Arithmétique, structures algébriques, complexes et analyse

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Arithmétique3 pts

   Chapitres : Arithmétique dans ℤ · Arithmétique dans ℤ

   1. Déterminer, à l'aide de l'algorithme d'Euclide, pgcd(2025, 1287).
   2. (a) Vérifier que le couple (3, 4) est une solution de l'équation (E) : 7x - 5y = 1 dans ℤ². (b) Résoudre (E) dans ℤ².
   3. (a) Montrer que 7⁴ ≡ 1 [10]. (b) En déduire le chiffre des unités de 7²025.
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   1. 2025 = 1287 × 1 + 738 ; 1287 = 738 × 1 + 549 ; 738 = 549 × 1 + 189 ; 549 = 189 × 2 + 171 ; 189 = 171 × 1 + 18 ; 171 = 18 × 9 + 9 ; 18 = 9 × 2 + 0. Donc pgcd(2025, 1287) = 9.
   2. (a) 7 × 3 - 5 × 4 = 21 - 20 = 1. (b) Si (x, y) est solution, par différence avec (3, 4) : 7(x - 3) = 5(y - 4). Donc 5 divise 7(x - 3) ; comme 5 et 7 sont premiers entre eux, 5 divise x - 3 (Gauss) : x = 3 + 5k, puis y = 4 + 7k (k ∈ ℤ). Réciproquement ces couples conviennent : S = {(3 + 5k, 4 + 7k) ; k ∈ ℤ}.
   3. (a) 7² = 49 ≡ -1 [10], donc 7⁴ ≡ 1 [10]. (b) 2025 = 4 × 506 + 1, donc 7²025 = (7⁴)⁵06 × 7 ≡ 7 [10] : le chiffre des unités est 7.

2. Exercice 2Structures algébriques3 pts

   Chapitres : Structures algébriques · Structures algébriques

   On définit sur ℝ la loi de composition interne * par : x * y = x + y - x y.

   1. Montrer que pour tous réels x, y : x * y = 1 - (1 - x)(1 - y).
   2. En déduire que * est commutative et associative.
   3. Montrer que E = ℝ {1} est stable par *.
   4. Montrer que (E, *) est un groupe commutatif (on précisera l'élément neutre et le symétrique d'un élément x de E).
   5. Soit φ : E → ℝ* définie par φ(x) = 1 - x. Montrer que φ est un isomorphisme de (E, ) vers (ℝ, ×).
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   1. 1 - (1 - x)(1 - y) = 1 - (1 - x - y + x y) = x + y - x y = x * y.
   2. Commutativité : (1 - x)(1 - y) = (1 - y)(1 - x). Associativité : (x y) z = 1 - (1 - x * y)(1 - z) = 1 - (1 - x)(1 - y)(1 - z), et par symétrie x (y z) vaut la même chose.
   3. Si x ≠ 1 et y ≠ 1, alors (1 - x)(1 - y) ≠ 0, donc x * y = 1 - (1 - x)(1 - y) ≠ 1 : E est stable.
   4. Neutre : x * 0 = x, donc e = 0 ∈ E. Symétrique de x ∈ E : on cherche x' tel que (1 - x)(1 - x') = 1, soit x' = 1 - 1/(1 - x) = x/(x - 1), qui est bien différent de 1. Avec l'associativité et la commutativité, (E, *) est un groupe commutatif.
   5. φ est une bijection de E sur ℝ* (réciproque t → 1 - t), et φ(x y) = 1 - (x y) = (1 - x)(1 - y) = φ(x) φ(y) : φ est un morphisme bijectif, donc un isomorphisme de (E, ) sur (ℝ, ×).

3. Exercice 3Nombres complexes3 pts

   Chapitres : Nombres complexes (partie 1) · Nombres complexes (partie 1)

   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O, vec(u), vec(v)).

   1. Résoudre dans ℂ l'équation z² - (1 + i) z + i = 0.
   2. Écrire 1 + i sous forme trigonométrique et en déduire la forme algébrique de (1 + i)²024.
   3. Soient A et B les points d'affixes 1 et i. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z (z ≠ i) tels que (z - 1)/(z - i) soit imaginaire pur.
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   1. Somme des racines 1 + i et produit i : les solutions sont 1 et i (vérification : 1 + i = 1 + i et 1 × i = i). S = {1, i}.
   2. 1 + i = √2 e^(i π/4), donc (1 + i)²024 = 2¹012 e^(i 506 π) = 2¹012 (car 506 est pair).
   3. (z - 1)/(z - i) est imaginaire pur non nul si et seulement si arg((z - 1)/(z - i)) ≡ π/2 [π], c'est-à-dire (vec(MB), vec(MA)) ≡ π/2 [π] : M décrit le cercle de diamètre [A B] privé de A et B. Le cas z = 1 donne le quotient nul, qui est imaginaire pur : l'ensemble est le cercle de diamètre [A B] privé du point B.

4. Exercice 4Problème d'analyse11 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Fonctions logarithmiques · Calcul intégral · Calcul intégral · Limites et continuité · Limites et continuité

   Soit f la fonction définie sur ]0, +∞[ par f(x) = x ln x - x + 1, et (cal(C)) sa courbe dans un repère orthonormé.

   Partie A.

   1. Calculer lim(x → 0^+) f(x). Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note encore f ce prolongement.
   2. Étudier la dérivabilité de f en 0 et interpréter graphiquement.
   3. Calculer lim(x → +∞) f(x) et lim(x → +∞) f(x)/x ; interpréter.
   4. Calculer f'(x) pour x > 0 et dresser le tableau de variations de f.
   5. En déduire que pour tout x > 0 : ln x ≥ 1 - 1/x.

   Partie B.

   1. Montrer que f réalise une bijection de [1, +∞[ sur un intervalle J que l'on précisera. On note g sa bijection réciproque.
   2. Calculer g(0) et g(1).
   3. Montrer que g est dérivable en 1 et calculer g'(1).

   Partie C.

   1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer ∫_1^e x ln x d x.
   2. En déduire ∫_1^e f(x) d x et interpréter graphiquement.
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   Partie A.

   1. lim(x → 0^+) x ln x = 0, donc lim(x → 0^+) f(x) = 1 : f est prolongeable par continuité en 0 en posant f(0) = 1.
   2. (f(x) - f(0))/(x - 0) = (x ln x - x)/x = ln x - 1 → -∞ quand x → 0^+ : f n'est pas dérivable en 0 ; la courbe admet une demi-tangente verticale au point (0, 1).
   3. f(x) = x(ln x - 1) + 1 → +∞ et f(x)/x = ln x - 1 + 1/x → +∞ : (cal(C)) admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
   4. f'(x) = ln x + 1 - 1 = ln x : f est décroissante sur ]0, 1] et croissante sur [1, +∞[, avec un minimum f(1) = 0.
   5. Pour tout x > 0, f(x) ≥ f(1) = 0, soit x ln x ≥ x - 1 ; en divisant par x > 0 : ln x ≥ 1 - 1/x.

   Partie B.

   1. f est continue et strictement croissante sur [1, +∞[, donc réalise une bijection de [1, +∞[ sur J = [f(1), lim(+∞) f[ = [0, +∞[.
   2. g(0) = 1 car f(1) = 0. f(x) = 1 ≤⇒ x(ln x - 1) = 0 ≤⇒ x = e (car x ≥ 1), donc g(1) = e.
   3. f est dérivable en e = g(1) avec f'(e) = ln e = 1 ≠ 0, donc g est dérivable en 1 et g'(1) = 1/f'(e) = 1.

   Partie C.

   1. Posons u = ln x, v' = x : u' = 1/x, v = x²/2. ∫_1^e x ln x d x = [x²/2 ln x]_1^e - ∫_1^e x/2 d x = e²/2 - [x²/4]_1^e = e²/2 - (e² - 1)/4 = (e² + 1)/4.
   2. ∫_1^e f(x) d x = (e² + 1)/4 + [-x²/2 + x]_1^e = (e² + 1)/4 - e²/2 + e - 1/2 = (-e² + 4e - 1)/4 ≈ 0,62. C'est l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par (cal(C)), l'axe des abscisses et les droites x = 1, x = e, car f ≥ 0.