Suites numériques, géométrie dans l'espace, nombres complexes, calcul des probabilités, étude d'une fonction numérique et calcul intégral

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Suites numériques2.5 pts

   Chapitres : Suites numériques · Suites numériques

   Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}{u}_n+\frac{2-\sqrt{2}}{2}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.

   1. (a) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_n>1$. (0,5 pt) (b) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=\frac{\sqrt{2}-2}{2}(u_n-1)$ et déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante et convergente. (0,75 pt)
   2. On pose pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $v_n=u_n-1$. (a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme. (0,5 pt) (b) Écrire $u_n$ en fonction de $n$ puis déduire la limite de la suite $(u_n)$. (0,5 pt) (c) Calculer la somme $S=u_0+u_1+u_2+\dots +u_{2021}$. (0,25 pt)
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   1. (a) Par récurrence. Initialisation : $u_0=2>1$. Hérédité : supposons $u_n>1$. Alors $u_{n+1}-1=\frac{\sqrt{2}}{2}{u}_n+\frac{2-\sqrt{2}}{2}-1=\frac{\sqrt{2}}{2}{u}_n-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(u_n-1)>0$, donc $u_{n+1}>1$. Conclusion : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n>1$. (b) $u_{n+1}-u_n=\frac{\sqrt{2}}{2}{u}_n+\frac{2-\sqrt{2}}{2}-u_n=\frac{\sqrt{2}-2}{2}{u}_n-\frac{\sqrt{2}-2}{2}=\frac{\sqrt{2}-2}{2}(u_n-1)$. Comme $\sqrt{2}-2<0$ et $u_n-1>0$, on a $u_{n+1}-u_n<0$ : la suite $(u_n)$ est strictement décroissante. Elle est de plus minorée par $1$, donc elle est convergente (théorème de convergence monotone).
   2. (a) D'après le calcul de 1.a, $v_{n+1}=u_{n+1}-1=\frac{\sqrt{2}}{2}(u_n-1)=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_n$ pour tout $n$ : $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\frac{\sqrt{2}}{2}$ et de premier terme $v_0=u_0-1=1$. (b) $v_n=v_0{q}^n=(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^n$, donc $u_n=1+(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Comme $0<\frac{\sqrt{2}}{2}<1$, ${\lim }_{n\to +\infty }(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^n=0$ et ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=1$. (c) $S={\sum }_{k=0}^{2021}(1+v_k)=2022+{\sum }_{k=0}^{2021}{v}_k=2022+v_0\frac{1-q^{2022}}{1-q}=2022+\frac{1-(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^{2022}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$. Or $\frac{1}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{2-\sqrt{2}}=\frac{2(2+\sqrt{2})}{2}=2+\sqrt{2}$ et $(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^{2022}=(\frac{1}{2}{)}^{1011}$. Donc $S=2022+(2+\sqrt{2})(1-\frac{1}{2^{1011}})$.

2. Exercice 2Géométrie dans l'espace3 pts

   Chapitre : Géométrie dans l'espace

   Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les deux points $A(1,-1,1)$ et $B(5,1,-3)$. Soit $(S)$ la sphère de centre $\Omega (3,0,-1)$ et de rayon $R=3$, et $(\Delta )$ la droite passant par le point $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(2,-2,1)$.

   1. (a) Calculer la distance $\Omega A$. (0,25 pt) (b) Montrer que les droites $(\Delta )$ et $(\Omega A)$ sont perpendiculaires. (0,5 pt) (c) Déduire la position relative de la droite $(\Delta )$ et la sphère $(S)$. (0,25 pt)
   2. Soit le point $M_a(2a-3,3-2a,a-1)$ où $a\in \mathbb{R}$, montrer que $\overrightarrow{A{M}_a}=(a-2)\overrightarrow{u}$ et déduire que $M_a\in (\Delta )$ pour tout $a\in \mathbb{R}$. (0,5 pt)
   3. (a) Vérifier que $2x-2y+z-9a+13=0$ est une équation du plan $(P_a)$ passant par $M_a$ et perpendiculaire à la droite $(\Delta )$. (0,5 pt) (b) Montrer que $d(\Omega ,(P_a))=|3a-6|$. (0,5 pt) (c) Déterminer les deux valeurs de $a$ pour lesquelles le plan $(P_a)$ est tangent à la sphère $(S)$. (0,5 pt)
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   1. (a) $\overrightarrow{\Omega A}(-2,-1,2)$, donc $\Omega A=\sqrt{4+1+4}=3$. (On remarque que $\Omega A=R$ : le point $A$ appartient à la sphère $(S)$.) (b) $\overrightarrow{\Omega A}\cdot \overrightarrow{u}=(-2)\times 2+(-1)\times (-2)+2\times 1=-4+2+2=0$ : les vecteurs directeurs $\overrightarrow{\Omega A}$ et $\overrightarrow{u}$ des droites $(\Omega A)$ et $(\Delta )$ sont orthogonaux, donc ces deux droites (sécantes en $A$) sont perpendiculaires. (c) La droite $(\Delta )$ passe par le point $A$ de la sphère et est perpendiculaire au rayon $[\Omega A]$ : elle est tangente à la sphère $(S)$ au point $A$. (Directement : pour $M=A+t\overrightarrow{u}$, $\Omega M^2=\Omega A^2+t^2\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2=9+9t^2=9\iff t=0$, seul point commun $A$.)
   2. $\overrightarrow{A{M}_a}(2a-3-1,3-2a+1,a-1-1)=(2a-4,4-2a,a-2)=(a-2)(2,-2,1)=(a-2)\overrightarrow{u}$. Donc $\overrightarrow{A{M}_a}$ est colinéaire à $\overrightarrow{u}$, vecteur directeur de $(\Delta )$, et comme $A\in (\Delta )$, $M_a\in (\Delta )$ pour tout $a\in \mathbb{R}$.
   3. (a) Un plan perpendiculaire à $(\Delta )$ admet $\overrightarrow{u}(2,-2,1)$ pour vecteur normal, donc a une équation de la forme $2x-2y+z+d=0$. Il passe par $M_a$ si et seulement si $2(2a-3)-2(3-2a)+(a-1)+d=0$, soit $9a-13+d=0$, d'où $d=13-9a$. Donc $(P_a):2x-2y+z-9a+13=0$. (b) $d(\Omega ,(P_a))=|2\times 3-2\times 0+(-1)-9a+13\frac{|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=|18-9a\frac{|}{3}=|6-3a|=|3a-6|$. (c) $(P_a)$ est tangent à $(S)$ si et seulement si $d(\Omega ,(P_a))=R$, soit $|3a-6|=3$, c'est-à-dire $3a-6=3$ ou $3a-6=-3$. Les deux valeurs cherchées sont $a=3$ et $a=1$.

3. Exercice 3Nombres complexes3 pts

   Chapitres : Nombres complexes (partie 1) · Nombres complexes (partie 2) · Nombres complexes (introduction)

   Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A=1+5i$, $z_B=1-5i$ et $z_C=5-3i$.

   1. Déterminer le nombre complexe $z_D$ affixe du point $D$ milieu du segment $[AC]$. (0,25 pt)
   2. Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\frac{1}{2}$. Déterminer le nombre complexe $z_E$ affixe du point $E$ l'image de $B$ par $h$. (0,5 pt)
   3. On considère la rotation $R$ de centre $C$ et d'angle $(-\frac{\pi }{2})$, déterminer l'image de $B$ par $R$. (0,5 pt)
   4. Soit $F$ le point d'affixe $z_F=-1+i$. (a) Vérifier que $\frac{z_D-z_A}{z_F-z_A}\times \frac{z_F-z_E}{z_D-z_E}=-1$. (0,25 pt) (b) En déduire que $\overline{(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AD})}+\overline{(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EF})}\equiv \pi [2\pi ]$. (0,5 pt) (c) Déterminer la forme trigonométrique du nombre $\frac{z_E-z_F}{z_A-z_F}$ et déduire la nature du triangle $AEF$. (0,5 pt) (d) Déduire que les points $A$, $D$, $E$ et $F$ appartiennent à un cercle dont on déterminera un diamètre. (0,5 pt)
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   1. $z_D=\frac{z_A+z_C}{2}=\frac{1+5i+5-3i}{2}=\frac{6+2i}{2}=3+i$.
   2. L'écriture complexe de $h$ est $z^{\prime }-z_A=\frac{1}{2}(z-z_A)$. Donc $z_E=z_A+\frac{1}{2}(z_B-z_A)=1+5i+\frac{1}{2}(-10i)=1$.
   3. L'écriture complexe de $R$ est $z^{\prime }-z_C=e^{-i\frac{\pi }{2}}(z-z_C)=-i(z-z_C)$. L'image de $B$ a pour affixe $z_C-i(z_B-z_C)=5-3i-i(-4-2i)=5-3i+4i+2i^2=3+i=z_D$. L'image de $B$ par la rotation $R$ est donc le point $D$.
   4. (a) $\frac{z_D-z_A}{z_F-z_A}=\frac{2-4i}{-2-4i}=\frac{(2-4i)(-2+4i)}{(-2{)}^2+4^2}=\frac{-4+8i+8i+16}{20}=\frac{12+16i}{20}=\frac{3+4i}{5}$, et $\frac{z_F-z_E}{z_D-z_E}=\frac{-2+i}{2+i}=\frac{(-2+i)(2-i)}{5}=\frac{-4+2i+2i+1}{5}=\frac{-3+4i}{5}$. Le produit vaut $\frac{(3+4i)(-3+4i)}{25}=\frac{-9+12i-12i-16}{25}=-\frac{25}{25}=-1$. (b) Pour des points distincts, $\overline{(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AD})}\equiv \arg \frac{z_D-z_A}{z_F-z_A}[2\pi ]$ et $\overline{(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EF})}\equiv \arg \frac{z_F-z_E}{z_D-z_E}[2\pi ]$. L'argument d'un produit est la somme des arguments, donc $\overline{(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AD})}+\overline{(\overrightarrow{ED},\overrightarrow{EF})}\equiv \arg (\frac{z_D-z_A}{z_F-z_A}\times \frac{z_F-z_E}{z_D-z_E})\equiv \arg (-1)\equiv \pi [2\pi ]$. (c) $\frac{z_E-z_F}{z_A-z_F}=\frac{2-i}{2+4i}=\frac{(2-i)(2-4i)}{4+16}=\frac{4-8i-2i-4}{20}=\frac{-10i}{20}=-\frac{i}{2}=\frac{1}{2}(\cos (-\frac{\pi }{2})+i\sin (-\frac{\pi }{2}))$. Ainsi $\overline{(\overrightarrow{FA},\overrightarrow{FE})}\equiv -\frac{\pi }{2}[2\pi ]$ et $\frac{FE}{FA}=\frac{1}{2}$ : le triangle $AEF$ est rectangle en $F$ (et non isocèle, puisque $FE\ne FA$). (d) Le triangle $AEF$ est rectangle en $F$, donc $F$ appartient au cercle de diamètre $[AE]$. De même, $\frac{z_A-z_D}{z_E-z_D}=\frac{-2+4i}{-2-i}=\frac{(-2+4i)(-2+i)}{5}=\frac{4-2i-8i-4}{5}=-2i$ est un imaginaire pur : $\overline{(\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DA})}\equiv -\frac{\pi }{2}[2\pi ]$, donc le triangle $ADE$ est rectangle en $D$ et $D$ appartient aussi au cercle de diamètre $[AE]$. Conclusion : les points $A$, $D$, $E$ et $F$ appartiennent au cercle de diamètre $[AE]$, de centre le point d'affixe $\frac{z_A+z_E}{2}=1+\frac{5}{2}i$ et de rayon $\frac{AE}{2}=\frac{5}{2}$. Ce résultat est cohérent avec (b) : dans le quadrilatère $AFED$, les angles en $A$ et en $E$ sont supplémentaires, ce qui caractérise un quadrilatère inscriptible.

4. Exercice 4Calcul des probabilités3 pts

   Chapitres : Dénombrement et probabilités · Dénombrement et probabilités

   Une urne contient trois boules blanches, quatre boules rouges et cinq boules vertes, indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne.

   1. On considère les évènements suivants : $A$ : « Obtenir exactement deux boules rouges » et $B$ : « Obtenir exactement une boule verte ». (a) Montrer que $p(A)=\frac{12}{55}$ et $p(B)=\frac{21}{44}$. (0,75 pt) (b) Calculer $p(A\text{/}B)$ : la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? (0,75 pt)
   2. Soit la variable aléatoire $X$ qui associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées. (a) Déterminer la loi de probabilité de $X$. (1 pt) (b) Calculer la probabilité d'obtenir au moins deux boules vertes. (0,5 pt)
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   L'urne contient $12$ boules et les tirages simultanés de trois boules sont équiprobables : $\mathrm{card}\Omega =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}\right)=220$.

   1. (a) $\mathrm{card}A=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1}\right)=6\times 8=48$, donc $p(A)=\frac{48}{220}=\frac{12}{55}$. $\mathrm{card}B=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)=5\times 21=105$, donc $p(B)=\frac{105}{220}=\frac{21}{44}$. (b) $A\cap B$ : « deux boules rouges et une boule verte » : $\mathrm{card}(A\cap B)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)=30$, donc $p(A\cap B)=\frac{30}{220}=\frac{3}{22}$. $p(A\text{/}B)=p(A\cap B)/p(B)=\frac{\frac{3}{22}}{\frac{21}{44}}=\frac{3}{22}\times \frac{44}{21}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$. Comme $p(A\text{/}B)=\frac{2}{7}\ne \frac{12}{55}=p(A)$ (ou encore $p(A)p(B)=\frac{12}{55}\times \frac{21}{44}\ne \frac{3}{22}$), les évènements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
   2. (a) $X$ prend les valeurs $0,1,2,3$. Pour $k\in 0,1,2,3$ : $p(X=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3-k}\right)}{220}$. $p(X=0)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)}{220}=\frac{35}{220}=\frac{7}{44}$ ; $p(X=1)=\frac{105}{220}=\frac{21}{44}$ ; $p(X=2)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\times 7}{220}=\frac{70}{220}=\frac{7}{22}$ ; $p(X=3)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)}{220}=\frac{10}{220}=\frac{1}{22}$. (Vérification : $35+105+70+10=220$.) (b) $p(X\ge 2)=p(X=2)+p(X=3)=\frac{70}{220}+\frac{10}{220}=\frac{80}{220}=\frac{4}{11}$.

5. Exercice 5Problème d'analyse8.5 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Limites et continuité · Calcul intégral · Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Limites et continuité · Calcul intégral

   Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0,+\infty [$ par : $\{\begin{array}{l}f(x)=x^4(\ln x-1{)}^2\text{;}x>0f(0)=0\end{array}$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 1 cm).

   1. Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ puis déterminer la branche infinie de $(C)$ au voisinage de $+\infty$. (0,75 pt)
   2. (a) Montrer que $f$ est continue à droite en $0$. (0,5 pt) (b) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ puis interpréter le résultat géométriquement. (0,5 pt)
   3. (a) Montrer que $f^{\prime }(x)=2x^3(\ln x-1)(2\ln x-1)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0,+\infty [$. (0,75 pt) (b) Dresser le tableau de variations de $f$. (0,5 pt)
   4. (a) Sachant que $f^{\prime \prime }(x)=2x^2(6\ln x-5)\ln x$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0,+\infty [$, étudier le signe de $f^{\prime \prime }(x)$ sur $]0,+\infty [$. (0,5 pt) (b) Déduire que la courbe $(C)$ admet deux points d'inflexion dont on déterminera les abscisses. (0,5 pt)
   5. (a) Construire la courbe $(C)$ dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (on prend : $\sqrt{e}\approx 1,6$ et $e^2\approx 7,2$). (1 pt) (b) En utilisant la courbe $(C)$, déterminer le nombre de solutions de l'équation $x^2(\ln x-1)=-1$. (0,5 pt)
   6. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=f(|x|)$. (a) Montrer que la fonction $g$ est paire. (0,5 pt) (b) Construire $(C_g)$ la courbe représentative de $g$ dans le même repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. (0,5 pt)
   7. (a) On pose $I={\int }_1^e{x}^4(\ln x-1)\mathrm{d}x$, en utilisant une intégration par parties, montrer que $I=\frac{6-e^5}{25}$. (0,5 pt) (b) On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0,+\infty [$ par $h(x)=x^5(\ln x-1{)}^2$. Vérifier que $h^{\prime }(x)=5f(x)+2x^4(\ln x-1)$. (0,5 pt) (c) Déduire que ${\int }_1^{e}f(x)\mathrm{d}x=-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}I$. (0,5 pt) (d) Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe $(C)$ et l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$. (0,5 pt)
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   1. ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^4=+\infty$ et ${\lim }_{x\to +\infty }(\ln x-1{)}^2=+\infty$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$. Pour $x>0$, $f(x)/x=x^3(\ln x-1{)}^2$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)/x=+\infty$ : la courbe $(C)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
   2. (a) Pour $x>0$, $f(x)=x^4(\ln x{)}^2-2x^4\ln x+x^4$. Or ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^4\ln x=0$ et ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^4(\ln x{)}^2={\lim }_{x\to 0^{+}}(x^2\ln x{)}^2=0$ (limites usuelles $x^n\ln x\to 0$). Donc ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=0=f(0)$ : $f$ est continue à droite en $0$. (b) Pour $x>0$, $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=x^3(\ln x-1{)}^2=x^3(\ln x{)}^2-2x^3\ln x+x^3$, qui tend vers $0$ quand $x\to 0^{+}$ (mêmes limites usuelles). Donc $f$ est dérivable à droite en $0$ et $f_d^{\prime }(0)=0$ : la courbe $(C)$ admet au point $O$ une demi-tangente horizontale (portée par l'axe des abscisses).
   3. (a) $f$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ comme produit de fonctions dérivables : $f^{\prime }(x)=4x^3(\ln x-1{)}^2+x^4\times 2(\ln x-1)\times \frac{1}{x}=2x^3(\ln x-1)[2(\ln x-1)+1]=2x^3(\ln x-1)(2\ln x-1)$. (b) Sur $]0,+\infty [$, $2x^3>0$ ; $\ln x-1\ge 0\iff x\ge e$ et $2\ln x-1\ge 0\iff x\ge \sqrt{e}$. Donc $f^{\prime }(x)>0$ sur $]0,\sqrt{e}[$ (deux facteurs négatifs), $f^{\prime }(x)<0$ sur $]\sqrt{e},e[$ et $f^{\prime }(x)>0$ sur $]e,+\infty [$. Tableau de variations : $f$ est croissante sur $[0,\sqrt{e}]$ de $f(0)=0$ à $f(\sqrt{e})=e^2(\frac{1}{2}-1{)}^2=\frac{e^2}{4}\approx 1,8$, décroissante sur $[\sqrt{e},e]$ jusqu'à $f(e)=0$, puis croissante sur $[e,+\infty [$ vers $+\infty$.
   4. (a) $2x^2>0$ ; $\ln x\ge 0\iff x\ge 1$ et $6\ln x-5\ge 0\iff x\ge e^{\frac{5}{6}}$ (et $1<e^{\frac{5}{6}}$). Donc : $f^{\prime \prime }(x)>0$ sur $]0,1[$ (deux facteurs négatifs), $f^{\prime \prime }(x)<0$ sur $]1,e^{\frac{5}{6}}[$, $f^{\prime \prime }(x)>0$ sur $]e^{\frac{5}{6}},+\infty [$, et $f^{\prime \prime }$ s'annule en $1$ et en $e^{\frac{5}{6}}$. (b) $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe en $x=1$ et en $x=e^{\frac{5}{6}}$ : la courbe $(C)$ admet exactement deux points d'inflexion, d'abscisses $1$ et $e^{\frac{5}{6}}$ (d'ordonnées $f(1)=1$ et $f(e^{\frac{5}{6}})=e^{\frac{10}{3}}/36\approx 0,78$). $(C)$ est convexe sur $]0,1]$ et sur $[e^{\frac{5}{6}},+\infty [$, concave sur $[1,e^{\frac{5}{6}}]$.
   5. (a) Construction : $(C)$ part de $O$ avec une demi-tangente horizontale, passe par le point d'inflexion $(1,1)$, atteint son maximum local $(\sqrt{e},\frac{e^2}{4})\approx (1,6,1,8)$, redescend jusqu'au point $(e,0)\approx (2,7,0)$ où elle touche l'axe des abscisses (tangente horizontale, $f^{\prime }(e)=0$), puis croît très rapidement (branche parabolique de direction $(Oy)$). (b) Pour $x>0$ : $x^2(\ln x-1)=-1\iff x^2(\ln x-1)=-1$ avec $\ln x-1<0$, et en élevant au carré, cela équivaut à $x^4(\ln x-1{)}^2=1$ et $x<e$, c'est-à-dire $f(x)=1$ et $x\in ]0,e[$. Graphiquement, sur $]0,e[$ la droite d'équation $y=1$ coupe $(C)$ en deux points : en $x=1$ (sur la partie croissante, $f(1)=1$) et en un point d'abscisse comprise entre $\sqrt{e}$ et $e$ (sur la partie décroissante, où $f$ passe de $\frac{e^2}{4}>1$ à $0$). Le troisième point d'intersection de $(C)$ avec $y=1$, d'abscisse supérieure à $e$, ne convient pas car $\ln x-1>0$ pour $x>e$. L'équation $x^2(\ln x-1)=-1$ admet donc exactement deux solutions ($x=1$ et une solution dans $]\sqrt{e},e[$, voisine de $2,2$).
   6. (a) $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ (car $|x|\in [0,+\infty [$), et pour tout $x\in \mathbb{R}$, $-x\in \mathbb{R}$ et $g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x)$ : $g$ est paire. (b) Pour $x\ge 0$, $g(x)=f(x)$ : $(C_g)$ coïncide avec $(C)$ sur $[0,+\infty [$. Comme $g$ est paire, $(C_g)$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : on obtient $(C_g)$ en complétant $(C)$ par son symétrique par rapport à l'axe $(Oy)$.
   7. (a) On pose $u(x)=\ln x-1$ et $v^{\prime }(x)=x^4$, d'où $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ et $v(x)=\frac{x^5}{5}$ ($u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[1,e]$) : $I=[\frac{x^5}{5}(\ln x-1){]}_1^e-{\int }_1^e\frac{x^5}{5}\times \frac{1}{x}\mathrm{d}x=(0-\frac{1}{5}(0-1))-\frac{1}{5}{\int }_1^e{x}^4\mathrm{d}x=\frac{1}{5}-\frac{1}{5}[\frac{x^5}{5}{]}_1^e=\frac{1}{5}-\frac{e^5-1}{25}=\frac{6-e^5}{25}$. (b) $h$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ et $h^{\prime }(x)=5x^4(\ln x-1{)}^2+x^5\times 2(\ln x-1)\times \frac{1}{x}=5f(x)+2x^4(\ln x-1)$. (c) D'après (b), $f(x)=\frac{1}{5}(h^{\prime }(x)-2x^4(\ln x-1))$ sur $]0,+\infty [$, donc ${\int }_1^{e}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{5}[h(x){]}_1^e-\frac{2}{5}{\int }_1^e{x}^4(\ln x-1)\mathrm{d}x=\frac{1}{5}(h(e)-h(1))-\frac{2}{5}I=\frac{1}{5}(0-1)-\frac{2}{5}I=-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}I$. (d) $f(x)\ge 0$ sur $[1,e]$, donc l'aire cherchée est $\mathcal{A}={\int }_1^{e}f(x)\mathrm{d}x$ unités d'aire, avec une unité d'aire égale à $1{\mathrm{cm}}^2$ : $\mathcal{A}=-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}\times \frac{6-e^5}{25}=\frac{-25-12+2e^5}{125}=\frac{2e^5-37}{125}{\mathrm{cm}}^2\approx 2,08{\mathrm{cm}}^2$.