Suites, nombres complexes, probabilités et problème d'analyse

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Suites numériques3 pts

   Chapitre : Suites numériques

   Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 2 et, pour tout n ∈ ℕ : u_(n+1) = (3 u_n)/(1 + 2 u_n).

   1. Calculer u_1 et u_2.
   2. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ : u_n > 1.
   3. Montrer que u_(n+1) - u_n = (2 u_n (1 - u_n))/(1 + 2 u_n) et en déduire que la suite (u_n) est décroissante.
   4. En déduire que (u_n) est convergente.
   5. On pose v_n = (u_n - 1)/u_n pour tout n ∈ ℕ. Montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison 1/3 et préciser v_0.
   6. Exprimer v_n puis u_n en fonction de n, et calculer lim u_n.
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   1. u_1 = 6/5 = 1,2 et u_2 = (3 × 1,2)/(1 + 2,4) = 3,6/3,4 = 18/17 ≈ 1,06.
   2. Initialisation : u_0 = 2 > 1. Hérédité : supposons u_n > 1. Alors u_(n+1) - 1 = (3u_n - 1 - 2u_n)/(1 + 2u_n) = (u_n - 1)/(1 + 2u_n) > 0 car u_n - 1 > 0 et 1 + 2u_n > 0. Donc u_(n+1) > 1. Conclusion : u_n > 1 pour tout n.
   3. u_(n+1) - u_n = (3u_n - u_n(1 + 2u_n))/(1 + 2u_n) = (2u_n - 2u_n²)/(1 + 2u_n) = (2u_n(1 - u_n))/(1 + 2u_n). Comme u_n > 1, 1 - u_n < 0 tandis que 2u_n > 0 et 1 + 2u_n > 0 : la différence est strictement négative. La suite est strictement décroissante.
   4. Décroissante et minorée par 1, (u_n) converge (théorème de la convergence monotone).
   5. v_(n+1) = (u_(n+1) - 1)/u_(n+1) = ((u_n - 1)/(1 + 2u_n)) × ((1 + 2u_n)/(3u_n)) = (u_n - 1)/(3u_n) = 1/3 v_n. (v_n) est géométrique de raison 1/3 et v_0 = (2 - 1)/2 = 1/2.
   6. v_n = 1/2 (1/3)^n. De v_n = 1 - 1/u_n on tire u_n = 1/(1 - v_n) = 1/(1 - 1/2 (1/3)^n). Comme (1/3)^n → 0, lim u_n = 1.

2. Exercice 2Nombres complexes3 pts

   Chapitres : Nombres complexes (partie 1) · Nombres complexes (partie 2)

   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O, vec(u), vec(v)).

   1. Résoudre dans ℂ l'équation z² - 2 √3 z + 4 = 0.
   2. On pose a = √3 + i. Écrire a sous forme trigonométrique.
   3. Montrer que a⁶ est un réel et calculer a¹2.
   4. Soit R la rotation de centre O et d'angle π/3, et A le point d'affixe a. Déterminer l'affixe d du point D = R(A) et en déduire la nature du triangle O A D.
   5. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que |z - a| = |z - conj(a)|.
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   1. Δ = 12 - 16 = -4 = (2i)², donc z = (2 √3 ± 2i)/2 : S = {√3 + i, √3 - i}.
   2. |a| = √(3 + 1) = 2 et a = 2(√3/2 + 1/2 i) = 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) : a = 2 e^(i π/6), d'argument π/6.
   3. a⁶ = 2⁶ e^(i π) = -64, réel. a¹2 = (a⁶)² = 4096.
   4. d = e^(i π/3) a = 2 e^(i(π/6 + π/3)) = 2 e^(i π/2) = 2i. Une rotation conserve les distances : O D = O A = 2, et l'angle (vec(OA), vec(OD)) = π/3. Un triangle isocèle en O dont l'angle au sommet vaut π/3 est équilatéral : O A D est équilatéral (on vérifie A D = |2i - √3 - i| = |-√3 + i| = 2).
   5. |z - a| = A M et |z - conj(a)| = B M où B est le point d'affixe conj(a) = √3 - i, symétrique de A par rapport à l'axe des réels. L'ensemble cherché est la médiatrice de [A B], c'est-à-dire l'axe des réels (droite (O, vec(u))).

3. Exercice 3Probabilités3 pts

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes, indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules de l'urne.

   1. Calculer la probabilité des événements R : « les deux boules sont rouges » et V : « les deux boules sont vertes ».
   2. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance E(X).
   3. On répète quatre fois de suite l'expérience précédente en remettant les deux boules dans l'urne après chaque tirage. Soit Y le nombre de fois où l'on obtient deux boules rouges.

   • (a) Justifier que Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   • (b) Calculer P(Y = 2) puis P(Y ≥ 1) (arrondir à 10^(-4)).
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   1. Il y a binom(5, 2) = 10 tirages équiprobables. P(R) = binom(3, 2)/10 = 3/10 et P(V) = binom(2, 2)/10 = 1/10.
   2. X prend les valeurs 0, 1, 2 : P(X = 0) = P(V) = 1/10, P(X = 2) = P(R) = 3/10, P(X = 1) = (3 × 2)/10 = 6/10. E(X) = 0 × 1/10 + 1 × 6/10 + 2 × 3/10 = 12/10 = 1,2.
   3. (a) On répète 4 fois, de façon indépendante (remise), une expérience dont le succès « deux boules rouges » a la probabilité p = 3/10 : Y suit la loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 0,3. (b) P(Y = 2) = binom(4, 2) (0,3)² (0,7)² = 6 × 0,09 × 0,49 = 0,2646. P(Y ≥ 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - (0,7)⁴ = 1 - 0,2401 = 0,7599.

4. Exercice 4Problème d'analyse11 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral

   Partie A. Soit g la fonction définie sur ]0, +∞[ par g(x) = x² + 1 - ln x.

   1. Calculer g'(x) et dresser le tableau de variations de g (les limites ne sont pas demandées).
   2. En déduire que g(x) > 0 pour tout x > 0.

   Partie B. Soit f la fonction définie sur ]0, +∞[ par f(x) = x - 1 + (ln x)/x, et (cal(C)) sa courbe dans un repère orthonormé (O, vec(i), vec(j)) (unité : 2 cm).

   1. Calculer lim(x → 0^+) f(x) et interpréter graphiquement le résultat.
   2. Calculer lim(x → +∞) f(x).
   3. Montrer que la droite (Δ) : y = x - 1 est asymptote à (cal(C)) en +∞, puis étudier la position relative de (cal(C)) et (Δ).
   4. Montrer que pour tout x > 0 : f'(x) = g(x)/x², et dresser le tableau de variations de f.
   5. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution sur ]0, +∞[ et la déterminer.
   6. Déterminer une équation de la tangente (T) à (cal(C)) au point d'abscisse 1.
   7. Tracer (Δ), (T) et (cal(C)).

   Partie C.

   1. Montrer que la fonction H : x → 1/2 (ln x)² est une primitive de x → (ln x)/x sur ]0, +∞[.
   2. Calculer I = ∫_1^e (ln x)/x d x.
   3. En déduire, en cm""², l'aire du domaine délimité par (cal(C)), (Δ) et les droites d'équations x = 1 et x = e.
   4. Calculer J = ∫_1^e f(x) d x.
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   Partie A.

   1. g'(x) = 2x - 1/x = (2x² - 1)/x, du signe de 2x² - 1 sur ]0, +∞[ : g est décroissante sur ]0, √2/2] et croissante sur [√2/2, +∞[.
   2. Le minimum de g vaut g(√2/2) = 1/2 + 1 - ln(√2/2) = 3/2 + 1/2 ln 2 > 0. Donc g(x) > 0 pour tout x > 0.

   Partie B.

   1. lim(x → 0^+) ln x = -∞ et 1/x → +∞, donc (ln x)/x → -∞ et lim(x → 0^+) f(x) = -∞ : la droite x = 0 (axe des ordonnées) est asymptote verticale à (cal(C)).
   2. lim(x → +∞) (ln x)/x = 0 (croissances comparées) et x - 1 → +∞, donc lim(x → +∞) f(x) = +∞.
   3. f(x) - (x - 1) = (ln x)/x → 0 en +∞ : (Δ) est asymptote oblique. Le signe de f(x) - (x - 1) = (ln x)/x est celui de ln x : (cal(C)) est au-dessous de (Δ) sur ]0, 1[, au-dessus sur ]1, +∞[, et les deux se coupent au point d'abscisse 1.
   4. f'(x) = 1 + (1/x × x - ln x)/x² = 1 + (1 - ln x)/x² = (x² + 1 - ln x)/x² = g(x)/x². D'après la partie A, f'(x) > 0 : f est strictement croissante sur ]0, +∞[, de -∞ à +∞.
   5. f est continue et strictement croissante de ]0, +∞[ sur ℝ : l'équation f(x) = 0 a une unique solution. Comme f(1) = 0, cette solution est x = 1.
   6. f(1) = 0 et f'(1) = g(1) = 2 : (T) : y = 2(x - 1).
   7. Tracé : asymptote verticale x = 0, asymptote oblique y = x - 1, passage par (1, 0) avec tangente de pente 2, courbe croissante, au-dessus de (Δ) pour x > 1.

   Partie C.

   1. H'(x) = 1/2 × 2 ln x × 1/x = (ln x)/x : H est une primitive de x → (ln x)/x.
   2. I = [1/2 (ln x)²]_1^e = 1/2 (1 - 0) = 1/2.
   3. Sur [1, e], (cal(C)) est au-dessus de (Δ), donc l'aire vaut ∫_1^e (f(x) - (x - 1)) d x = I = 1/2 unité d'aire. L'unité d'aire vaut 2 × 2 = 4 cm""² : l'aire est 2 cm""².
   4. J = ∫_1^e (x - 1) d x + I = [x²/2 - x]_1^e + 1/2 = (e²/2 - e) - (1/2 - 1) + 1/2 = e²/2 - e + 1.