Arithmétique, structures algébriques, complexes et analyse

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Arithmétique3 pts

   Chapitres : Arithmétique dans ℤ · Arithmétique dans ℤ

   1. Déterminer, à l'aide de l'algorithme d'Euclide, $\mathrm{pgcd}(2025,1287)$.
   2. (a) Vérifier que le couple $(3,4)$ est une solution de l'équation $(E):7x-5y=1$ dans ${\mathbb{Z}}^2$. (b) Résoudre $(E)$ dans ${\mathbb{Z}}^2$.
   3. (a) Montrer que $7^4\equiv 1[10]$. (b) En déduire le chiffre des unités de $7^{2025}$.
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   1. $2025=1287\times 1+738$ ; $1287=738\times 1+549$ ; $738=549\times 1+189$ ; $549=189\times 2+171$ ; $189=171\times 1+18$ ; $171=18\times 9+9$ ; $18=9\times 2+0$. Donc $\mathrm{pgcd}(2025,1287)=9$.
   2. (a) $7\times 3-5\times 4=21-20=1$. (b) Si $(x,y)$ est solution, par différence avec $(3,4)$ : $7(x-3)=5(y-4)$. Donc $5$ divise $7(x-3)$ ; comme $5$ et $7$ sont premiers entre eux, $5$ divise $x-3$ (Gauss) : $x=3+5k$, puis $y=4+7k$ ($k\in \mathbb{Z}$). Réciproquement ces couples conviennent : $S=\{(3+5k,4+7k);k\in \mathbb{Z}\}$.
   3. (a) $7^2=49\equiv -1[10]$, donc $7^4\equiv 1[10]$. (b) $2025=4\times 506+1$, donc $7^{2025}=(7^4{)}^{506}\times 7\equiv 7[10]$ : le chiffre des unités est $7$.

2. Exercice 2Structures algébriques3 pts

   Chapitres : Structures algébriques · Structures algébriques

   On définit sur $\mathbb{R}$ la loi de composition interne $\ast$ par : $x\ast y=x+y-xy$.

   1. Montrer que pour tous réels $x,y$ : $x\ast y=1-(1-x)(1-y)$.
   2. En déduire que $\ast$ est commutative et associative.
   3. Montrer que $E=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ est stable par $\ast$.
   4. Montrer que $(E,\ast )$ est un groupe commutatif (on précisera l'élément neutre et le symétrique d'un élément $x$ de $E$).
   5. Soit $\phi :E\to {\mathbb{R}}^{\ast }$ définie par $\phi (x)=1-x$. Montrer que $\phi$ est un isomorphisme de $(E,\ast )$ vers $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$.
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   1. $1-(1-x)(1-y)=1-(1-x-y+xy)=x+y-xy=x\ast y$.
   2. Commutativité : $(1-x)(1-y)=(1-y)(1-x)$. Associativité : $(x\ast y)\ast z=1-(1-x\ast y)(1-z)=1-(1-x)(1-y)(1-z)$, et par symétrie $x\ast (y\ast z)$ vaut la même chose.
   3. Si $x\ne 1$ et $y\ne 1$, alors $(1-x)(1-y)\ne 0$, donc $x\ast y=1-(1-x)(1-y)\ne 1$ : $E$ est stable.
   4. Neutre : $x\ast 0=x$, donc $e=0\in E$. Symétrique de $x\in E$ : on cherche $x^{\prime }$ tel que $(1-x)(1-x^{\prime })=1$, soit $x^{\prime }=1-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{x-1}$, qui est bien différent de $1$. Avec l'associativité et la commutativité, $(E,\ast )$ est un groupe commutatif.
   5. $\phi$ est une bijection de $E$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ (réciproque $t\to 1-t$), et $\phi (x\ast y)=1-(x\ast y)=(1-x)(1-y)=\phi (x)\phi (y)$ : $\phi$ est un morphisme bijectif, donc un isomorphisme de $(E,\ast )$ sur $({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$.

3. Exercice 3Nombres complexes3 pts

   Chapitres : Nombres complexes (partie 1) · Nombres complexes (partie 1)

   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

   1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-(1+i)z+i=0$.
   2. Écrire $1+i$ sous forme trigonométrique et en déduire la forme algébrique de $(1+i{)}^{2024}$.
   3. Soient $A$ et $B$ les points d'affixes $1$ et $i$. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ ($z\ne i$) tels que $\frac{z-1}{z-i}$ soit imaginaire pur.
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   1. Somme des racines $1+i$ et produit $i$ : les solutions sont $1$ et $i$ (vérification : $1+i=1+i$ et $1\times i=i$). $S=\{1,i\}$.
   2. $1+i=\sqrt{2}{e}^{i\frac{\pi }{4}}$, donc $(1+i{)}^{2024}=2^{1012}{e}^{i506\pi }=2^{1012}$ (car $506$ est pair).
   3. $\frac{z-1}{z-i}$ est imaginaire pur non nul si et seulement si $arg(\frac{z-1}{z-i})\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$, c'est-à-dire $(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA})\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$ : $M$ décrit le cercle de diamètre $[AB]$ privé de $A$ et $B$. Le cas $z=1$ donne le quotient nul, qui est imaginaire pur : l'ensemble est le cercle de diamètre $[AB]$ privé du point $B$.

4. Exercice 4Problème d'analyse11 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Fonctions logarithmiques · Calcul intégral · Calcul intégral · Limites et continuité · Limites et continuité

   Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty [$ par $f(x)=x\ln x-x+1$, et $(\mathcal{C})$ sa courbe dans un repère orthonormé.

   Partie A.

   1. Calculer ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)$. Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en $0$ ; on note encore $f$ ce prolongement.
   2. Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ et interpréter graphiquement.
   3. Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ et ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)/x$ ; interpréter.
   4. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour $x>0$ et dresser le tableau de variations de $f$.
   5. En déduire que pour tout $x>0$ : $\ln x\ge 1-\frac{1}{x}$.

   Partie B.

   1. Montrer que $f$ réalise une bijection de $[1,+\infty [$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera. On note $g$ sa bijection réciproque.
   2. Calculer $g(0)$ et $g(1)$.
   3. Montrer que $g$ est dérivable en $1$ et calculer $g^{\prime }(1)$.

   Partie C.

   1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer ${\int }_1^{e}x\ln x\mathrm{d}x$.
   2. En déduire ${\int }_1^{e}f(x)\mathrm{d}x$ et interpréter graphiquement.
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   Partie A.

   1. ${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$, donc ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1$ : $f$ est prolongeable par continuité en $0$ en posant $f(0)=1$.
   2. $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x\ln x-x}{x}=\ln x-1\to -\infty$ quand $x\to 0^{+}$ : $f$ n'est pas dérivable en $0$ ; la courbe admet une demi-tangente verticale au point $(0,1)$.
   3. $f(x)=x(\ln x-1)+1\to +\infty$ et $f(x)/x=\ln x-1+\frac{1}{x}\to +\infty$ : $(\mathcal{C})$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
   4. $f^{\prime }(x)=\ln x+1-1=\ln x$ : $f$ est décroissante sur $]0,1]$ et croissante sur $[1,+\infty [$, avec un minimum $f(1)=0$.
   5. Pour tout $x>0$, $f(x)\ge f(1)=0$, soit $x\ln x\ge x-1$ ; en divisant par $x>0$ : $\ln x\ge 1-\frac{1}{x}$.

   Partie B.

   1. $f$ est continue et strictement croissante sur $[1,+\infty [$, donc réalise une bijection de $[1,+\infty [$ sur $J=[f(1),{\lim }_{+\infty }f[=[0,+\infty [$.
   2. $g(0)=1$ car $f(1)=0$. $f(x)=1\iff x(\ln x-1)=0\iff x=e$ (car $x\ge 1$), donc $g(1)=e$.
   3. $f$ est dérivable en $e=g(1)$ avec $f^{\prime }(e)=\ln e=1\ne 0$, donc $g$ est dérivable en $1$ et $g^{\prime }(1)={\frac{1}{f}}^{\prime }(e)=1$.

   Partie C.

   1. Posons $u=\ln x$, $v^{\prime }=x$ : $u^{\prime }=\frac{1}{x}$, $v=\frac{x^2}{2}$. ${\int }_1^{e}x\ln x\mathrm{d}x=[\frac{x^2}{2}\ln x{]}_1^e-{\int }_1^e\frac{x}{2}\mathrm{d}x=\frac{e^2}{2}-[\frac{x^2}{4}{]}_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\frac{e^2+1}{4}$.
   2. ${\int }_1^{e}f(x)\mathrm{d}x=\frac{e^2+1}{4}+[-\frac{x^2}{2}+x{]}_1^e=\frac{e^2+1}{4}-\frac{e^2}{2}+e-\frac{1}{2}=\frac{-e^2+4e-1}{4}\approx 0,62$. C'est l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites $x=1$, $x=e$, car $f\ge 0$.