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1ère Bac Sciences Expérimentales
MATHEMATICS · 1ère Bac Sciences Expérimentales · 1ère Bac

Notions de logique

Propositions, connecteurs, quantificateurs, modes de raisonnement en mathématiques.

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

  1. Propositions et valeurs de vérité

    Les mathématiques reposent sur un langage précis : les . Comprendre comment on les combine et comment on les démontre est la base de tout le reste du programme.

  2. Connecteurs logiques

    À partir de propositions P et Q, on en forme de nouvelles en les combinant avec des .

  3. Quantificateurs

    Beaucoup d'énoncés mathématiques portent sur des objets « pour tout » ou « il existe ».

  4. Modes de raisonnement

    Trois raisonnements couvrent la quasi-totalité des démonstrations au lycée.

    • Raisonnement direct

      Pour démontrer P ⇒ Q : supposer P vraie, et en déduire Q par une chaîne d'implications.

    • Raisonnement par contraposée

      Pour démontrer P ⇒ Q, on démontre sa (¬ Q) ⇒ (¬ P). Les deux formulations sont logiquement équivalentes et l'une est parfois plus facile à prouver.

    • Raisonnement par l'absurde

      Pour démontrer P, on suppose ¬ P et on en déduit une contradiction (par exemple « 0 = 1 »). Comme la supposition mène à une absurdité, elle est fausse, donc P est vraie.

    • Raisonnement par contre-exemple

      Pour réfuter un énoncé universel « ∀ x ∈ E, P(x) », il suffit d'exhiber un seul x0 ∈ E tel que P(x0) soit fausse.

    • Raisonnement par disjonction de cas

      Pour démontrer une propriété sur tous les éléments d'un ensemble E, on peut partitionner E en sous-cas disjoints et traiter chaque cas séparément.

  5. Équivalence et implication réciproque

    L'implication P ⇒ Q et sa réciproque Q ⇒ P sont . P ≤⇒ Q signifie que les deux tiennent simultanément. Démontrer une équivalence demande deux implications : P ⇒ Q et Q ⇒ P.

Exercices type contrôle corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de contrôle, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

  1. Quantificateurs et négation

    Pour chaque proposition, donner sa valeur de vérité en justifiant, puis écrire sa négation :

    1. ∀ x ∈ ℝ, x² - 2x + 2 > 0 ;
    2. ∃ x ∈ ℝ, ∀ y ∈ ℝ, x ≤ y ;
    3. ∀ x ∈ ℝ, ∃ y ∈ ℝ, x² + y² = 1.
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    1. Vraie : x² - 2x + 2 = (x - 1)² + 1 ≥ 1 > 0. Négation : ∃ x ∈ ℝ, x² - 2x + 2 ≤ 0.
    2. Fausse : pour tout réel x, y = x - 1 vérifie y < x ; aucun réel n'est inférieur à tous les autres. Négation : ∀ x ∈ ℝ, ∃ y ∈ ℝ, y < x.
    3. Fausse : pour x = 2, x² + y² = 4 + y² ≥ 4 > 1 quel que soit y. Négation : ∃ x ∈ ℝ, ∀ y ∈ ℝ, x² + y² ≠ 1.

  2. Table de vérité

    Soient P et Q deux propositions. Démontrer à l'aide d'une table de vérité que ((P ⇒ Q) ∧ (P ⇒ ¬ Q)) ≤⇒ ¬ P.

    Voir la correction

    #table( columns: 6, align: center, [P], [Q], [P ⇒ Q], [P ⇒ ¬ Q], [(P ⇒ Q) ∧ (P ⇒ ¬ Q)], [¬ P], [V], [V], [V], [F], [F], [F], [V], [F], [F], [V], [F], [F], [F], [V], [V], [V], [V], [V], [F], [F], [V], [V], [V], [V], ) Les deux dernières colonnes coïncident : l'équivalence est démontrée. (Interprétation : si P entraîne à la fois Q et son contraire, c'est que P est fausse.)

  3. Contraposée

    Soit x un réel. Démontrer par contraposée : « si x² est irrationnel, alors x est irrationnel ». La réciproque est-elle vraie ?

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    Contraposée : « si x est rationnel, alors x² est rationnel ». Si x = p/q avec p ∈ ℤ, q ∈ ℕ*, alors x² = p²/q² avec p² ∈ ℤ et q² ∈ ℕ* : x² est rationnel. La contraposée est vraie, donc l'implication aussi. La réciproque « si x est irrationnel alors x² est irrationnel » est fausse : x = √2 est irrationnel et x² = 2 est rationnel.

  4. Raisonnement par l'absurde

    1. Démontrer que √6 est irrationnel.
    2. En déduire que √2 + √3 est irrationnel.
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    1. Supposons √6 = p/q avec p, q ∈ ℕ* premiers entre eux. Alors p² = 6q² est pair, donc p est pair : p = 2k. Alors 4k² = 6q², soit 2k² = 3q² : 3q² est pair, donc q² puis q sont pairs. p et q seraient tous deux pairs : contradiction.
    2. Si r = √2 + √3 était rationnel, r² = 5 + 2 √6 le serait aussi, et √6 = (r² - 5)/2 serait rationnel : contradiction avec la question 1.

  5. Disjonction de cas et équivalence

    1. Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre n(n² + 2) est divisible par 3.
    2. Soit x ∈ ℝ. Démontrer l'équivalence x² + x = 0 ≤⇒ (x = 0 ou x = -1).
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    1. Tout entier n s'écrit 3k, 3k + 1 ou 3k + 2.
    • n = 3k : 3 divise n.
    • n = 3k + 1 : n² + 2 = 9k² + 6k + 3 = 3(3k² + 2k + 1).
    • n = 3k + 2 : n² + 2 = 9k² + 12k + 6 = 3(3k² + 4k + 2). Dans chaque cas l'un des facteurs est multiple de 3, donc le produit aussi.
    1. x² + x = x(x + 1) et un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : x² + x = 0 ≤⇒ x = 0 ou x + 1 = 0 ≤⇒ x = 0 ou x = -1. Les deux implications sont contenues dans cette chaîne d'équivalences.

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