Géométrie dans l'espace, nombres complexes, calcul des probabilités, étude de fonctions numériques, calcul intégral et suites numériques

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1. Exercice 1Géométrie dans l'espace3 pts

   Chapitre : Géométrie dans l'espace

   Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les points $A(0,1,4)$, $B(2,1,2)$, $C(2,5,0)$ et $\Omega (3,4,4)$.

   1. (a) Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=4(2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k})$. (0,25 pt) (b) En déduire l'aire du triangle $ABC$ et la distance $d(B,(AC))$. (0,5 pt)
   2. Soit $D$ le milieu du segment $[AC]$. (a) Vérifier que $\overrightarrow{D\Omega }=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC})$. (0,25 pt) (b) En déduire que $d(\Omega ,(ABC))=3$. (0,5 pt)
   3. Soit $(S)$ la sphère d'équation $x^2+y^2+z^2-6x-8y-8z+32=0$. (a) Déterminer le centre et le rayon de la sphère $(S)$. (0,5 pt) (b) Montrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$ en un point que l'on déterminera. (0,5 pt)
   4. Soient $(Q_1)$ et $(Q_2)$ les deux plans parallèles à $(ABC)$ tels que chacun d'eux coupe $(S)$ suivant un cercle de rayon $\sqrt{5}$. Déterminer une équation cartésienne pour chacun des deux plans $(Q_1)$ et $(Q_2)$. (0,5 pt)
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   1. (a) $\overrightarrow{AB}(2,0,-2)$ et $\overrightarrow{AC}(2,4,-4)$. Donc $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=(0\times (-4)-(-2)\times 4)\overrightarrow{i}-(2\times (-4)-(-2)\times 2)\overrightarrow{j}+(2\times 4-0\times 2)\overrightarrow{k}=8\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+8\overrightarrow{k}=4(2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k})$. (b) $\Vert \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\Vert =4\sqrt{4+1+4}=12$. L'aire du triangle $ABC$ est $\frac{1}{2}\Vert \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\Vert =6$ (en unités d'aire). D'autre part $\Vert \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\Vert =AC\times d(B,(AC))$ avec $AC=\sqrt{4+16+16}=6$, donc $d(B,(AC))=\frac{12}{6}=2$.
   2. (a) $D$ est le milieu de $[AC]$ : $D(1,3,2)$, donc $\overrightarrow{D\Omega }(2,1,2)=\frac{1}{4}(8,4,8)=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC})$. (b) $\overrightarrow{D\Omega }$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}$, vecteur normal au plan $(ABC)$ ; comme $D\in (ABC)$ (milieu de $[AC]$), le point $D$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(ABC)$ et $d(\Omega ,(ABC))=D\Omega =\sqrt{4+1+4}=3$. (Vérification par la formule : $(ABC):2x+y+2z-9=0$ et $d(\Omega ,(ABC))=|6+4+8-9\frac{|}{3}=3$.)
   3. (a) $x^2-6x+y^2-8y+z^2-8z+32=0\iff (x-3{)}^2+(y-4{)}^2+(z-4{)}^2=9+16+16-32=9$. $(S)$ est la sphère de centre $\Omega (3,4,4)$ et de rayon $R=3$. (b) $d(\Omega ,(ABC))=3=R$ : le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$. Le point de contact est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan, c'est-à-dire le point $D(1,3,2)$ d'après 2.b.
   4. Un plan parallèle à $(ABC)$ a une équation de la forme $2x+y+2z+c=0$. Il coupe $(S)$ suivant un cercle de rayon $r=\sqrt{5}$ si et seulement si $d(\Omega ,(Q){)}^2+r^2=R^2$, soit $d(\Omega ,(Q){)}^2=9-5=4$, donc $d(\Omega ,(Q))=2$ : $|6+4+8+c\frac{|}{3}=2\iff |18+c|=6\iff c=-12\mathrm{ou}c=-24$. Donc $(Q_1):2x+y+2z-12=0$ et $(Q_2):2x+y+2z-24=0$.

2. Exercice 2Nombres complexes3 pts

   Chapitres : Nombres complexes (partie 1) · Nombres complexes (partie 2) · Nombres complexes (introduction)

   Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives $a=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$, $b=1+\sqrt{2}+i$, $c=\overline{b}$ et $d=2i$.

   1. Écrire le nombre complexe $a$ sous forme trigonométrique. (0,25 pt)
   2. (a) Vérifier que $b-d=c$. (0,25 pt) (b) Montrer que $(\sqrt{2}+1)(b-a)=b-d$ et déduire que les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés. (0,5 pt)
   3. (a) Vérifier que $ac=2b$. (0,25 pt) (b) En déduire que $2\arg (b)\equiv \frac{\pi }{4}[2\pi ]$. (0,5 pt)
   4. Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi }{4}$ et qui transforme chaque point $M$ du plan d'affixe $z$ en un point $M^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }$. (a) Montrer que $z^{\prime }=\frac{1}{2}az$. (0,25 pt) (b) En déduire que $R(C)=B$ et que $R(A)=D$. (0,5 pt) (c) Montrer que $\frac{b-a}{c-a}=(\frac{\sqrt{2}-1}{2})a$, puis déduire une mesure de l'angle $\overline{(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})}$. (0,5 pt)
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   1. $|a|=\sqrt{2+2}=2$ et $a=2(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=2(\cos (\frac{\pi }{4})+i\sin (\frac{\pi }{4}))$.
   2. (a) $b-d=1+\sqrt{2}+i-2i=1+\sqrt{2}-i=\overline{b}=c$. (b) $b-a=1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+i(1-\sqrt{2})=1+i(1-\sqrt{2})$, donc $(\sqrt{2}+1)(b-a)=\sqrt{2}+1+i(\sqrt{2}+1)(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}+1+i(1-2)=1+\sqrt{2}-i=b-d$. Ainsi $\overrightarrow{DB}=(\sqrt{2}+1)\overrightarrow{AB}$ : les vecteurs $\overrightarrow{DB}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires, donc les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés.
   3. (a) $ac=(\sqrt{2}+i\sqrt{2})(1+\sqrt{2}-i)=\sqrt{2}(1+\sqrt{2})-i\sqrt{2}+i\sqrt{2}(1+\sqrt{2})+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}+2i=2(1+\sqrt{2}+i)=2b$. (b) $\arg (ac)\equiv \arg (a)+\arg (c)[2\pi ]$, avec $\arg (a)\equiv \frac{\pi }{4}$ et $\arg (c)=\arg (\overline{b})\equiv -\arg (b)[2\pi ]$. D'autre part $\arg (2b)\equiv \arg (b)[2\pi ]$ car $2>0$. L'égalité $ac=2b$ donne donc $\frac{\pi }{4}-\arg (b)\equiv \arg (b)[2\pi ]$, soit $2\arg (b)\equiv \frac{\pi }{4}[2\pi ]$.
   4. (a) La rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi }{4}$ a pour écriture complexe $z^{\prime }=e^{i\frac{\pi }{4}}z$. Or $a=2e^{i\frac{\pi }{4}}$, donc $e^{i\frac{\pi }{4}}=\frac{a}{2}$ et $z^{\prime }=\frac{1}{2}az$. (b) L'affixe de $R(C)$ est $\frac{1}{2}ac=\frac{1}{2}\times 2b=b$, donc $R(C)=B$. L'affixe de $R(A)$ est $\frac{1}{2}{a}^2=\frac{1}{2}\times 4e^{i\frac{\pi }{2}}=2i=d$, donc $R(A)=D$. (c) $c-a=1+\sqrt{2}-\sqrt{2}-i(1+\sqrt{2})=1-i(1+\sqrt{2})$. Alors $\frac{b-a}{c-a}=\frac{1+i(1-\sqrt{2})}{1-i(1+\sqrt{2})}=((1+i(1-\sqrt{2}))(1+i(1+\sqrt{2})))/(1+(1+\sqrt{2}{)}^2)$. Numérateur : $1+i(1+\sqrt{2})+i(1-\sqrt{2})-(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=1+2i+1=2+2i$ ; dénominateur : $1+3+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}$. Donc $\frac{b-a}{c-a}=\frac{2(1+i)}{2(2+\sqrt{2})}=\frac{(1+i)(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\frac{(2-\sqrt{2})(1+i)}{2}$. Et $(\frac{\sqrt{2}-1}{2})a=(\frac{\sqrt{2}-1}{2})\sqrt{2}(1+i)=(\frac{2-\sqrt{2}}{2})(1+i)$ : on a bien $\frac{b-a}{c-a}=(\frac{\sqrt{2}-1}{2})a$. Comme $\frac{\sqrt{2}-1}{2}>0$, $\arg (\frac{b-a}{c-a})\equiv \arg (a)\equiv \frac{\pi }{4}[2\pi ]$, donc $\overline{(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})}\equiv \frac{\pi }{4}[2\pi ]$.

3. Exercice 3Calcul des probabilités3 pts

   Chapitres : Dénombrement et probabilités · Dénombrement et probabilités

   Une urne $U_1$ contient six boules portant les nombres : $0$ ; $0$ ; $1$ ; $1$ ; $1$ ; $2$ et une urne $U_2$ contient cinq boules portant les nombres : $1$ ; $1$ ; $1$ ; $2$ ; $2$. On suppose que les boules des deux urnes sont indiscernables au toucher. On considère l'expérience aléatoire suivante : « On tire une boule de l'urne $U_1$ et on note le nombre $a$ qu'elle porte, puis on la met dans l'urne $U_2$, ensuite on tire une boule de l'urne $U_2$ et on note le nombre $b$ qu'elle porte ». On considère les évènements suivants : $A$ : « la boule tirée de l'urne $U_1$ porte le nombre $1$ » et $B$ : « le produit $ab$ est égal à $2$ ».

   1. (a) Calculer $p(A)$ ; la probabilité de l'évènement $A$. (0,5 pt) (b) Montrer que $p(B)=\frac{1}{4}$ (On peut utiliser l'arbre des possibilités). (0,5 pt)
   2. Calculer $p(A\text{/}B)$ ; probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. (0,75 pt)
   3. Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque résultat de l'expérience, le produit $ab$. (a) Montrer que $p(X=0)=\frac{1}{3}$. (0,25 pt) (b) Donner la loi de probabilité de $X$ (Remarquer que les valeurs prises par $X$ sont : $0$ ; $1$ ; $2$ et $4$). (0,5 pt) (c) On considère les évènements : $M$ : « le produit $ab$ est pair non nul » et $N$ : « le produit $ab$ est égal à $1$ ». Montrer que les évènements $M$ et $N$ sont équiprobables. (0,5 pt)
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   Le tirage dans $U_1$ est équiprobable parmi $6$ boules ; après ajout de la boule tirée, $U_2$ contient $6$ boules et le second tirage est équiprobable parmi ces $6$ boules.

   1. (a) Trois boules de $U_1$ portent le nombre $1$ : $p(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. (b) $ab=2$ si et seulement si ($a=1$ et $b=2$) ou ($a=2$ et $b=1$).

   • Si $a=1$ (probabilité $\frac{3}{6}$), $U_2$ contient $1;1;1;1;2;2$ et $p(b=2)=\frac{2}{6}$ ;
   • si $a=2$ (probabilité $\frac{1}{6}$), $U_2$ contient $1;1;1;2;2;2$ et $p(b=1)=\frac{3}{6}$. Donc $p(B)=\frac{3}{6}\times \frac{2}{6}+\frac{1}{6}\times \frac{3}{6}=\frac{6}{36}+\frac{3}{36}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$.

   1. $A\cap B$ est l'évènement « $a=1$ et $b=2$ », de probabilité $\frac{3}{6}\times \frac{2}{6}=\frac{1}{6}$. Donc $p(A\text{/}B)=p(A\cap B)/p(B)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{4}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
   2. (a) $X=0$ si et seulement si $a=0$ (car $b\in 1,2$ n'est jamais nul) : $p(X=0)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$. (b) $X$ prend les valeurs $0,1,2,4$. $p(X=1)=p(a=1\mathrm{et}b=1)=\frac{3}{6}\times \frac{4}{6}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$ ; $p(X=2)=p(B)=\frac{1}{4}$ ; $p(X=4)=p(a=2\mathrm{et}b=2)=\frac{1}{6}\times \frac{3}{6}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$. Loi de $X$ : $p(X=0)=\frac{1}{3}$, $p(X=1)=\frac{1}{3}$, $p(X=2)=\frac{1}{4}$, $p(X=4)=\frac{1}{12}$ (vérification : $\frac{4}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}+\frac{1}{12}=1$). (c) $M=(X=2)\cup (X=4)$, donc $p(M)=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$ ; et $N=(X=1)$, donc $p(N)=\frac{1}{3}$. Les évènements $M$ et $N$ sont équiprobables.

4. Exercice 4Problème d'analyse11 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Limites et continuité · Calcul intégral · Suites numériques · Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Limites et continuité · Calcul intégral · Suites numériques

   On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0,+\infty [$ par $f(x)=2-\frac{2}{x}+(1-\ln x{)}^2$. Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 1 cm).

   1. (a) Vérifier que pour tout $x\in ]0,+\infty [$ : $f(x)=\frac{3x-2-2x\ln x+x(\ln x{)}^2}{x}$. (0,25 pt) (b) Montrer que ${\lim }_{x\to 0^{+}}x(\ln x{)}^2=0$ et que ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{(\ln x{)}^2}{x}=0$ (On peut poser : $t=\sqrt{x}$). (0,5 pt) (c) Déduire que ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$, puis donner une interprétation géométrique du résultat. (0,5 pt) (d) Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$, puis montrer que la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$. (0,75 pt)
   2. Montrer que pour tout $x\in ]0,+\infty [$ : $f^{\prime }(x)=\frac{2(1-x+x\ln x)}{x^2}$. (0,5 pt)
   3. En exploitant le tableau de variation ci-dessous, de la fonction dérivée $f^{\prime }$ de $f$ sur $]0,+\infty [$ : [Tableau de variation de $f^{\prime }$ : sur $]0,1]$, $f^{\prime }$ décroît de $+\infty$ (en $0^{+}$) vers $0$ (en $x=1$) ; sur $[1,\beta ]$, $f^{\prime }$ croît de $0$ jusqu'à $f^{\prime }(\beta )$ ; sur $[\beta ,+\infty [$, $f^{\prime }$ décroît de $f^{\prime }(\beta )$ vers $0$ (en $+\infty$). On donne $\beta \approx 4,9$.] (a) Prouver que $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$ puis dresser le tableau de variations de $f$. (0,5 pt) (b) Donner le tableau de signe de la dérivée seconde $f^{\prime \prime }$ de la fonction $f$ sur $]0,+\infty [$. (0,5 pt) (c) Déduire la concavité de la courbe $(C_f)$ en précisant les abscisses de ses deux points d'inflexion. (1 pt)
   4. La courbe $(C_g)$ ci-contre est la représentation graphique de la fonction $g:x\to f(x)-x$ et qui s'annule en $\alpha$ et $1$ ($\alpha \approx 0,3$). Soit $(\Delta )$ la droite d'équation $y=x$. [Figure : courbe $(C_g)$ dans un repère orthonormé ; $(C_g)$ vient de $-\infty$ au voisinage de $0^{+}$, monte très vite, coupe l'axe des abscisses en $\alpha \approx 0,3$, atteint un maximum voisin de $0,4$ entre $\alpha$ et $1$, recoupe l'axe des abscisses en $1$, puis reste au-dessous de l'axe des abscisses et décroît lentement pour $x>1$ (par exemple $g(4)\approx -2,4$).] (a) À partir de la courbe $(C_g)$, déterminer le signe de la fonction $g$ sur $]0,+\infty [$. (0,5 pt) (b) Déduire que la droite $(\Delta )$ est en dessous de $(C_f)$ sur l'intervalle $[\alpha ,1]$ et au-dessus de $(C_f)$ sur les intervalles $]0,\alpha ]$ et $[1,+\infty [$. (0,5 pt)
   5. Construire la courbe $(C_f)$ et la droite $(\Delta )$ dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. (On prend : $\alpha \approx 0,3$, $\beta \approx 4,9$ et $f(\beta )\approx 1,9$). (1,5 pt)
   6. (a) Vérifier que la fonction $x\to 2x-x\ln x$ est une primitive de la fonction $x\to 1-\ln x$ sur $[\alpha ,1]$. (0,5 pt) (b) En utilisant une intégration par parties, montrer que ${\int }_{\alpha }^1(1-\ln x{)}^2\mathrm{d}x=5(1-\alpha )+\alpha (4-\ln \alpha )\ln \alpha$. (1 pt) (c) Déduire en fonction de $\alpha$ l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=\alpha$ et $x=1$. (0,75 pt)
   7. Soit la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0\in ]\alpha ,1[$ et la relation $u_{n+1}=f(u_n)$, pour tout $n\in \mathbb{N}$. (a) Montrer par récurrence que $\alpha <u_n<1$, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$. (0,5 pt) (b) Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante (on peut utiliser la question 4) b)). (0,5 pt) (c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite. (0,75 pt)
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   1. (a) Pour $x>0$ : $f(x)=2-\frac{2}{x}+1-2\ln x+(\ln x{)}^2=\frac{2x-2+x-2x\ln x+x(\ln x{)}^2}{x}=\frac{3x-2-2x\ln x+x(\ln x{)}^2}{x}$. (b) Posons $t=\sqrt{x}$, soit $x=t^2$ ; quand $x\to 0^{+}$, $t\to 0^{+}$, et $x(\ln x{)}^2=t^2(2\ln t{)}^2=4(t\ln t{)}^2\to 0$ car ${\lim }_{t\to 0^{+}}t\ln t=0$. Donc ${\lim }_{x\to 0^{+}}x(\ln x{)}^2=0$. De même, quand $x\to +\infty$, $t\to +\infty$ et $\frac{(\ln x{)}^2}{x}=\frac{(2\ln t{)}^2}{t^2}=4(\frac{\ln t}{t}{)}^2\to 0$ car ${\lim }_{t\to +\infty }\frac{\ln t}{t}=0$. Donc ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{(\ln x{)}^2}{x}=0$. (c) D'après (a), $f(x)=\frac{3x-2-2x\ln x+x(\ln x{)}^2}{x}$. Quand $x\to 0^{+}$ : $3x\to 0$, $x\ln x\to 0$ et $x(\ln x{)}^2\to 0$, donc le numérateur tend vers $-2<0$, tandis que le dénominateur $x$ tend vers $0^{+}$. Donc ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ : la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à $(C_f)$. (d) ${\lim }_{x\to +\infty }(1-\ln x{)}^2=+\infty$ et ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{2}{x}=0$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$. $f(x)/x=\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}-\frac{2\ln x}{x}+\frac{(\ln x{)}^2}{x}$, et chaque terme tend vers $0$ quand $x\to +\infty$ (limites usuelles et question (b)) : ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)/x=0$. Comme ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$, la courbe $(C_f)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
   2. $f$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ et $f^{\prime }(x)=\frac{2}{x^2}+2(1-\ln x)\times (-\frac{1}{x})=\frac{2}{x^2}-\frac{2(1-\ln x)}{x}=\frac{2-2x(1-\ln x)}{x^2}=\frac{2(1-x+x\ln x)}{x^2}$.
   3. (a) D'après le tableau, $f^{\prime }$ décroît vers $0$ sur $]0,1]$ et croît à partir de $0$ sur $[1,\beta ]$, puis décroît vers $0$ sur $[\beta ,+\infty [$ : le minimum de $f^{\prime }$ sur $]0,+\infty [$ est $f^{\prime }(1)=0$, et $f^{\prime }(x)>0$ pour $x\ne 1$. La dérivée est positive et ne s'annule qu'en $1$, donc $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$. Tableau de variations : $f$ croît strictement de $-\infty$ (en $0^{+}$) vers $+\infty$ (en $+\infty$), avec $f(1)=2-2+1=1$ et une tangente horizontale au point $(1,1)$. (b) $f^{\prime \prime }$ est la dérivée de $f^{\prime }$ : son signe se lit sur les variations de $f^{\prime }$. $f^{\prime \prime }(x)\le 0$ sur $]0,1]$ ($f^{\prime }$ décroissante), $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ sur $[1,\beta ]$ ($f^{\prime }$ croissante), $f^{\prime \prime }(x)\le 0$ sur $[\beta ,+\infty [$ ($f^{\prime }$ décroissante), avec $f^{\prime \prime }(1)=f^{\prime \prime }(\beta )=0$. (c) $(C_f)$ est concave sur $]0,1]$, convexe sur $[1,\beta ]$ et concave sur $[\beta ,+\infty [$. $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe en $1$ et en $\beta$ : les deux points d'inflexion ont pour abscisses $1$ et $\beta \approx 4,9$.
   4. (a) D'après la courbe $(C_g)$ : $g(x)<0$ sur $]0,\alpha [$, $g(x)>0$ sur $]\alpha ,1[$, $g(x)<0$ sur $]1,+\infty [$, et $g(\alpha )=g(1)=0$. (b) $f(x)-x=g(x)$. Sur $[\alpha ,1]$, $g(x)\ge 0$, donc $f(x)\ge x$ : la droite $(\Delta )$ est en dessous de $(C_f)$. Sur $]0,\alpha ]$ et sur $[1,+\infty [$, $g(x)\le 0$, donc $f(x)\le x$ : $(\Delta )$ est au-dessus de $(C_f)$. Les deux courbes se coupent aux points d'abscisses $\alpha$ et $1$.
   5. Construction : asymptote verticale $x=0$ ; $(C_f)$ croissante, coupe $(\Delta ):y=x$ aux points $(\alpha ,\alpha )\approx (0,3,0,3)$ et $(1,1)$ ; tangente horizontale et point d'inflexion en $(1,1)$ (la courbe est concave avant, convexe après) ; second point d'inflexion en $(\beta ,f(\beta ))\approx (4,9,1,9)$ ; branche parabolique de direction $(Ox)$ en $+\infty$ (la courbe monte de plus en plus lentement, en restant au-dessous de $(\Delta )$ pour $x>1$).
   6. (a) La fonction $F:x\to 2x-x\ln x$ est dérivable sur $[\alpha ,1]$ et $F^{\prime }(x)=2-(\ln x+x\times \frac{1}{x})=2-\ln x-1=1-\ln x$. Donc $F$ est une primitive de $x\to 1-\ln x$ sur $[\alpha ,1]$. (b) On écrit $(1-\ln x{)}^2=(1-\ln x)\times (1-\ln x)$ et on pose $u(x)=1-\ln x$, $v^{\prime }(x)=1-\ln x$, d'où $u^{\prime }(x)=-\frac{1}{x}$ et $v(x)=2x-x\ln x$ (fonctions dérivables à dérivées continues sur $[\alpha ,1]$) : ${\int }_{\alpha }^1(1-\ln x{)}^2\mathrm{d}x=[(1-\ln x)(2x-x\ln x){]}_{\alpha }^1+{\int }_{\alpha }^1\frac{1}{x}(2x-x\ln x)\mathrm{d}x=2-(1-\ln \alpha )(2\alpha -\alpha \ln \alpha )+{\int }_{\alpha }^1(2-\ln x)\mathrm{d}x$. Or ${\int }_{\alpha }^1(2-\ln x)\mathrm{d}x=[2x-(x\ln x-x){]}_{\alpha }^1=[3x-x\ln x{]}_{\alpha }^1=3-3\alpha +\alpha \ln \alpha$, et $(1-\ln \alpha )(2\alpha -\alpha \ln \alpha )=\alpha (1-\ln \alpha )(2-\ln \alpha )=\alpha (2-3\ln \alpha +(\ln \alpha {)}^2)=2\alpha -3\alpha \ln \alpha +\alpha (\ln \alpha {)}^2$. Donc ${\int }_{\alpha }^1(1-\ln x{)}^2\mathrm{d}x=2-2\alpha +3\alpha \ln \alpha -\alpha (\ln \alpha {)}^2+3-3\alpha +\alpha \ln \alpha =5(1-\alpha )+4\alpha \ln \alpha -\alpha (\ln \alpha {)}^2=5(1-\alpha )+\alpha (4-\ln \alpha )\ln \alpha$. (c) Sur $[\alpha ,1]$, $f$ est croissante et $f(\alpha )=\alpha >0$ (car $g(\alpha )=0$), donc $f(x)>0$ : l'aire cherchée est $\mathcal{A}={\int }_{\alpha }^{1}f(x)\mathrm{d}x$ (unité d'aire : $1{\mathrm{cm}}^2$). Or ${\int }_{\alpha }^1(2-\frac{2}{x})\mathrm{d}x=[2x-2\ln x{]}_{\alpha }^1=2-2\alpha +2\ln \alpha$. Donc $\mathcal{A}=2-2\alpha +2\ln \alpha +5(1-\alpha )+\alpha (4-\ln \alpha )\ln \alpha =7(1-\alpha )+2\ln \alpha +\alpha (4-\ln \alpha )\ln \alpha {\mathrm{cm}}^2$ (soit environ $0,6{\mathrm{cm}}^2$ pour $\alpha \approx 0,32$).
   7. (a) Initialisation : $u_0\in ]\alpha ,1[$ par hypothèse. Hérédité : supposons $\alpha <u_n<1$. Comme $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$ : $f(\alpha )<f(u_n)<f(1)$. Or $f(\alpha )=\alpha$ (car $g(\alpha )=0$) et $f(1)=1$ (car $g(1)=0$), donc $\alpha <u_{n+1}<1$. Conclusion : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $\alpha <u_n<1$. (b) Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=g(u_n)$. Comme $u_n\in ]\alpha ,1[$, la question 4.b (ou 4.a) donne $g(u_n)>0$, donc $u_{n+1}>u_n$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante. (c) $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$, donc elle converge vers une limite $\ell$, avec $u_0\le \ell \le 1$, donc $\ell \in ]\alpha ,1]$. Comme $f$ est continue sur $]0,+\infty [$ et $u_{n+1}=f(u_n)$, on a $f(\ell )=\ell$, c'est-à-dire $g(\ell )=0$, donc $\ell =\alpha$ ou $\ell =1$. Puisque $\ell >\alpha$, on conclut : ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=1$.