a) Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=13\overrightarrow{u}$ et déduire que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. (0,5 pt) (b) Vérifier que $x+2y+2z-8=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$. (0,25 pt) (c) Montrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$ au point $A$. (0,5 pt)
   2. Soient $(P)$ le plan d'équation cartésienne $3x+4y+z+1=0$ et $(\Delta )$ la droite passant par le point $A$ et orthogonale au plan $(P)$. (a) Montrer que la droite $(\Delta )$ coupe le plan $(P)$ au point $H(\frac{1}{2},-1,\frac{3}{2})$. (0,5 pt) (b) Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que le point $H$ soit milieu du segment $[AD]$. (0,5 pt)
   3. Soit $(Q)$ le plan passant par le point $D$ et de vecteur normal $\overrightarrow{\Omega D}$. (a) Montrer que le plan $(Q)$ est tangent à la sphère $(S)$ en $D$. (0,25 pt) (b) Montrer que les plans $(Q)$ et $(ABC)$ se coupent suivant la droite $(BC)$. (0,5 pt)
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   1. (a) $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\Omega A}(1,2,2)$, $\overrightarrow{AB}(-4,-1,3)$ et $\overrightarrow{AC}(2,-6,5)$. Donc $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=((-1)\times 5-3\times (-6))\overrightarrow{i}-((-4)\times 5-3\times 2)\overrightarrow{j}+((-4)\times (-6)-(-1)\times 2)\overrightarrow{k}=13\overrightarrow{i}+26\overrightarrow{j}+26\overrightarrow{k}=13\overrightarrow{u}$. Ce produit vectoriel est non nul, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires : les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. (b) $\overrightarrow{u}(1,2,2)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$, qui a donc une équation de la forme $x+2y+2z+d=0$ ; $A\in (ABC)$ donne $2+2+4+d=0$, soit $d=-8$. Donc $(ABC):x+2y+2z-8=0$. (c) $d(\Omega ,(ABC))=|1-2+0-8\frac{|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{9}{3}=3=R$ : le plan $(ABC)$ est tangent à $(S)$. De plus $A\in (ABC)$ et $\overrightarrow{\Omega A}=\overrightarrow{u}$ est normal au plan : $A$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(ABC)$, donc le point de contact. Le plan $(ABC)$ est tangent à $(S)$ au point $A$ (on vérifie : $\Omega A=\Vert \overrightarrow{u}\Vert =3=R$).
   2. (a) $(\Delta )$ passe par $A$ et est dirigée par le vecteur normal $\overrightarrow{n}(3,4,1)$ de $(P)$ : $(\Delta ):x=2+3t,y=1+4t,z=2+t$ ($t\in \mathbb{R}$). Un point de $(\Delta )$ appartient à $(P)$ si et seulement si $3(2+3t)+4(1+4t)+(2+t)+1=0$, soit $26t+13=0$, donc $t=-\frac{1}{2}$. Le point d'intersection est $H(2-\frac{3}{2},1-2,2-\frac{1}{2})=H(\frac{1}{2},-1,\frac{3}{2})$. (b) $H$ est le milieu de $[AD]$ si et seulement si $D=2H-A$, soit $D(1-2,-2-1,3-2)=D(-1,-3,1)$.
   3. (a) $\overrightarrow{\Omega D}(-2,-2,1)$ et $\Omega D=\sqrt{4+4+1}=3=R$, donc $D\in (S)$. Le plan $(Q)$ passe par le point $D$ de la sphère et est perpendiculaire au rayon $[\Omega D]$ : il est tangent à $(S)$ en $D$. (b) $(Q)$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{\Omega D}(-2,-2,1)$ et passe par $D$ : $-2(x+1)-2(y+3)+(z-1)=0$, soit $(Q):2x+2y-z+9=0$. $B(-2,0,5)$ : $-4+0-5+9=0$ et $C(4,-5,7)$ : $8-10-7+9=0$, donc $B\in (Q)$ et $C\in (Q)$. Par ailleurs $B$ et $C$ appartiennent à $(ABC)$. Les plans $(Q)$ et $(ABC)$ ne sont pas confondus (leurs vecteurs normaux $(2,2,-1)$ et $(1,2,2)$ ne sont pas colinéaires) et ont en commun les deux points distincts $B$ et $C$ : ils se coupent suivant la droite $(BC)$.

3. Exercice 3Nombres complexes3 pts

   Chapitres : Nombres complexes (partie 1) · Nombres complexes (partie 2) · Nombres complexes (introduction)

   1. On considère le nombre complexe $a=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i$. (a) Montrer que $a=\sqrt{3}(\cos (\frac{\pi }{3})+i\sin (\frac{\pi }{3}))$. (0,25 pt) (b) Déduire que $a^{2022}$ est un nombre réel. (0,25 pt)
   2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $a$ et $\overline{a}$. Déterminer une mesure de l'angle de la rotation $R$ de centre $O$ et qui transforme $B$ en $A$. (0,5 pt)
   3. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E_{\alpha }):z^2-\sqrt{3}z+\alpha =0$ où $\alpha$ est un nombre réel non nul. On suppose que l'équation $(E_{\alpha })$ admet deux racines complexes conjuguées non réelles $z$ et $\overline{z}$. Soient les points $M(z)$ ; $N(\overline{z})$ et $P(\sqrt{3})$ du plan complexe. Sans résoudre l'équation $(E_{\alpha })$ : (a) Justifier que $\alpha >\frac{3}{4}$ et que $\alpha =z\overline{z}$. (0,5 pt) (b) Montrer que $|z|=|z-\sqrt{3}|$. (0,5 pt) (c) En déduire que les points $M$ et $N$ appartiennent à la médiatrice $(\Delta )$ du segment $[OP]$. (0,5 pt) (d) Déterminer la valeur de $\alpha$ pour laquelle $|z-\sqrt{3}|=\sqrt{3}$ et déduire dans ce cas, les points d'intersection de la droite $(\Delta )$ et le cercle de centre $P$ et de rayon $\sqrt{3}$. (0,5 pt)
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   1. (a) $|a|=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{3}$ et $a=\sqrt{3}(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=\sqrt{3}(\cos (\frac{\pi }{3})+i\sin (\frac{\pi }{3}))$. (b) Par la formule de Moivre, $a^{2022}=(\sqrt{3}{)}^{2022}(\cos (\frac{2022\pi }{3})+i\sin (\frac{2022\pi }{3}))$. Or $\frac{2022\pi }{3}=674\pi =337\times 2\pi$, donc $\cos (\frac{2022\pi }{3})=1$ et $\sin (\frac{2022\pi }{3})=0$. Ainsi $a^{2022}=3^{1011}$ est un nombre réel.
   2. Soit $\theta$ une mesure de l'angle de $R$ : $z_A=e^{i\theta }{z}_B$, soit $a=e^{i\theta }\overline{a}$, donc $e^{i\theta }=\frac{a}{\overline{a}}=\frac{\sqrt{3}{e}^{i\frac{\pi }{3}}}{\sqrt{3}{e}^{-i\frac{\pi }{3}}}=e^{i\frac{2\pi }{3}}$. Une mesure de l'angle de la rotation $R$ est $\frac{2\pi }{3}$.
   3. (a) L'équation $(E_{\alpha })$, à coefficients réels, admet deux racines complexes conjuguées non réelles si et seulement si son discriminant est strictement négatif : $\Delta =3-4\alpha <0\iff \alpha >\frac{3}{4}$. Le produit des racines de $z^2-\sqrt{3}z+\alpha =0$ vaut $\alpha$ : $z\overline{z}=\alpha$. (b) La somme des racines vaut $z+\overline{z}=\sqrt{3}$. Alors $|z-\sqrt{3}{|}^2=(z-\sqrt{3})(\overline{z}-\sqrt{3})=z\overline{z}-\sqrt{3}(z+\overline{z})+3=\alpha -3+3=\alpha =z\overline{z}=|z{|}^2$. Donc $|z|=|z-\sqrt{3}|$. (c) $|z|=OM$ et $|z-\sqrt{3}|=PM$ : l'égalité (b) donne $OM=PM$, donc $M$ appartient à la médiatrice $(\Delta )$ de $[OP]$. De même $|\overline{z}|=|z|$ et $|\overline{z}-\sqrt{3}|=|\overline{z-\sqrt{3}}|=|z-\sqrt{3}|$, donc $ON=PN$ et $N\in (\Delta )$. (d) D'après (b), $|z-\sqrt{3}{|}^2=\alpha$, donc $|z-\sqrt{3}|=\sqrt{3}\iff \alpha =3$ (valeur bien supérieure à $\frac{3}{4}$). Dans ce cas, $M$ et $N$ appartiennent à $(\Delta )$ et vérifient $PM=PN=\sqrt{3}$ : ce sont les points d'intersection de $(\Delta )$ et du cercle de centre $P$ et de rayon $\sqrt{3}$ (une droite et un cercle ont au plus deux points communs, et $M\ne N$ car $z$ n'est pas réel). Résolvons $(E_3):z^2-\sqrt{3}z+3=0$ : $\Delta =3-12=-9=(3i{)}^2$, donc $z=\frac{\sqrt{3}+3i}{2}$ ou $z=\frac{\sqrt{3}-3i}{2}$. Les points d'intersection sont $M$ d'affixe $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i=a$ et $N$ d'affixe $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i=\overline{a}$ (ce sont les points $A$ et $B$ de la question 2).

4. Exercice 4Calcul des probabilités3 pts

   Chapitres : Dénombrement et probabilités · Dénombrement et probabilités

   Une urne contient quatre boules blanches et deux boules noires, indiscernables au toucher.

   1. On tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. (a) Calculer la probabilité de l'évènement $A$ : « tirer au moins une boule noire ». (0,5 pt) (b) Soit l'évènement $B$ : « Obtenir deux boules de même couleur ». Montrer que $p(B)=\frac{7}{15}$. (0,5 pt) (c) On répète cette expérience cinq fois en remettant dans l'urne les boules tirées, après chaque tirage. Quelle est la probabilité pour que l'évènement $B$ soit réalisé exactement trois fois. (0,5 pt)
   2. Dans cette question, on tire des boules de l'urne, une après l'autre et sans remise et on arrête le tirage lorsqu'on obtient une boule blanche pour la première fois. Soit $X$ la variable aléatoire qui est égale au nombre de tirages effectués dans cette expérience. (a) Justifier que les valeurs prises par $X$ sont : $1$ ; $2$ et $3$. (0,25 pt) (b) Montrer que $p(X=2)=\frac{4}{15}$. (0,25 pt) (c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. (0,5 pt) (d) Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une boule noire ? (0,5 pt)
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   1. Les tirages simultanés de deux boules parmi six sont équiprobables : $\mathrm{card}\Omega =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$. (a) L'évènement contraire $\overline{A}$ : « tirer deux boules blanches » a pour cardinal $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$. Donc $p(A)=1-\frac{6}{15}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$. (b) $\mathrm{card}B=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)=6+1=7$, donc $p(B)=\frac{7}{15}$. (c) On répète $5$ fois, de manière indépendante, la même expérience dont le succès « $B$ est réalisé » a la probabilité $p=\frac{7}{15}$ : le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\frac{7}{15}$. La probabilité cherchée est $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)(\frac{7}{15}{)}^3(\frac{8}{15}{)}^2=10\times \frac{343}{3375}\times \frac{64}{225}=\frac{219520}{759375}=\frac{43904}{151875}\approx 0,289$.
   2. (a) On s'arrête dès la première boule blanche. Comme l'urne ne contient que deux boules noires, on tire au plus deux boules noires avant une blanche : le tirage s'arrête au 1er, au 2e ou au plus tard au 3e tirage. Les valeurs prises par $X$ sont $1$ ; $2$ et $3$. (b) $(X=2)$ : « noire puis blanche » : $p(X=2)=\frac{2}{6}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}$. (c) $p(X=1)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ (blanche au premier tirage) ; $p(X=3)=\frac{2}{6}\times \frac{1}{5}\times \frac{4}{4}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$ (noire, noire, puis blanche, la blanche étant alors certaine). Loi de $X$ : $p(X=1)=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$, $p(X=2)=\frac{4}{15}$, $p(X=3)=\frac{1}{15}$ (vérification : $\frac{10}{15}+\frac{4}{15}+\frac{1}{15}=1$). (d) On obtient au moins une boule noire si et seulement si le premier tirage n'est pas blanc, c'est-à-dire $X\ge 2$ : $p(X\ge 2)=\frac{4}{15}+\frac{1}{15}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$ (ou $1-p(X=1)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$).

5. Exercice 5Problème d'analyse8 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Limites et continuité · Calcul intégral · Fonctions exponentielles · Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Limites et continuité · Calcul intégral

   On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\{\begin{array}{l}f(x)=(x-1{)}^2{e}^{x(2-x)}\text{;}x\le 2f(x)=1+(x-2{)}^2\ln (x-2)\text{;}x>2\end{array}$. Soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 1 cm).

   1. Montrer que la fonction $f$ est continue au point $2$. (0,5 pt)
   2. (a) Vérifier que pour tout $x<2$ et $x\ne 0$ : $\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=x{e}^{x(2-x)}-x\cdot \frac{e^{x(2-x)}-1}{x(2-x)}$. (0,25 pt) (b) Montrer que $f$ est dérivable à gauche en $2$. (0,5 pt) (c) Montrer que $f$ est dérivable en $2$ et que $f^{\prime }(2)=0$ puis interpréter géométriquement le résultat. (0,75 pt)
   3. (a) Vérifier que pour tout $x\le 2$, $f(x)=x(x-2)e^{x(2-x)}+e^{x(2-x)}$. (0,25 pt) (b) Calculer ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$ et interpréter géométriquement le résultat. (0,5 pt) (c) Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ et ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)/x$ puis interpréter géométriquement le résultat. (0,75 pt)
   4. (a) Montrer que pour tout $x<2$, $f^{\prime }(x)=2x(x-1)(2-x)e^{x(2-x)}$. (0,5 pt) (b) Montrer que pour tout $x>2$, $f^{\prime }(x)=(x-2)(1+2\ln (x-2))$. (0,5 pt) (c) Résoudre dans l'intervalle $]2,+\infty [$, l'inéquation $1+2\ln (x-2)\le 0$. (0,5 pt) (d) Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$. (0,75 pt)
   5. Construire la courbe $(C)$ dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. (On donne : $f(3)=1$ ; $2+\frac{1}{\sqrt{e}}\approx 2,6$ et $f(2+\frac{1}{\sqrt{e}})\approx 0,8$). (1 pt)
   6. Soit $\lambda \in ]2,3[$. (a) En utilisant une intégration par parties, montrer que : ${\int }_{\lambda }^3(x-2{)}^2\ln (x-2)\mathrm{d}x=-\frac{1}{9}+\frac{1}{3}(\lambda -2{)}^3(\frac{1}{3}-\ln (\lambda -2))$. (0,5 pt) (b) Déduire en fonction de $\lambda$ l'aire $A(\lambda )$ de la partie du plan limitée par la courbe $(C)$ et les droites d'équations : $y=1$, $x=\lambda$ et $x=3$. (0,5 pt) (c) Calculer ${\lim }_{\lambda \to 2^{+}}A(\lambda )$. (0,25 pt)
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   1. $f(2)=(2-1{)}^2{e}^0=1$. ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{-}}(x-1{)}^2{e}^{x(2-x)}=1\times e^0=1$ (fonction continue en $2$ sur $]-\infty ,2]$). Pour $x>2$, posons $t=x-2\to 0^{+}$ : $(x-2{)}^2\ln (x-2)=t^2\ln t\to 0$ (limite usuelle), donc ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=1+0=1$. Ainsi ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)=1$ : $f$ est continue au point $2$.
   2. (a) Pour $x<2$ et $x\ne 0$, notons $X=x(2-x)\ne 0$. Alors $x{e}^X-x\cdot \frac{e^X-1}{x(2-x)}=x{e}^X-\frac{e^X-1}{2-x}=\frac{x(2-x)e^X-e^X+1}{2-x}=\frac{(x^2-2x+1)e^X-1}{x-2}=\frac{(x-1{)}^2{e}^{x(2-x)}-1}{x-2}=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$. (b) Quand $x\to 2^{-}$, $X=x(2-x)\to 0$ et $\frac{e^X-1}{X}\to 1$ (limite usuelle ${\lim }_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1$). Donc ${\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=2e^0-2\times 1=0$ : $f$ est dérivable à gauche en $2$ et $f_g^{\prime }(2)=0$. (c) Pour $x>2$ : $\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{(x-2{)}^2\ln (x-2)}{x-2}=(x-2)\ln (x-2)\to 0$ quand $x\to 2^{+}$ (avec $t=x-2$, $t\ln t\to 0$). Donc $f$ est dérivable à droite en $2$ et $f_d^{\prime }(2)=0$. Comme $f_g^{\prime }(2)=f_d^{\prime }(2)=0$, $f$ est dérivable en $2$ et $f^{\prime }(2)=0$ : la courbe $(C)$ admet au point $(2,1)$ une tangente horizontale.
   3. (a) Pour $x\le 2$ : $x(x-2)e^{x(2-x)}+e^{x(2-x)}=(x^2-2x+1)e^{x(2-x)}=(x-1{)}^2{e}^{x(2-x)}=f(x)$. (b) Posons $X=x(2-x)=-x(x-2)$. Quand $x\to -\infty$, $X=-x^2+2x=-x^2(1-\frac{2}{x})\to -\infty$, donc $e^X\to 0$ et $x(x-2)e^{x(2-x)}=-X{e}^X\to 0$ (limite usuelle ${\lim }_{X\to -\infty }X{e}^X=0$). Donc ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0+0=0$ : la droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à $(C)$ au voisinage de $-\infty$. (c) Pour $x>2$, ${\lim }_{x\to +\infty }(x-2{)}^2=+\infty$ et ${\lim }_{x\to +\infty }\ln (x-2)=+\infty$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$. $f(x)/x=\frac{1}{x}+\frac{(x-2{)}^2}{x}\ln (x-2)$ ; or $\frac{(x-2{)}^2}{x}=x(1-\frac{2}{x}{)}^2\to +\infty$ et $\ln (x-2)\to +\infty$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)/x=+\infty$ : la courbe $(C)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
   4. (a) Sur $]-\infty ,2[$, $f$ est dérivable et, avec $(e^{x(2-x)}{)}^{\prime }=(2-2x)e^{x(2-x)}=-2(x-1)e^{x(2-x)}$ : $f^{\prime }(x)=2(x-1)e^{x(2-x)}-2(x-1{)}^3{e}^{x(2-x)}=2(x-1)e^{x(2-x)}[1-(x-1{)}^2]=2(x-1)e^{x(2-x)}(2-x)x=2x(x-1)(2-x)e^{x(2-x)}$. (b) Sur $]2,+\infty [$ : $f^{\prime }(x)=2(x-2)\ln (x-2)+(x-2{)}^2\times \frac{1}{x-2}=(x-2)(2\ln (x-2)+1)=(x-2)(1+2\ln (x-2))$. (c) Pour $x>2$ : $1+2\ln (x-2)\le 0\iff \ln (x-2)\le -\frac{1}{2}\iff x-2\le e^{-\frac{1}{2}}\iff x\le 2+\frac{1}{\sqrt{e}}$. L'ensemble des solutions est $]2,2+\frac{1}{\sqrt{e}}]$. (d) Sur $]-\infty ,2[$ : $e^{x(2-x)}>0$ et $2-x>0$, donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de $x(x-1)$ : $f^{\prime }(x)>0$ sur $]-\infty ,0[$, $f^{\prime }(x)<0$ sur $]0,1[$, $f^{\prime }(x)>0$ sur $]1,2[$, et $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1)=0$. Sur $]2,+\infty [$ : $x-2>0$, donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de $1+2\ln (x-2)$ : $f^{\prime }(x)<0$ sur $]2,2+\frac{1}{\sqrt{e}}[$ et $f^{\prime }(x)>0$ sur $]2+\frac{1}{\sqrt{e}},+\infty [$. Enfin $f^{\prime }(2)=0$. Tableau de variations : $f$ est croissante sur $]-\infty ,0]$ (de $0$ à $f(0)=1$), décroissante sur $[0,1]$ (jusqu'à $f(1)=0$), croissante sur $[1,2]$ (jusqu'à $f(2)=1$), décroissante sur $[2,2+\frac{1}{\sqrt{e}}]$ (jusqu'à $f(2+\frac{1}{\sqrt{e}})=1+\frac{1}{e}\times (-\frac{1}{2})=1-\frac{1}{2e}\approx 0,82$), puis croissante sur $[2+\frac{1}{\sqrt{e}},+\infty [$ vers $+\infty$.
   5. Construction : asymptote horizontale $y=0$ en $-\infty$ ; maximum local $(0,1)$ ; minimum $(1,0)$ (la courbe touche l'axe des abscisses) ; maximum local $(2,1)$ avec tangente horizontale (raccord des deux expressions) ; minimum local $(2+\frac{1}{\sqrt{e}},1-\frac{1}{2e})\approx (2,6,0,8)$ ; passage par $(3,1)$ ; puis croissance rapide avec branche parabolique de direction $(Oy)$.
   6. (a) On pose $u(x)=\ln (x-2)$ et $v^{\prime }(x)=(x-2{)}^2$, d'où $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x-2}$ et $v(x)=\frac{(x-2{)}^3}{3}$ (fonctions dérivables à dérivées continues sur $[\lambda ,3]\subset ]2,+\infty [$) : ${\int }_{\lambda }^3(x-2{)}^2\ln (x-2)\mathrm{d}x=[\frac{(x-2{)}^3}{3}\ln (x-2){]}_{\lambda }^3-{\int }_{\lambda }^3\frac{(x-2{)}^2}{3}\mathrm{d}x=(0-\frac{(\lambda -2{)}^3}{3}\ln (\lambda -2))-[\frac{(x-2{)}^3}{9}{]}_{\lambda }^3$ $=-\frac{(\lambda -2{)}^3}{3}\ln (\lambda -2)-\frac{1}{9}+\frac{(\lambda -2{)}^3}{9}=-\frac{1}{9}+\frac{1}{3}(\lambda -2{)}^3(\frac{1}{3}-\ln (\lambda -2))$. (b) Sur $[\lambda ,3]\subset ]2,3]$ : $f(x)-1=(x-2{)}^2\ln (x-2)\le 0$ car $0<x-2\le 1$ donne $\ln (x-2)\le 0$. La courbe $(C)$ est donc au-dessous de la droite $y=1$ sur $[\lambda ,3]$ et $A(\lambda )={\int }_{\lambda }^3(1-f(x))\mathrm{d}x=-{\int }_{\lambda }^3(x-2{)}^2\ln (x-2)\mathrm{d}x=\frac{1}{9}-\frac{1}{3}(\lambda -2{)}^3(\frac{1}{3}-\ln (\lambda -2))$ (en cm${}^2$, l'unité d'aire valant $1{\mathrm{cm}}^2$). (c) Quand $\lambda \to 2^{+}$, posons $t=\lambda -2\to 0^{+}$ : $(\lambda -2{)}^3=t^3\to 0$ et $(\lambda -2{)}^3\ln (\lambda -2)=t^2\times t\ln t\to 0$. Donc ${\lim }_{\lambda \to 2^{+}}A(\lambda )=\frac{1}{9}$.