Géométrie analytique de l'espace
Équations du plan, de la droite en 3D, positions relatives, distances.
Plan du chapitre
Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.
Équation d'un plan
Plan déterminé par trois points non alignés
Étant donnés A, B, C non alignés, on prend un vecteur normal arrow(n) orthogonal à arrow(A B) et arrow(A C) (en 2e Bac, produit vectoriel ; en 1BAC SE, on résout un système arrow(n) dot arrow(A B) = 0, arrow(n) dot arrow(A C) = 0).
Plan déterminé par un point et deux vecteurs
Le plan contenant A et dirigé par deux vecteurs non colinéaires arrow(u), arrow(v) a pour : M(x ; y ; z) ∈ (P) ≤⇒ arrow(A M) = s arrow(u) + t arrow(v) (s, t ∈ ℝ).
Équation d'une droite
Une droite dans l'espace est aussi l'intersection de deux plans sécants — elle peut donc se donner par un système de deux équations cartésiennes.
Positions relatives
Deux droites
- (même direction) : arrow(u1) et arrow(u2) colinéaires. - : non parallèles, et il existe un point commun. - (« gauches ») : non parallèles, pas de point commun.
Droite et plan
Injecter les paramétriques de la droite dans l'équation du plan : équation sans solution : parallèles ; toutes les valeurs de t solutions : droite incluse dans le plan ; solution unique : point d'intersection.
Deux plans
Parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Sécants selon une droite sinon.
Distances
Distance point–plan
Distance point–droite
Projeter orthogonalement le point sur la droite, calculer la norme du vecteur résidu. Formule plus compacte via produit vectoriel en 2BAC.
Équation d'une sphère
Le développement donne une forme générale x² + y² + z² + α x + β y + γ z + δ = 0 qui est celle d'une sphère ssi (α/2)² + (β/2)² + (γ/2)² - δ > 0 (via forme canonique).
Documents
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