Calcul intégral, équations différentielles et arithmétique

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Arithmétique5 pts

   Chapitres : Arithmétique dans ℤ · Arithmétique dans ℤ

   1. (a) À l'aide de l'algorithme d'Euclide, déterminer un couple $(u,v)\in {\mathbb{Z}}^2$ tel que $13u+8v=1$. (0,5 pt) (b) Résoudre dans ${\mathbb{Z}}^2$ l'équation $(E):13x+8y=3$. (0,75 pt) (c) Déterminer les solutions $(x,y)$ de $(E)$ telles que $0\le x\le 20$. (0,5 pt)
   2. (a) Vérifier que $2^3\equiv 1[7]$. (0,25 pt) (b) En déduire le reste de la division euclidienne de $2025^{2026}$ par $7$. (0,5 pt)
   3. Soit $n\in \mathbb{Z}$. (a) Montrer, à l'aide du petit théorème de Fermat, que $n^7\equiv n[7]$. (0,5 pt) (b) Montrer que $n^7\equiv n[2]$ et que $n^7\equiv n[3]$. (0,5 pt) (c) En déduire que $42$ divise $n^7-n$. (0,5 pt)
   4. Soit $p$ un nombre premier tel que $p\ge 5$. Montrer que $24$ divise $p^2-1$. (1 pt)
   Voir la correction

   1. (a) Algorithme d'Euclide : $13=1\times 8+5$, $8=1\times 5+3$, $5=1\times 3+2$, $3=1\times 2+1$. Donc $\mathrm{pgcd}(13,8)=1$. En remontant : $1=3-2=3-(5-3)=2\times 3-5=2(8-5)-5=2\times 8-3\times 5=2\times 8-3(13-8)=5\times 8-3\times 13$. Ainsi $13\times (-3)+8\times 5=1$ : le couple $(u,v)=(-3,5)$ convient. (b) En multipliant par $3$ : $13\times (-9)+8\times 15=3$, donc $(-9,15)$ est une solution particulière de $(E)$. Soit $(x,y)\in {\mathbb{Z}}^2$. $(x,y)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $13x+8y=13\times (-9)+8\times 15$, soit $13(x+9)=8(15-y)$. Si $(x,y)$ est solution, alors $8$ divise $13(x+9)$ ; comme $\mathrm{pgcd}(8,13)=1$, le théorème de Gauss donne $8|(x+9)$ : il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $x+9=8k$, soit $x=-9+8k$. En reportant : $13\times 8k=8(15-y)$, d'où $y=15-13k$. Réciproquement, pour tout $k\in \mathbb{Z}$, $13(-9+8k)+8(15-13k)=-117+104k+120-104k=3$. L'ensemble des solutions de $(E)$ est donc $\{(-9+8k,15-13k);k\in \mathbb{Z}\}$. (c) $0\le -9+8k\le 20\iff \frac{9}{8}\le k\le \frac{29}{8}\iff k\in \{2,3\}$ (car $k$ est entier). Pour $k=2$ : $(x,y)=(7,-11)$ ; pour $k=3$ : $(x,y)=(15,-24)$. Vérification : $13\times 7-8\times 11=91-88=3$ et $13\times 15-8\times 24=195-192=3$.
   2. (a) $2^3=8=7+1$, donc $2^3\equiv 1[7]$. (b) $2025=7\times 289+2$, donc $2025\equiv 2[7]$ et $2025^{2026}\equiv 2^{2026}[7]$. Or $2026=3\times 675+1$, donc $2^{2026}=(2^3{)}^{675}\times 2\equiv 1^{675}\times 2\equiv 2[7]$. Comme $0\le 2<7$, le reste de la division euclidienne de $2025^{2026}$ par $7$ est $2$.
   3. (a) $7$ est premier, donc d'après le petit théorème de Fermat (deuxième forme), pour tout $n\in \mathbb{Z}$ : $n^7\equiv n[7]$. (b) Modulo $2$ : si $n$ est pair, $n^7$ et $n$ sont pairs, donc $n^7\equiv 0\equiv n[2]$ ; si $n$ est impair, $n^7$ est impair et $n^7\equiv 1\equiv n[2]$. Dans les deux cas $n^7\equiv n[2]$. Modulo $3$ : $3$ est premier, donc par Fermat $n^3\equiv n[3]$. Alors $n^7=(n^3{)}^2\times n\equiv n^2\times n=n^3\equiv n[3]$. (c) D'après (a) et (b), $n^7-n$ est divisible par $2$, par $3$ et par $7$. Comme $2$ et $3$ sont premiers entre eux, $6=2\times 3$ divise $n^7-n$ ; puis, $6$ et $7$ étant premiers entre eux, $42=6\times 7$ divise $n^7-n$.
   4. $p^2-1=(p-1)(p+1)$. Divisibilité par $8$. $p\ge 5$ est premier, donc $p$ est impair : $p-1$ et $p+1$ sont deux entiers pairs consécutifs (ils diffèrent de $2$). Parmi deux entiers pairs consécutifs, l'un est multiple de $4$ : écrivons $p-1=2m$ et $p+1=2(m+1)$ ; l'un des entiers $m$, $m+1$ est pair, donc $(p-1)(p+1)=4m(m+1)$ est divisible par $8$. Divisibilité par $3$. $p$ est premier et $p\ge 5$, donc $3$ ne divise pas $p$ : $p\equiv 1[3]$ ou $p\equiv 2[3]$. Si $p\equiv 1[3]$, alors $3|(p-1)$ ; si $p\equiv 2[3]$, alors $p+1\equiv 0[3]$ et $3|(p+1)$. Dans les deux cas $3|(p-1)(p+1)$. Conclusion. $8|(p^2-1)$, $3|(p^2-1)$ et $\mathrm{pgcd}(8,3)=1$, donc $8\times 3=24$ divise $p^2-1$.

2. Exercice 2Équations différentielles4 pts

   Chapitres : Équations différentielles · Équations différentielles · Fonctions exponentielles · Fonctions exponentielles

   1. (a) Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E_1):y^{\prime }+2y=6$. (0,75 pt) (b) Déterminer la solution $f$ de $(E_1)$ telle que $f(0)=1$, et calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$. (0,5 pt)
   2. Soit $g$ la solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $(E_2):y^{\prime \prime }+4y=0$ vérifiant $g(0)=1$ et $g^{\prime }(0)=2$. (a) Déterminer $g(x)$ pour tout réel $x$. (0,75 pt) (b) Montrer que pour tout réel $x$ : $g(x)=\sqrt{2}\cos (2x-\frac{\pi }{4})$, et en déduire que $|g(x)|\le \sqrt{2}$ pour tout réel $x$. (0,25 pt)
   3. On considère l'équation différentielle $(E_3):y^{\prime }-y=x$. (a) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $y_p:x\to ax+b$ soit solution de $(E_3)$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt) (b) Montrer qu'une fonction $y$ dérivable sur $\mathbb{R}$ est solution de $(E_3)$ si et seulement si la fonction $y-y_p$ est solution de l'équation $(E_0):y^{\prime }=y$. (0,5 pt) (c) En déduire l'ensemble des solutions de $(E_3)$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt) (d) Déterminer la solution $h$ de $(E_3)$ telle que $h(0)=0$. (0,25 pt)
   Voir la correction

   1. (a) $(E_1)$ s'écrit $y^{\prime }=-2y+6$, équation du type $y^{\prime }=ay+b$ avec $a=-2$ et $b=6$. Ses solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $y(x)=C{e}^{-2x}-\frac{b}{a}=C{e}^{-2x}+3$, où $C\in \mathbb{R}$. (b) $f(0)=C+3=1$ donne $C=-2$ : $f(x)=3-2e^{-2x}$. Comme ${\lim }_{x\to +\infty }{e}^{-2x}=0$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=3$.
   2. (a) $(E_2)$ est de la forme $y^{\prime \prime }+{\omega }^{2}y=0$ avec $\omega =2$ : ses solutions sont $y(x)=A\cos (2x)+B\sin (2x)$, $A,B\in \mathbb{R}$. $g(0)=A=1$. $g^{\prime }(x)=-2A\sin (2x)+2B\cos (2x)$, donc $g^{\prime }(0)=2B=2$, soit $B=1$. Ainsi $g(x)=\cos (2x)+\sin (2x)$. (b) $\sqrt{2}\cos (2x-\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}(\cos (2x)\cos (\frac{\pi }{4})+\sin (2x)\sin (\frac{\pi }{4}))=\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos (2x)+\sin (2x))=g(x)$. Comme $|\cos (2x-\frac{\pi }{4})|\le 1$, on obtient $|g(x)|\le \sqrt{2}$ pour tout réel $x$.
   3. (a) $y_p(x)=ax+b$ donne $y_p^{\prime }(x)=a$, et $y_p^{\prime }-y_p=a-ax-b=-ax+(a-b)$. $y_p$ est solution de $(E_3)$ si et seulement si $-ax+(a-b)=x$ pour tout $x$, soit $-a=1$ et $a-b=0$ : $a=-1$ et $b=-1$. Donc $y_p(x)=-x-1$. (b) Soit $y$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et $z=y-y_p$. Alors $z^{\prime }-z=(y^{\prime }-y)-(y_p^{\prime }-y_p)=(y^{\prime }-y)-x$. Donc $y$ est solution de $(E_3)$ $\iff y^{\prime }-y=x\iff z^{\prime }-z=0\iff z^{\prime }=z$, c'est-à-dire si et seulement si $z=y-y_p$ est solution de $(E_0)$. (c) Les solutions de $(E_0):y^{\prime }=y$ sont les fonctions $x\to C{e}^x$, $C\in \mathbb{R}$. D'après (b), les solutions de $(E_3)$ sont les fonctions $y(x)=C{e}^x+y_p(x)=C{e}^x-x-1$, $C\in \mathbb{R}$. (d) $h(0)=C-1=0$ donne $C=1$ : $h(x)=e^x-x-1$.

3. Exercice 3Calcul intégral5 pts

   Chapitres : Calcul intégral · Calcul intégral · Suites numériques · Suites numériques

   1. Calculer les intégrales suivantes : (a) $I={\int }_0^{1}x{e}^{-x}\mathrm{d}x$ ; (0,5 pt) (b) $J={\int }_1^e\ln x\mathrm{d}x$ ; (0,5 pt) (c) $K={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\tan x\mathrm{d}x$. (0,5 pt)
   2. Pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, on pose $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x.$ (a) Calculer $I_0$ et $I_1$. (0,5 pt) (b) Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante et à termes positifs. En déduire qu'elle converge. (0,5 pt) (c) Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $I_n+I_{n+1}=\frac{1}{n+1}$. (0,5 pt) (d) Montrer que pour tout entier $n\ge 1$ : $\frac{1}{2(n+1)}\le I_n\le \frac{1}{2n}$. En déduire ${\lim }_{n\to +\infty }{I}_n$ puis ${\lim }_{n\to +\infty }n{I}_n$. (0,75 pt) (e) Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : ${\sum }_{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k+1}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\dots +\frac{(-1{)}^n}{n+1}=\ln 2+(-1{)}^n{I}_{n+1},$ et en déduire ${\lim }_{n\to +\infty }{\sum }_{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k+1}$. (1,25 pt)
   Voir la correction

   1. (a) Intégration par parties avec $u(x)=x$, $v^{\prime }(x)=e^{-x}$, donc $u^{\prime }(x)=1$, $v(x)=-e^{-x}$ ($u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $[0,1]$) : $I=[-x{e}^{-x}{]}_0^1+{\int }_0^1{e}^{-x}\mathrm{d}x=-e^{-1}+[-e^{-x}{]}_0^1=-e^{-1}-e^{-1}+1=1-\frac{2}{e}$. (b) Intégration par parties avec $u(x)=\ln x$, $v^{\prime }(x)=1$, donc $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, $v(x)=x$ : $J=[x\ln x{]}_1^e-{\int }_1^{e}x\times \frac{1}{x}\mathrm{d}x=e-(e-1)=1$. (c) Sur $[0,\frac{\pi }{4}]$, $\cos x>0$ et $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}$ avec $u(x)=\cos x$. Une primitive est $-\ln (\cos x)$, donc $K=[-\ln (\cos x){]}_0^{\frac{\pi }{4}}=-\ln (\frac{\sqrt{2}}{2})+\ln 1=\ln (\frac{2}{\sqrt{2}})=\ln \sqrt{2}=\frac{1}{2}\ln 2$.
   2. (a) $I_0={\int }_0^1\frac{1}{1+x}\mathrm{d}x=[\ln (1+x){]}_0^1=\ln 2$. Pour $I_1$, on écrit $\frac{x}{1+x}=\frac{1+x-1}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}$ : $I_1={\int }_0^1\mathrm{d}x-I_0=1-\ln 2$. (b) Pour $x\in [0,1]$, $\frac{x^n}{1+x}\ge 0$, donc par positivité de l'intégrale $I_n\ge 0$. De plus $I_{n+1}-I_n={\int }_0^1\frac{x^{n+1}-x^n}{1+x}\mathrm{d}x={\int }_0^1\frac{x^n(x-1)}{1+x}\mathrm{d}x\le 0$ car $x^n(x-1)\le 0$ sur $[0,1]$ : la suite $(I_n)$ est décroissante. Décroissante et minorée par $0$, elle converge (théorème de la convergence monotone). (c) Par linéarité, $I_n+I_{n+1}={\int }_0^1\frac{x^n+x^{n+1}}{1+x}\mathrm{d}x={\int }_0^1\frac{x^n(1+x)}{1+x}\mathrm{d}x={\int }_0^1{x}^n\mathrm{d}x=[\frac{x^{n+1}}{n+1}{]}_0^1=\frac{1}{n+1}$. (d) Soit $n\ge 1$. Comme $(I_n)$ est décroissante, $I_{n+1}\le I_n$, donc d'après (c) : $\frac{1}{n+1}=I_n+I_{n+1}\le 2I_n$, soit $I_n\ge \frac{1}{2(n+1)}$. De même $I_n\le I_{n-1}$, donc $\frac{1}{n}=I_{n-1}+I_n\ge 2I_n$, soit $I_n\le \frac{1}{2n}$. Les deux bornes tendent vers $0$ : par le théorème des gendarmes, $\lim I_n=0$. En multipliant par $n$ : $\frac{n}{2(n+1)}\le n{I}_n\le \frac{1}{2}$, et $\frac{n}{2(n+1)}=\frac{1}{2(1+\frac{1}{n})}\to \frac{1}{2}$ ; donc ${\lim }_{n\to +\infty }n{I}_n=\frac{1}{2}$. (e) Pour tout $k\in \mathbb{N}$, d'après (c) : $\frac{(-1{)}^k}{k+1}=(-1{)}^k(I_k+I_{k+1})=(-1{)}^k{I}_k-(-1{)}^{k+1}{I}_{k+1}$. En sommant pour $k=0,1,\dots ,n$, la somme est télescopique : ${\sum }_{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k+1}=(-1{)}^0{I}_0-(-1{)}^{n+1}{I}_{n+1}=\ln 2+(-1{)}^n{I}_{n+1}$. Or $|(-1{)}^n{I}_{n+1}|=I_{n+1}\to 0$ d'après (d). Donc ${\lim }_{n\to +\infty }{\sum }_{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k+1}=\ln 2$.

4. Exercice 4Étude de fonction et calcul intégral6 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Fonctions exponentielles · Dérivation et étude des fonctions · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral · Calcul intégral · Équations différentielles · Équations différentielles

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x{e}^{1-x}$, et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 2 cm).

   1. Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$, et étudier les branches infinies de $(\mathcal{C})$. (1 pt)
   2. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout réel $x$ et dresser le tableau de variations de $f$. (0,75 pt)
   3. Montrer que $(\mathcal{C})$ admet un unique point d'inflexion $I$, dont on précisera les coordonnées, et déterminer une équation de la tangente à $(\mathcal{C})$ en $I$. (0,5 pt)
   4. Tracer $(\mathcal{C})$ (on prendra $e\approx 2,7$). (0,5 pt)
   5. (a) Vérifier que $f$ est solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $(E):y^{\prime }+y=e^{1-x}$. (0,25 pt) (b) Montrer qu'une fonction $g$ dérivable sur $\mathbb{R}$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g-f$ est solution de l'équation $y^{\prime }=-y$. (0,5 pt) (c) En déduire toutes les solutions de $(E)$, puis celle qui s'annule en $1$. (0,5 pt)
   6. (a) À l'aide d'une intégration par parties, calculer ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$. (0,75 pt) (b) En déduire, en cm${}^2$, l'aire du domaine délimité par $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. (0,5 pt)
   7. Pour tout entier $n\ge 1$, on pose $J_n={\int }_0^{n}f(x)\mathrm{d}x$. (a) Montrer que $J_n=e-(n+1)e^{1-n}$. (0,5 pt) (b) Calculer ${\lim }_{n\to +\infty }{J}_n$. (0,25 pt)
   Voir la correction

   1. $f(x)=e\times x{e}^{-x}$. En $-\infty$ : $x\to -\infty$ et $e^{-x}\to +\infty$, donc ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$. De plus $f(x)/x=e^{1-x}\to +\infty$ : $(\mathcal{C})$ admet en $-\infty$ une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées. En $+\infty$ : $f(x)=e\times \frac{x}{e^x}$ et, par croissances comparées, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{e^x}{x}=+\infty$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$. L'axe des abscisses est asymptote à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$ (avec $f(x)>0$ pour $x>0$ : la courbe est au-dessus de l'asymptote).
   2. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (produit de fonctions dérivables) et $f^{\prime }(x)=e^{1-x}+x\times (-e^{1-x})=(1-x)e^{1-x}$. Comme $e^{1-x}>0$, $f^{\prime }(x)$ a le signe de $1-x$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ,1]$ et strictement décroissante sur $[1,+\infty [$ ; elle admet en $1$ un maximum $f(1)=1\times e^0=1$. Tableau : $f$ croît de $-\infty$ à $1$ sur $]-\infty ,1]$, puis décroît de $1$ à $0$ sur $[1,+\infty [$.
   3. $f^{\prime }$ est dérivable et $f^{\prime \prime }(x)=-e^{1-x}-(1-x)e^{1-x}=(x-2)e^{1-x}$, du signe de $x-2$ : $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe uniquement en $x=2$. Donc $(\mathcal{C})$ admet un unique point d'inflexion $I(2,f(2))=I(2,\frac{2}{e})$. La tangente en $I$ a pour équation $y=f^{\prime }(2)(x-2)+f(2)=-\frac{1}{e}(x-2)+\frac{2}{e}=\frac{4-x}{e}$.
   4. Tracé : $f(0)=0$ et $f^{\prime }(0)=e\approx 2,7$ (tangente en $O$ de pente $e$), maximum au point $(1,1)$ avec tangente horizontale, point d'inflexion $I(2,\frac{2}{e})$ avec $\frac{2}{e}\approx 0,74$, $f(3)=3e^{-2}\approx 0,41$, $f(-1)=-e^2\approx -7,4$ ; la courbe est concave sur $]-\infty ,2]$, convexe sur $[2,+\infty [$, et tend vers l'axe des abscisses en $+\infty$.
   5. (a) $f^{\prime }(x)+f(x)=(1-x)e^{1-x}+x{e}^{1-x}=e^{1-x}$ : $f$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$. (b) Soit $g$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et $h=g-f$. Comme $f^{\prime }+f=e^{1-x}$ : $g$ solution de $(E)$ $\iff g^{\prime }+g=e^{1-x}\iff g^{\prime }+g=f^{\prime }+f\iff (g-f{)}^{\prime }=-(g-f)\iff h^{\prime }=-h$, c'est-à-dire si et seulement si $h=g-f$ est solution de $y^{\prime }=-y$. (c) Les solutions de $y^{\prime }=-y$ sont les fonctions $x\to C{e}^{-x}$, $C\in \mathbb{R}$. Donc les solutions de $(E)$ sont les fonctions $g(x)=x{e}^{1-x}+C{e}^{-x}=(x+\frac{C}{e})e^{1-x}$, soit, en posant $k=\frac{C}{e}$ : $g(x)=(x+k)e^{1-x}$ avec $k\in \mathbb{R}$. Celle qui s'annule en $1$ vérifie $(1+k)e^0=0$, soit $k=-1$ : $g(x)=(x-1)e^{1-x}$.
   6. (a) Intégration par parties avec $u(x)=x$, $v^{\prime }(x)=e^{1-x}$, donc $u^{\prime }(x)=1$, $v(x)=-e^{1-x}$ : ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=[-x{e}^{1-x}{]}_0^1+{\int }_0^1{e}^{1-x}\mathrm{d}x=-1+[-e^{1-x}{]}_0^1=-1+(-1+e)=e-2$. (b) Sur $[0,1]$, $f(x)\ge 0$, donc l'aire du domaine vaut ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=e-2$ unités d'aire. L'unité d'aire vaut $2\times 2=4$ cm${}^2$, donc l'aire cherchée est $4(e-2)=4e-8\approx 2,87$ cm${}^2$.
   7. (a) Même intégration par parties sur $[0,n]$ : $J_n=[-x{e}^{1-x}{]}_0^n+{\int }_0^n{e}^{1-x}\mathrm{d}x=-n{e}^{1-n}+[-e^{1-x}{]}_0^n=-n{e}^{1-n}-e^{1-n}+e=e-(n+1)e^{1-n}$. (b) $(n+1)e^{1-n}=e(n{e}^{-n}+e^{-n})$. Par croissances comparées, ${\lim }_{n\to +\infty }n{e}^{-n}=0$, et $\lim e^{-n}=0$. Donc ${\lim }_{n\to +\infty }{J}_n=e$ : l'aire du domaine situé sous $(\mathcal{C})$ et au-dessus de l'axe des abscisses pour $x\ge 0$ tend vers $e$ unités d'aire.