Nombres complexes, calcul intégral et équations différentielles

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Équations différentielles4 pts

   Chapitre : Équations différentielles

   1. (a) Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E_1):y^{\prime }+3y=0$. (0,5 pt) (b) Déterminer la solution $f$ de $(E_1)$ qui vérifie $f(0)=2$. (0,5 pt)
   2. On considère l'équation différentielle $(E_2):y^{\prime \prime }+9y=0$. (a) Donner la forme générale des solutions de $(E_2)$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt) (b) Déterminer la solution $g$ de $(E_2)$ qui vérifie $g(0)=1$ et $g^{\prime }(0)=3$. (0,5 pt) (c) Montrer que pour tout réel $x$ : $g(x)=\sqrt{2}\cos (3x-\frac{\pi }{4})$. (0,5 pt)
   3. Un corps, initialement à la température de $85^{\circ }$C, est placé dans une salle maintenue à $25^{\circ }$C. Sa température $T(t)$ (en degrés Celsius) à l'instant $t$ (en minutes) vérifie, pour $t\ge 0$, l'équation différentielle $(E_3):T^{\prime }(t)=-0,2(T(t)-25).$ (a) Résoudre l'équation différentielle $(E_3)$. (0,5 pt) (b) Déterminer l'expression de $T(t)$ sachant que $T(0)=85$. (0,5 pt) (c) Au bout de combien de temps la température du corps atteint-elle $55^{\circ }$C ? On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $0,1$ minute près. (0,5 pt)
   Voir la correction

   1. (a) $(E_1)$ s'écrit $y^{\prime }=-3y$ : ses solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x\to C{e}^{-3x}$, $C\in \mathbb{R}$. (b) $f(0)=C{e}^0=C=2$, donc $f(x)=2e^{-3x}$.
   2. (a) $(E_2)$ est de la forme $y^{\prime \prime }+{\omega }^{2}y=0$ avec $\omega =3$ : ses solutions sont les fonctions $x\to A\cos (3x)+B\sin (3x)$, $A,B\in \mathbb{R}$. (b) $g(x)=A\cos (3x)+B\sin (3x)$ et $g^{\prime }(x)=-3A\sin (3x)+3B\cos (3x)$. $g(0)=A=1$ et $g^{\prime }(0)=3B=3$, donc $B=1$ : $g(x)=\cos (3x)+\sin (3x)$. (c) $\sqrt{2}\cos (3x-\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}(\cos (3x)\cos (\frac{\pi }{4})+\sin (3x)\sin (\frac{\pi }{4}))=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos (3x)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin (3x))=\cos (3x)+\sin (3x)=g(x)$.
   3. (a) $(E_3)$ s'écrit $T^{\prime }=-0,2T+5$, de la forme $y^{\prime }=ay+b$ avec $a=-0,2$ et $b=5$. Ses solutions sont $T(t)=C{e}^{-0,2t}-\frac{b}{a}=C{e}^{-0,2t}+25$, $C\in \mathbb{R}$. (b) $T(0)=C+25=85$ donne $C=60$ : $T(t)=60e^{-0,2t}+25$. (c) $T(t)=55$ équivaut à $60e^{-0,2t}=30$, soit $e^{-0,2t}=\frac{1}{2}$, donc $-0,2t=\ln (\frac{1}{2})=-\ln 2$ et $t=\frac{\ln 2}{0,2}=5\ln 2\approx 3,5$ minutes (valeur exacte $5\ln 2\approx 3,47$).

2. Exercice 2Nombres complexes6 pts

   Chapitres : Nombres complexes (partie 2) · Nombres complexes (partie 1)

   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

   1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-2z+4=0$. (0,75 pt)
   2. On pose $a=1+i\sqrt{3}$ et $b=\overline{a}$. Écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle. (0,75 pt)
   3. Montrer que $a^3=-8$ et en déduire la forme algébrique de $a^{2025}$. (0,75 pt)
   4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3=-8$ ; on donnera les solutions sous forme exponentielle puis sous forme algébrique. (1 pt)
   5. On considère les points $A$, $B$ et $D$ d'affixes respectives $a$, $b$ et $d=4$, et la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi }{3}$. (a) Déterminer l'affixe $a^{\prime }$ du point $A^{\prime }=R(A)$ sous forme algébrique. (0,5 pt) (b) En déduire la nature du triangle $OA{A}^{\prime }$. (0,5 pt)
   6. (a) Écrire le nombre complexe $\frac{d-a}{b-a}$ sous forme exponentielle. (0,75 pt) (b) En déduire la nature du triangle $ABD$. (0,5 pt)
   7. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ ($z\ne b$) tels que le nombre $\frac{z-a}{z-b}$ soit imaginaire pur. (0,5 pt)
   Voir la correction

   1. $\Delta =(-2{)}^2-4\times 4=4-16=-12=(2i\sqrt{3}{)}^2<0$. Les solutions sont $z=\frac{2\pm 2i\sqrt{3}}{2}$ : $S=\{1+i\sqrt{3},1-i\sqrt{3}\}$.
   2. $|a|=\sqrt{1+3}=2$ et $a=2(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=2(\cos (\frac{\pi }{3})+i\sin (\frac{\pi }{3}))$, donc $a=2e^{i\frac{\pi }{3}}$. Par conjugaison, $b=\overline{a}=2e^{-i\frac{\pi }{3}}$.
   3. $a^3=2^3{e}^{i\pi }=8\times (-1)=-8$. $2025=3\times 675$, donc $a^{2025}=(a^3{)}^{675}=(-8{)}^{675}=-8^{675}$ (car $675$ est impair), soit $a^{2025}=-2^{2025}$ : c'est un réel strictement négatif.
   4. On écrit $-8=8e^{i\pi }$ et $z=r{e}^{i\theta }$ ($r>0$). Alors $z^3=r^3{e}^{3i\theta }$ et $z^3=-8$ équivaut à $r^3=8$ et $3\theta =\pi +2k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$), soit $r=2$ et $\theta =\frac{\pi }{3}+\frac{2k\pi }{3}$. On obtient trois solutions (pour $k=0,1,2$) : $z_0=2e^{i\frac{\pi }{3}}=1+i\sqrt{3}=a$, $z_1=2e^{i\pi }=-2$, $z_2=2e^{i\frac{5\pi }{3}}=2e^{-i\frac{\pi }{3}}=1-i\sqrt{3}=b$. $S=\{1+i\sqrt{3},-2,1-i\sqrt{3}\}$.
   5. (a) L'écriture complexe de $R$ est $z^{\prime }=e^{i\frac{\pi }{3}}z$. Donc $a^{\prime }=e^{i\frac{\pi }{3}}\times 2e^{i\frac{\pi }{3}}=2e^{i\frac{2\pi }{3}}=2(\cos (\frac{2\pi }{3})+i\sin (\frac{2\pi }{3}))=2(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=-1+i\sqrt{3}$. (b) La rotation conserve les distances : $O{A}^{\prime }=OA=2$, donc le triangle $OA{A}^{\prime }$ est isocèle en $O$ ; de plus $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{O{A}^{\prime }})\equiv \frac{\pi }{3}[2\pi ]$. Un triangle isocèle dont l'angle au sommet vaut $\frac{\pi }{3}$ est équilatéral : $OA{A}^{\prime }$ est équilatéral. (Vérification : $A{A}^{\prime }=|a^{\prime }-a|=|-2|=2$.)
   6. (a) $d-a=3-i\sqrt{3}$ et $b-a=-2i\sqrt{3}$. Donc $\frac{d-a}{b-a}=\frac{3-i\sqrt{3}}{-2i\sqrt{3}}=\frac{(3-i\sqrt{3})i}{-2i^2\sqrt{3}}=\frac{3i+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}+\frac{3i}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=e^{i\frac{\pi }{3}}$. (b) $|\frac{d-a}{b-a}|=\frac{AD}{AB}=1$, donc $AD=AB$, et $arg(\frac{d-a}{b-a})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\equiv \frac{\pi }{3}[2\pi ]$. Le triangle $ABD$ est isocèle en $A$ avec un angle au sommet de mesure $\frac{\pi }{3}$ : il est équilatéral (et direct).
   7. Pour $z\ne b$ et $z\ne a$ : $\frac{z-a}{z-b}$ est imaginaire pur (non nul) si et seulement si $arg(\frac{z-a}{z-b})\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$, c'est-à-dire $(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA})\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$ : le triangle $MAB$ est rectangle en $M$, donc $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$. Pour $z=a$ le quotient vaut $0$, qui est imaginaire pur, et $A$ est sur ce cercle. L'ensemble cherché est le cercle de diamètre $[AB]$ privé du point $B$ ; son centre est le point $I(1,0)$, milieu de $[AB]$, et son rayon vaut $\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.

3. Exercice 3Calcul intégral10 pts

   Chapitres : Calcul intégral · Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Fonctions primitives

   Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty [$ par $f(x)=\frac{1+\ln x}{x},$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 2 cm).

   Partie A : étude de la fonction.

   1. (a) Calculer ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat. (0,5 pt) (b) Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat. (0,75 pt)
   2. (a) Montrer que pour tout $x>0$ : $f^{\prime }(x)=-\frac{\ln x}{x^2}$. (0,75 pt) (b) Dresser le tableau de variations de $f$. (0,5 pt)
   3. Résoudre l'équation $f(x)=0$ et en déduire le signe de $f(x)$ sur $]0,+\infty [$. (0,5 pt)
   4. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $1$. (0,25 pt)
   5. Tracer $(T)$ et $(\mathcal{C})$. (0,5 pt)

   Partie B : calcul intégral.

   1. Montrer que la fonction $F:x\to \ln x+\frac{1}{2}(\ln x{)}^2$ est une primitive de $f$ sur $]0,+\infty [$. (0,5 pt)
   2. (a) Calculer $I={\int }_{\frac{1}{e}}^{1}f(x)\mathrm{d}x$. (0,75 pt) (b) En déduire, en cm${}^2$, l'aire du domaine délimité par $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=\frac{1}{e}$ et $x=1$. (0,5 pt)
   3. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $J={\int }_1^e\frac{\ln x}{x^2}\mathrm{d}x$. (1,25 pt)
   4. En déduire $K={\int }_1^e\frac{1+\ln x}{x^2}\mathrm{d}x$. (0,5 pt)
   5. (a) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $L={\int }_1^e(\frac{1+\ln x}{x}{)}^2\mathrm{d}x=5-\frac{10}{e}$. (1 pt) (b) En déduire le volume $V$ du solide engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses de la partie de $(\mathcal{C})$ comprise entre les points d'abscisses $1$ et $e$ (on donnera le résultat en unités de volume). (0,5 pt)
   6. Calculer la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur l'intervalle $[1,e]$. (0,5 pt)
   7. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $u_n={\int }_1^e\frac{(\ln x{)}^n}{x}\mathrm{d}x$. Calculer $u_n$ en fonction de $n$ et en déduire ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n$. (0,75 pt)
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   Partie A.

   1. (a) ${\lim }_{x\to 0^{+}}(1+\ln x)=-\infty$ et ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$, donc ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ : l'axe des ordonnées (droite $x=0$) est asymptote verticale à $(\mathcal{C})$. (b) $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x}$. Or ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x}=0$ et, par croissances comparées, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln x}{x}=0$. Donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ : l'axe des abscisses (droite $y=0$) est asymptote horizontale à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$.
   2. (a) $f$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ comme quotient de fonctions dérivables, et avec la formule $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, $u(x)=1+\ln x$, $v(x)=x$ : $f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\times x-(1+\ln x)\times 1}{x^2}=\frac{1-1-\ln x}{x^2}=-\frac{\ln x}{x^2}$. (b) $x^2>0$, donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de $-\ln x$ : $f^{\prime }(x)>0$ sur $]0,1[$, $f^{\prime }(1)=0$ et $f^{\prime }(x)<0$ sur $]1,+\infty [$. $f$ est strictement croissante sur $]0,1]$ et strictement décroissante sur $[1,+\infty [$ ; elle admet un maximum en $1$ égal à $f(1)=1$. Aux bornes, $f$ tend vers $-\infty$ en $0^{+}$ et vers $0$ en $+\infty$.
   3. $f(x)=0$ équivaut à $1+\ln x=0$ (car $x>0$), soit $\ln x=-1$, soit $x=e^{-1}=\frac{1}{e}$. Comme $x>0$, $f(x)$ a le signe de $1+\ln x$, et $\ln$ est strictement croissante : $f(x)<0$ sur $]0,\frac{1}{e}[$, $f(\frac{1}{e})=0$ et $f(x)>0$ sur $]\frac{1}{e},+\infty [$.
   4. $f(1)=1$ et $f^{\prime }(1)=0$ : $(T)$ est la tangente horizontale d'équation $y=1$.
   5. Tracé : asymptote verticale $x=0$, courbe croissante de $-\infty$ jusqu'au maximum $(1,1)$ où la tangente est horizontale, passage par $(\frac{1}{e},0)$, puis décroissance vers $0$ avec l'axe des abscisses comme asymptote en $+\infty$ (la courbe reste au-dessus de cet axe pour $x>\frac{1}{e}$).

   Partie B.

   1. $F$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ et $F^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\times 2\ln x\times \frac{1}{x}=\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x}=\frac{1+\ln x}{x}=f(x)$. Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $]0,+\infty [$.
   2. (a) $I=[F(x){]}_{\frac{1}{e}}^1=F(1)-F(\frac{1}{e})=(0+0)-(\ln (\frac{1}{e})+\frac{1}{2}(\ln (\frac{1}{e}){)}^2)=-(-1+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$. (b) Sur $[\frac{1}{e},1]$, $f(x)\ge 0$ (partie A, question 3), donc l'aire du domaine est $\mathcal{A}={\int }_{\frac{1}{e}}^{1}f(x)\mathrm{d}x=I=\frac{1}{2}$ unité d'aire. L'unité d'aire vaut $2\times 2=4$ cm${}^2$, donc $\mathcal{A}=\frac{1}{2}\times 4=2$ cm${}^2$.
   3. On pose $u(x)=\ln x$ et $v^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}$, d'où $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ et $v(x)=-\frac{1}{x}$ ; $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[1,e]$. Par intégration par parties : $J=[-\frac{\ln x}{x}{]}_1^e-{\int }_1^e\frac{1}{x}\times (-\frac{1}{x})\mathrm{d}x=(-\frac{\ln e}{e}+\frac{\ln 1}{1})+{\int }_1^e\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=-\frac{1}{e}+[-\frac{1}{x}{]}_1^e=-\frac{1}{e}+(-\frac{1}{e}+1)=1-\frac{2}{e}$.
   4. Par linéarité de l'intégrale : $K={\int }_1^e\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x+{\int }_1^e\frac{\ln x}{x^2}\mathrm{d}x=[-\frac{1}{x}{]}_1^e+J=(1-\frac{1}{e})+(1-\frac{2}{e})=2-\frac{3}{e}$.
   5. (a) $L={\int }_1^e\frac{(1+\ln x{)}^2}{x^2}\mathrm{d}x$. On pose $u(x)=(1+\ln x{)}^2$ et $v^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}$, d'où $u^{\prime }(x)=2(1+\ln x)\times \frac{1}{x}=\frac{2(1+\ln x)}{x}$ et $v(x)=-\frac{1}{x}$. Par intégration par parties : $L=[-\frac{(1+\ln x{)}^2}{x}{]}_1^e+{\int }_1^e\frac{2(1+\ln x)}{x}\times \frac{1}{x}\mathrm{d}x=(-\frac{(1+1{)}^2}{e}+\frac{(1+0{)}^2}{1})+2{\int }_1^e\frac{1+\ln x}{x^2}\mathrm{d}x=1-\frac{4}{e}+2K$. Avec $K=2-\frac{3}{e}$ : $L=1-\frac{4}{e}+4-\frac{6}{e}=5-\frac{10}{e}$. (b) Sur $[1,e]$, $f(x)>0$. Le volume du solide de révolution est $V=\pi {\int }_1^e(f(x){)}^2\mathrm{d}x=\pi L=\pi (5-\frac{10}{e})$ unités de volume (soit $V\approx 4,15$ u.v.).
   6. $\mu =\frac{1}{e-1}{\int }_1^{e}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{e-1}[F(x){]}_1^e=\frac{F(e)-F(1)}{e-1}=\frac{1+\frac{1}{2}-0}{e-1}=\frac{3}{2(e-1)}$ (soit $\mu \approx 0,87$).
   7. La fonction $x\to \frac{(\ln x{)}^n}{x}=\frac{1}{x}\times (\ln x{)}^n$ est de la forme $u^{\prime }{u}^n$ avec $u(x)=\ln x$ : une primitive est $x\to \frac{(\ln x{)}^{n+1}}{n+1}$. Donc $u_n=[\frac{(\ln x{)}^{n+1}}{n+1}{]}_1^e=\frac{1^{n+1}-0^{n+1}}{n+1}=\frac{1}{n+1}$. (On retrouve $u_0={\int }_1^e\frac{1}{x}\mathrm{d}x=1$ et $u_1=\frac{1}{2}$.) Comme ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n+1}=0$, on a ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=0$.