Fonctions logarithme et exponentielle, nombres complexes

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Nombres complexes4 pts

   Chapitres : Nombres complexes (partie 1) · Nombres complexes (partie 1)

   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

   1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-4z+13=0$. (0,75 pt)
   2. On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=2+3i$, $b=2-3i$ et $c=-1$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $C$. (0,75 pt)
   3. (a) Déterminer l'ensemble $(E_1)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z-2-3i|=|z+1|$. (0,5 pt) (b) Déterminer l'ensemble $(E_2)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z-2|=3$, et vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent à $(E_2)$. (0,5 pt)
   4. (a) Montrer que pour tout nombre complexe $z$ : $|z+1{|}^2+|z-1{|}^2=2(|z{|}^2+1)$. (0,5 pt) (b) Soit $z$ un nombre complexe tel que $|z|=1$ et $z\ne -1$. Montrer que $\overline{z}=\frac{1}{z}$, puis que le nombre $\frac{z-1}{z+1}$ est imaginaire pur. (1 pt)
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   1. $\Delta =(-4{)}^2-4\times 13=16-52=-36=(6i{)}^2<0$. L'équation admet deux solutions complexes conjuguées : $z_1=\frac{4+6i}{2}=2+3i$ et $z_2=\frac{4-6i}{2}=2-3i$. Donc $S=\{2+3i,2-3i\}$.
   2. $AC=|c-a|=|-3-3i|=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$, $BC=|c-b|=|-3+3i|=3\sqrt{2}$ et $AB=|b-a|=|-6i|=6$. On a $AC=BC$, donc le triangle est isocèle en $C$, et $A{C}^2+B{C}^2=18+18=36=A{B}^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$. Il est donc rectangle et isocèle en $C$.
   3. (a) $|z-2-3i|=|z-a|=AM$ et $|z+1|=|z-c|=CM$. Donc $M\in (E_1)\iff AM=CM$ : $(E_1)$ est la médiatrice du segment $[AC]$. (b) Soit $\Omega$ le point d'affixe $2$. $|z-2|=\Omega M$, donc $(E_2)$ est le cercle de centre $\Omega (2,0)$ et de rayon $3$. $|a-2|=|3i|=3$, $|b-2|=|-3i|=3$ et $|c-2|=|-3|=3$ : les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent à $(E_2)$. (On retrouve que le triangle $ABC$, inscrit dans un cercle de diamètre $[AB]$ car $\Omega$ est le milieu de $[AB]$, est rectangle en $C$.)
   4. (a) Pour tout $z\in \mathbb{C}$, $|z+1{|}^2=(z+1)\overline{(z+1)}=(z+1)(\overline{z}+1)=z\overline{z}+z+\overline{z}+1$ et de même $|z-1{|}^2=(z-1)(\overline{z}-1)=z\overline{z}-z-\overline{z}+1$. En ajoutant : $|z+1{|}^2+|z-1{|}^2=2z\overline{z}+2=2(|z{|}^2+1)$. (b) $|z|=1$ donne $z\overline{z}=|z{|}^2=1$ ; comme $z\ne 0$, $\overline{z}=\frac{1}{z}$. Posons $w=\frac{z-1}{z+1}$ (bien défini car $z\ne -1$). Alors $\overline{w}=\frac{\overline{z}-1}{\overline{z}+1}=\frac{\frac{1}{z}-1}{\frac{1}{z}+1}=\frac{\frac{1-z}{z}}{\frac{1+z}{z}}=\frac{1-z}{1+z}=-w$. Or un nombre complexe $w$ vérifie $\overline{w}=-w$ si et seulement s'il est imaginaire pur. Donc $\frac{z-1}{z+1}$ est imaginaire pur.

2. Exercice 2Fonction logarithme népérien4 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Fonctions logarithmiques · Limites et continuité · Limites et continuité

   1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : (a) l'équation $\ln (x-1)+\ln (x+2)=\ln 4$ ; (0,75 pt) (b) l'inéquation $(\ln x{)}^2-3\ln x+2\le 0$. (0,75 pt)
   2. Calculer les limites suivantes : (a) ${\lim }_{x\to +\infty }(\ln (x^2+1)-\ln x)$ ; (0,5 pt) (b) ${\lim }_{x\to 1}\frac{\ln x}{x^2-1}$. (0,5 pt)
   3. Soit $h$ la fonction définie sur $]0,+\infty [$ par $h(x)=x-1-\ln x$. (a) Étudier les variations de $h$ et en déduire que pour tout $x>0$ : $\ln x\le x-1$. (0,75 pt) (b) En déduire que pour tout $x>0$ : $1-\frac{1}{x}\le \ln x$, puis que pour tout entier $n\ge 1$ : $\frac{1}{n+1}\le \ln (1+\frac{1}{n})\le \frac{1}{n}$. (0,75 pt)
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   1. (a) L'équation est définie pour $x-1>0$ et $x+2>0$, soit $x>1$. Pour $x>1$ : $\ln (x-1)+\ln (x+2)=\ln ((x-1)(x+2))$, et l'équation équivaut à $(x-1)(x+2)=4$ (injectivité de $\ln$), soit $x^2+x-6=0$, dont les racines sont $x=2$ et $x=-3$. Seule $x=2$ vérifie $x>1$ : $S=\{2\}$. (b) L'inéquation est définie pour $x>0$. Posons $X=\ln x$ : $X^2-3X+2\le 0\iff (X-1)(X-2)\le 0\iff 1\le X\le 2$. Donc $1\le \ln x\le 2$, soit $e\le x\le e^2$ (la fonction $\ln$ est strictement croissante et $\ln e=1$, $\ln e^2=2$) : $S=[e,e^2]$.
   2. (a) Pour $x>0$ : $\ln (x^2+1)-\ln x=\ln (\frac{x^2+1}{x})=\ln (x+\frac{1}{x})$. Or ${\lim }_{x\to +\infty }(x+\frac{1}{x})=+\infty$ et ${\lim }_{X\to +\infty }\ln X=+\infty$, donc par composition ${\lim }_{x\to +\infty }(\ln (x^2+1)-\ln x)=+\infty$. (b) Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. Pour $x>0$, $x\ne 1$ : $\frac{\ln x}{x^2-1}=\frac{\ln x}{x-1}\times \frac{1}{x+1}$. D'après la limite usuelle ${\lim }_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}=1$, on obtient ${\lim }_{x\to 1}\frac{\ln x}{x^2-1}=1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
   3. (a) $h$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ et $h^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$, du signe de $x-1$. Donc $h$ est strictement décroissante sur $]0,1]$ et strictement croissante sur $[1,+\infty [$ : elle admet en $1$ un minimum $h(1)=1-1-\ln 1=0$. Ainsi $h(x)\ge 0$ pour tout $x>0$, c'est-à-dire $\ln x\le x-1$. (b) Soit $x>0$. En appliquant (a) au réel $\frac{1}{x}>0$ : $\ln (\frac{1}{x})\le \frac{1}{x}-1$, soit $-\ln x\le \frac{1}{x}-1$, d'où $\ln x\ge 1-\frac{1}{x}$. Pour $n\ge 1$, on applique les deux inégalités à $x=1+\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n}>0$ : d'une part $\ln (1+\frac{1}{n})\le (1+\frac{1}{n})-1=\frac{1}{n}$ ; d'autre part $\ln (1+\frac{1}{n})\ge 1-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$. Donc $\frac{1}{n+1}\le \ln (1+\frac{1}{n})\le \frac{1}{n}$.

3. Exercice 3Fonction exponentielle et suites5 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Fonctions exponentielles · Suites numériques · Suites numériques · Dérivation et étude des fonctions · Dérivation et étude des fonctions

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=1+e^{-x}$, et $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=f(x)-x$.

   1. (a) Calculer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$, puis dresser le tableau de variations de $g$. (0,75 pt) (b) Montrer que l'équation $f(x)=x$ admet dans $\mathbb{R}$ une unique solution $\alpha$, et que $1<\alpha <2$. (0,5 pt)
   2. Montrer que pour tout $x\in [1,2]$, on a $f(x)\in [1,2]$. (0,5 pt)
   3. (a) Montrer que pour tout $x\in [1,2]$ : $|f^{\prime }(x)|\le \frac{1}{e}$. (0,25 pt) (b) En déduire, à l'aide du théorème des accroissements finis, que pour tout $x\in [1,2]$ : $|f(x)-\alpha |\le \frac{1}{e}|x-\alpha |$. (0,75 pt)
   4. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$. (a) Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n\in [1,2]$. (0,5 pt) (b) Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $|u_n-\alpha |\le (\frac{1}{e}{)}^n$. En déduire que $(u_n)$ converge et préciser sa limite. (1 pt) (c) Déterminer un entier $n$ pour lequel $u_n$ est une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près. (0,75 pt)
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   1. (a) $g(x)=1+e^{-x}-x$. En $-\infty$ : $e^{-x}\to +\infty$ et $-x\to +\infty$, donc ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)=+\infty$. En $+\infty$ : $e^{-x}\to 0$ et $-x\to -\infty$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=-\infty$. $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g^{\prime }(x)=-e^{-x}-1<0$ : $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$, de $+\infty$ à $-\infty$. (b) $f(x)=x\iff g(x)=0$. $g$ est continue et strictement décroissante sur $\mathbb{R}$, et $g(\mathbb{R})=]-\infty ,+\infty [=\mathbb{R}$ contient $0$ : d'après le théorème de la bijection, l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \mathbb{R}$. De plus $g(1)=1+e^{-1}-1=e^{-1}>0$ et $g(2)=e^{-2}-1<0$ (car $e^{-2}<1$) ; comme $g$ est strictement décroissante, $1<\alpha <2$.
   2. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f^{\prime }(x)=-e^{-x}<0$ : $f$ est strictement décroissante. Pour $1\le x\le 2$ : $f(2)\le f(x)\le f(1)$, soit $1+e^{-2}\le f(x)\le 1+e^{-1}$. Or $1+e^{-2}>1$ et $1+e^{-1}<2$ (car $e^{-1}<1$). Donc $f(x)\in [1,2]$.
   3. (a) Pour $x\in [1,2]$, $|f^{\prime }(x)|=e^{-x}$. Comme $x\ge 1$, $-x\le -1$ et, la fonction exponentielle étant croissante, $e^{-x}\le e^{-1}=\frac{1}{e}$. Donc $|f^{\prime }(x)|\le \frac{1}{e}$. (b) Soit $x\in [1,2]$. Si $x=\alpha$, l'inégalité est évidente ($0\le 0$). Sinon, $f$ est continue et dérivable sur l'intervalle d'extrémités $x$ et $\alpha$, contenu dans $[1,2]$ ; d'après le théorème des accroissements finis, il existe $c$ strictement compris entre $x$ et $\alpha$ tel que $f(x)-f(\alpha )=f^{\prime }(c)(x-\alpha )$. Comme $c\in [1,2]$, $|f^{\prime }(c)|\le \frac{1}{e}$, et $f(\alpha )=\alpha$ ; donc $|f(x)-\alpha |=|f^{\prime }(c)||x-\alpha |\le \frac{1}{e}|x-\alpha |$.
   4. (a) Par récurrence : $u_0=1\in [1,2]$ ; si $u_n\in [1,2]$, alors d'après la question 2, $u_{n+1}=f(u_n)\in [1,2]$. Donc $u_n\in [1,2]$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. (b) Par récurrence. Initialisation : $|u_0-\alpha |=\alpha -1\le 1=(\frac{1}{e}{)}^0$ car $1<\alpha <2$. Hérédité : si $|u_n-\alpha |\le (\frac{1}{e}{)}^n$, alors, comme $u_n\in [1,2]$, la question 3(b) donne $|u_{n+1}-\alpha |=|f(u_n)-\alpha |\le \frac{1}{e}|u_n-\alpha |\le (\frac{1}{e}{)}^{n+1}$. Donc $|u_n-\alpha |\le (\frac{1}{e}{)}^n$ pour tout $n$. Comme $0<\frac{1}{e}<1$, $\lim (\frac{1}{e}{)}^n=0$, et le théorème de comparaison donne ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=\alpha$. (c) Il suffit que $(\frac{1}{e}{)}^n\le 10^{-3}$, c'est-à-dire $e^{-n}\le 10^{-3}$, soit $-n\le -3\ln 10$ (croissance de $\ln$), soit $n\ge 3\ln 10\approx 6,91$. L'entier $n=7$ convient : $|u_7-\alpha |\le e^{-7}\approx 0,0009<10^{-3}$, donc $u_7$ est une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.

4. Exercice 4Problème d'analyse7 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Fonctions exponentielles · Fonctions logarithmiques · Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Dérivation et étude des fonctions

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{e^x}{1+e^x},$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 4 cm).

   Partie A.

   1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$, et interpréter graphiquement les résultats. (0,5 pt)
   2. Montrer que pour tout réel $x$ : $f(-x)+f(x)=1$. En déduire que le point $\Omega (0,\frac{1}{2})$ est un centre de symétrie de $(\mathcal{C})$. (0,75 pt)
   3. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que pour tout réel $x$ : $f^{\prime }(x)=f(x)(1-f(x))$. Dresser le tableau de variations de $f$. (1 pt)
   4. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point $\Omega$. (0,5 pt)
   5. (a) Montrer que pour tout réel $x$ : $0<f^{\prime }(x)\le \frac{1}{4}$. (0,5 pt) (b) Montrer que pour tout $x\ge 0$ : $f(x)\le \frac{1}{2}+\frac{x}{4}$, et en déduire la position relative de $(\mathcal{C})$ et de $(T)$ sur $\mathbb{R}$. (0,75 pt)

   Partie B.

   1. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]0,1[$, et que pour tout $y\in ]0,1[$ : $f^{-1}(y)=\ln (\frac{y}{1-y})$. (1 pt)
   2. Tracer $(T)$, $(\mathcal{C})$ et la courbe $({\mathcal{C}}^{\prime })$ de $f^{-1}$ dans le même repère. (0,5 pt)

   Partie C.

   1. Montrer que pour tout $y\in ]0,1[$ : $f^{-1}(1-y)=-f^{-1}(y)$. (0,5 pt)
   2. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Calculer $S_n={\sum }_{k=1}^n{f}^{-1}(\frac{k}{n+1})$. (0,5 pt)
   3. Montrer, à l'aide du théorème des accroissements finis, que pour tout réel $x$ : $|f(x)-\frac{1}{2}|\le |x|/4$. (0,5 pt)
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   Partie A.

   1. En $-\infty$ : $e^x\to 0$, donc $f(x)\to \frac{0}{1+0}=0$. La droite $y=0$ est asymptote horizontale à $(\mathcal{C})$ en $-\infty$. En $+\infty$ : en divisant par $e^x\ne 0$, $f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$ et $e^{-x}\to 0$, donc $f(x)\to 1$. La droite $y=1$ est asymptote horizontale à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$.
   2. $f(-x)=\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$ ; en multipliant numérateur et dénominateur par $e^x$ : $f(-x)=\frac{1}{e^x+1}$. Donc $f(x)+f(-x)=\frac{e^x+1}{1+e^x}=1$. L'ensemble de définition $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ et, pour tout $x$, $f(0-x)+f(0+x)=2\times \frac{1}{2}$ : le point $\Omega (0,\frac{1}{2})$ est un centre de symétrie de $(\mathcal{C})$.
   3. $f=\frac{u}{v}$ avec $u(x)=e^x$ et $v(x)=1+e^x$, dérivables sur $\mathbb{R}$ et $v(x)>0$ : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime }(x)=\frac{e^x(1+e^x)-e^x\times e^x}{(1+e^x{)}^2}=\frac{e^x}{(1+e^x{)}^2}$. Or $1-f(x)=\frac{1+e^x-e^x}{1+e^x}=\frac{1}{1+e^x}$, donc $f(x)(1-f(x))=\frac{e^x}{1+e^x}\times \frac{1}{1+e^x}=f^{\prime }(x)$. Comme $e^x>0$, $f^{\prime }(x)>0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, de $0$ (en $-\infty$) à $1$ (en $+\infty$).
   4. $f(0)=\frac{1}{2}$ et $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$. Donc $(T):y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$.
   5. (a) Posons $p=f(x)\in ]0,1[$ (car $f$ est strictement croissante et ses limites sont $0$ et $1$). Alors $f^{\prime }(x)=p(1-p)>0$, et $p(1-p)=-(p-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}$. Donc $0<f^{\prime }(x)\le \frac{1}{4}$. (b) Soit $\phi (x)=\frac{1}{2}+\frac{x}{4}-f(x)$ sur $\mathbb{R}$. $\phi$ est dérivable et ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{1}{4}-f^{\prime }(x)\ge 0$ d'après (a) : $\phi$ est croissante sur $\mathbb{R}$. Comme $\phi (0)=\frac{1}{2}-f(0)=0$, on a $\phi (x)\ge 0$ pour $x\ge 0$ et $\phi (x)\le 0$ pour $x\le 0$. Donc $f(x)\le \frac{1}{2}+\frac{x}{4}$ pour tout $x\ge 0$. Position relative : $(\mathcal{C})$ est au-dessous de $(T)$ sur $[0,+\infty [$ et au-dessus de $(T)$ sur $]-\infty ,0]$ ; les deux se coupent au point $\Omega$ (qui est donc un point d'inflexion de $(\mathcal{C})$).

   Partie B.

   1. $f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc elle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $f(\mathbb{R})=]{\lim }_{-\infty }f,{\lim }_{+\infty }f[=]0,1[$. Soit $y\in ]0,1[$ et $x\in \mathbb{R}$ : $y=f(x)\iff y(1+e^x)=e^x\iff e^x(1-y)=y\iff e^x=\frac{y}{1-y}$ (car $1-y\ne 0$) $\iff x=\ln (\frac{y}{1-y})$, ce qui a un sens car $\frac{y}{1-y}>0$. Donc $f^{-1}(y)=\ln (\frac{y}{1-y})$.
   2. Tracé : $(\mathcal{C})$ est croissante, comprise entre les asymptotes $y=0$ et $y=1$, symétrique par rapport à $\Omega (0,\frac{1}{2})$, tangente en $\Omega$ à $(T)$ de pente $\frac{1}{4}$. La courbe $({\mathcal{C}}^{\prime })$ de $f^{-1}$ est la symétrique de $(\mathcal{C})$ par rapport à la première bissectrice $y=x$ : elle est définie sur $]0,1[$, croissante, admet les asymptotes verticales $x=0$ et $x=1$, passe par le point $(\frac{1}{2},0)$ où sa tangente a pour pente $4$.

   Partie C.

   1. Pour $y\in ]0,1[$, $1-y\in ]0,1[$ et $f^{-1}(1-y)=\ln (\frac{1-y}{y})=-\ln (\frac{y}{1-y})=-f^{-1}(y)$.
   2. Pour $k\in \{1,\dots ,n\}$, $\frac{k}{n+1}\in ]0,1[$ et $1-\frac{k}{n+1}=\frac{n+1-k}{n+1}$. D'après la question 1, $f^{-1}(\frac{k}{n+1})=-f^{-1}(\frac{n+1-k}{n+1})$. Dans la somme $S_n$, posons $j=n+1-k$ ; lorsque $k$ parcourt $\{1,\dots ,n\}$, $j$ parcourt aussi $\{1,\dots ,n\}$, donc $S_n={\sum }_{k=1}^n{f}^{-1}(\frac{k}{n+1})=-{\sum }_{j=1}^n{f}^{-1}(\frac{j}{n+1})=-S_n$. D'où $2S_n=0$, soit $S_n=0$.
   3. Si $x=0$, l'inégalité est évidente. Sinon, $f$ est continue et dérivable sur l'intervalle d'extrémités $0$ et $x$ ; d'après le théorème des accroissements finis, il existe $c$ strictement compris entre $0$ et $x$ tel que $f(x)-f(0)=f^{\prime }(c)(x-0)$. Avec $f(0)=\frac{1}{2}$ et $0<f^{\prime }(c)\le \frac{1}{4}$ (question A.5(a)) : $|f(x)-\frac{1}{2}|=f^{\prime }(c)|x|\le |x|/4$.