Notions de logique
Propositions, connecteurs, quantificateurs, modes de raisonnement en mathématiques.
Plan du chapitre
Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.
Propositions et valeurs de vérité
Les mathématiques reposent sur un langage précis : les . Comprendre comment on les combine et comment on les démontre est la base de tout le reste du programme.
Connecteurs logiques
À partir de propositions P et Q, on en forme de nouvelles en les combinant avec des .
Quantificateurs
Beaucoup d'énoncés mathématiques portent sur des objets « pour tout » ou « il existe ».
Modes de raisonnement
Trois raisonnements couvrent la quasi-totalité des démonstrations au lycée.
Raisonnement direct
Pour démontrer P ⇒ Q : supposer P vraie, et en déduire Q par une chaîne d'implications.
Raisonnement par contraposée
Pour démontrer P ⇒ Q, on démontre sa (¬ Q) ⇒ (¬ P). Les deux formulations sont logiquement équivalentes et l'une est parfois plus facile à prouver.
Raisonnement par l'absurde
Pour démontrer P, on suppose ¬ P et on en déduit une contradiction (par exemple « 0 = 1 »). Comme la supposition mène à une absurdité, elle est fausse, donc P est vraie.
Raisonnement par contre-exemple
Pour réfuter un énoncé universel « ∀ x ∈ E, P(x) », il suffit d'exhiber un seul x0 ∈ E tel que P(x0) soit fausse.
Raisonnement par disjonction de cas
Pour démontrer une propriété sur tous les éléments d'un ensemble E, on peut partitionner E en sous-cas disjoints et traiter chaque cas séparément.
Équivalence et implication réciproque
L'implication P ⇒ Q et sa réciproque Q ⇒ P sont . P ≤⇒ Q signifie que les deux tiennent simultanément. Démontrer une équivalence demande deux implications : P ⇒ Q et Q ⇒ P.
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