Généralités sur les fonctions, géométrie dans l'espace et statistiques

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Statistiques6 pts

   Chapitre : Statistiques

   Le tableau suivant donne les notes (sur $20$) obtenues par les $20$ élèves d'une classe à un contrôle de mathématiques :

   Note $x_i$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$
   Effectif $n_i$	$2$	$6$	$4$	$4$	$4$

   1. Calculer la fréquence $f_i$ de chaque note (on donnera les résultats sous forme décimale). (1 pt)
   2. Déterminer le mode et la médiane de cette série. (1,5 pt)
   3. Calculer la moyenne $\overline{x}$ de la série. (1 pt)
   4. Calculer la variance $V$ puis l'écart-type $\sigma$ de la série. (1,5 pt)
   5. (a) Quel pourcentage des élèves ont obtenu une note supérieure ou égale à $12$ ? (0,5 pt) (b) Combien d'élèves ont une note appartenant à l'intervalle $[\overline{x}-\sigma ,\overline{x}+\sigma ]$ ? (0,5 pt)
   Voir la correction

   1. L'effectif total est $N=2+6+4+4+4=20$ et $f_i=\frac{n_i}{N}$ :

   Note $x_i$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$
   Effectif $n_i$	$2$	$6$	$4$	$4$	$4$
   Fréquence $f_i$	$0,1$	$0,3$	$0,2$	$0,2$	$0,2$

   (On vérifie que la somme des fréquences vaut $1$.)

   1. Mode : la note d'effectif maximal ($6$) est $10$, donc le mode est $10$. Médiane : les effectifs cumulés croissants sont $2$, $8$, $12$, $16$, $20$. Comme $N=20$ est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rang $10$ et $11$ dans la série rangée par ordre croissant. Les valeurs de rang $9$ à $12$ sont toutes égales à $12$, donc $\mathrm{Me}=\frac{12+12}{2}=12$.
   2. $\overline{x}=\frac{2\times 8+6\times 10+4\times 12+4\times 14+4\times 16}{20}=\frac{16+60+48+56+64}{20}=\frac{244}{20}=12,2$.
   3. Formule de König-Huygens : $V=\frac{1}{N}\sum n_i{x}_i^2-{\overline{x}}^2$. $\sum n_i{x}_i^2=2\times 64+6\times 100+4\times 144+4\times 196+4\times 256=128+600+576+784+1024=3112$. Donc $V=\frac{3112}{20}-(12,2{)}^2=155,6-148,84=6,76$ et $\sigma =\sqrt{6,76}=2,6$.
   4. (a) Les élèves ayant au moins $12$ sont au nombre de $4+4+4=12$, soit $\frac{12}{20}=0,6$ : $60$ % des élèves. (b) $[\overline{x}-\sigma ,\overline{x}+\sigma ]=[9,6;14,8]$. Les notes de cet intervalle sont $10$, $12$ et $14$, soit $6+4+4=14$ élèves (c'est-à-dire $70$ % de la classe).

2. Exercice 2Géométrie dans l'espace6 pts

   Chapitre : Géométrie dans l'espace

   Soit $ABCDEFGH$ un cube d'arête $6$ : $ABCD$ est la face inférieure, $EFGH$ la face supérieure, et $[AE]$, $[BF]$, $[CG]$, $[DH]$ sont les arêtes verticales.

   1. Montrer que la droite $(AE)$ est orthogonale au plan $(ABC)$. (1 pt)
   2. (a) En déduire que les droites $(AE)$ et $(BD)$ sont orthogonales. (0,5 pt) (b) Justifier que les droites $(BD)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires. (0,5 pt) (c) En déduire que la droite $(BD)$ est orthogonale au plan $(ACE)$, puis que les droites $(BD)$ et $(EC)$ sont orthogonales. (0,5 pt)
   3. (a) Montrer que les droites $(EG)$ et $(AC)$ sont parallèles. (0,5 pt) (b) Montrer que les plans $(EFG)$ et $(ABC)$ sont parallèles. (0,5 pt)
   4. On munit l'espace du repère orthonormé $(A;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ tel que $\overrightarrow{AB}=6\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{AD}=6\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{AE}=6\overrightarrow{k}$. Soit $I$ le milieu de $[EF]$. (a) Donner les coordonnées des points $G$ et $I$. (0,5 pt) (b) Calculer les distances $AG$ et $IG$. (1 pt)
   5. Donner une représentation paramétrique de la droite $(AG)$. Le point $M(4;4;4)$ appartient-il à la droite $(AG)$ ? (1 pt)
   Voir la correction

   1. Les faces $ABFE$ et $ADHE$ du cube sont des carrés, donc $(AE)$ est perpendiculaire à $(AB)$ et à $(AD)$. Les droites $(AB)$ et $(AD)$ sont deux droites sécantes (en $A$) du plan $(ABC)$. Une droite orthogonale à deux droites sécantes d'un plan est orthogonale à ce plan : $(AE)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
   2. (a) Les points $B$ et $D$ appartiennent au plan $(ABC)$ (c'est le plan de la face $ABCD$), donc $(BD)$ est une droite de ce plan. Une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toute droite de ce plan, donc $(AE)$ est orthogonale à $(BD)$. (b) $ABCD$ est un carré ; les diagonales d'un carré sont perpendiculaires, donc $(BD)$ est perpendiculaire à $(AC)$. (c) La droite $(BD)$ est orthogonale aux droites $(AE)$ et $(AC)$, qui sont sécantes en $A$ et contenues dans le plan $(ACE)$ : d'après le critère pratique, $(BD)$ est orthogonale au plan $(ACE)$. La droite $(EC)$ est contenue dans ce plan (car $E$ et $C$ y appartiennent), donc $(BD)$ est orthogonale à $(EC)$.
   3. (a) Les arêtes $[AE]$ et $[CG]$ sont parallèles et de même longueur, donc $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CG}$ et $AEGC$ est un parallélogramme (en fait un rectangle). Ses côtés opposés $[EG]$ et $[AC]$ sont donc parallèles : $(EG)$ est parallèle à $(AC)$. (b) Les faces $ABFE$ et $ADHE$ sont des carrés, donc $(EF)$ est parallèle à $(AB)$ et $(EH)$ est parallèle à $(AD)$. Ainsi $(EF)$ et $(EH)$ sont parallèles à des droites du plan $(ABC)$, donc parallèles à ce plan. Ce sont deux droites sécantes (en $E$) du plan $(EFG)$ : les plans $(EFG)$ et $(ABC)$ sont parallèles.
   4. (a) Dans ce repère, $B(6;0;0)$, $D(0;6;0)$, $E(0;0;6)$, d'où $G(6;6;6)$ et $F(6;0;6)$. Le milieu de $[EF]$ est $I(3;0;6)$. (b) $AG=\sqrt{6^2+6^2+6^2}=\sqrt{108}=\sqrt{36\times 3}=6\sqrt{3}$. $IG=\sqrt{(6-3{)}^2+(6-0{)}^2+(6-6{)}^2}=\sqrt{9+36+0}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.
   5. La droite $(AG)$ passe par $A(0;0;0)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{AG}(6;6;6)$, ou plus simplement $\overrightarrow{v}(1;1;1)$ (colinéaire à $\overrightarrow{AG}$). Une représentation paramétrique est : $\{\begin{array}{l}x=ty=tz=t\end{array},t\in \mathbb{R}.$ Pour $t=4$ on obtient le point $(4;4;4)$, donc $M\in (AG)$.

3. Exercice 3Fonctions numériques8 pts

   Chapitres : Les fonctions numériques — généralités · Transformations usuelles dans le plan

   Partie A. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2-4x+3$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

   1. Donner le domaine de définition $D_f$ de $f$, puis calculer $f(0)$, $f(1)$ et $f(3)$. (0,5 pt)
   2. Montrer que pour tout réel $x$ : $f(x)=(x-2{)}^2-1$. (0,5 pt)
   3. En déduire que $f$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$ ; préciser sa valeur et le réel en lequel il est atteint. (1 pt)
   4. (a) Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels. Montrer que $f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2-4)$. (0,5 pt) (b) En déduire que $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ,2]$ et strictement croissante sur $[2,+\infty [$, puis dresser le tableau de variations de $f$. (1 pt)
   5. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=(x-2{)}^2$ et $(P)$ la parabole d'équation $y=x^2$. Par quelle transformation la courbe $(C_g)$ se déduit-elle de $(P)$ ? Par quelle transformation $(C_f)$ se déduit-elle de $(C_g)$ ? (1 pt)

   Partie B. Soit $h$ la fonction définie par $h(x)=\frac{x}{x^2+1}$.

   1. Déterminer le domaine de définition $D_h$ de $h$, puis étudier la parité de $h$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(C_h)$ ? (1 pt)
   2. (a) Montrer que pour tout réel $x$ : $x^2+1\ge 2|x|$. (0,5 pt) (b) En déduire que pour tout réel $x$ : $|h(x)|\le \frac{1}{2}$. (1 pt)
   3. Calculer $h(1)$ et $h(-1)$. En déduire que $h$ admet sur $\mathbb{R}$ un maximum et un minimum, que l'on précisera. (1 pt)
   Voir la correction

   Partie A.

   1. $f$ est un polynôme, donc $D_f=\mathbb{R}$. $f(0)=3$, $f(1)=1-4+3=0$ et $f(3)=9-12+3=0$.
   2. $(x-2{)}^2-1=x^2-4x+4-1=x^2-4x+3=f(x)$.
   3. Pour tout réel $x$, $(x-2{)}^2\ge 0$, donc $f(x)=(x-2{)}^2-1\ge -1$. De plus $f(2)=0-1=-1$. Donc $f$ admet sur $\mathbb{R}$ le minimum $-1$, atteint en $x=2$.
   4. (a) $f(x_1)-f(x_2)=x_1^2-x_2^2-4(x_1-x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2)-4(x_1-x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2-4)$. (b) Soient $x_1<x_2$ dans $]-\infty ,2]$. Alors $x_1-x_2<0$ et, comme $x_1<2$ et $x_2\le 2$, $x_1+x_2<4$, donc $x_1+x_2-4<0$. Le produit de deux nombres strictement négatifs est strictement positif : $f(x_1)-f(x_2)>0$, soit $f(x_1)>f(x_2)$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ,2]$. Soient $x_1<x_2$ dans $[2,+\infty [$. Alors $x_1-x_2<0$ et $x_1+x_2>4$ (car $x_1\ge 2$ et $x_2>2$), donc $x_1+x_2-4>0$ ; le produit est strictement négatif : $f(x_1)<f(x_2)$. Donc $f$ est strictement croissante sur $[2,+\infty [$. Tableau de variations :

   $x$	$-\infty$	$2$	$+\infty$
   $f(x)$	↘	$-1$	↗

   1. En posant $k(x)=x^2$, on a $g(x)=k(x-2)$ : la courbe $(C_g)$ se déduit de la parabole $(P)$ par la translation de vecteur $2\overrightarrow{i}$. Ensuite $f(x)=g(x)-1$ : la courbe $(C_f)$ se déduit de $(C_g)$ par la translation de vecteur $-\overrightarrow{j}$.

   Partie B.

   1. Pour tout réel $x$, $x^2+1\ge 1>0$ : le dénominateur ne s'annule jamais, donc $D_h=\mathbb{R}$. L'ensemble $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ et, pour tout réel $x$ : $h(-x)=\frac{-x}{(-x{)}^2+1}=-\frac{x}{x^2+1}=-h(x)$. Donc $h$ est impaire, et sa courbe $(C_h)$ est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère.
   2. (a) Comme $|x{|}^2=x^2$, on a $x^2+1-2|x|=|x{|}^2-2|x|+1=(|x|-1{)}^2\ge 0$, donc $x^2+1\ge 2|x|$ pour tout réel $x$. (b) Comme $x^2+1>0$, $|h(x)|=|x|/(x^2+1)$. D'après (a), $|x|\le \frac{x^2+1}{2}$ ; en divisant par $x^2+1>0$ : $|x|/(x^2+1)\le \frac{1}{2}$, c'est-à-dire $|h(x)|\le \frac{1}{2}$.
   3. $h(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$ et $h(-1)=-\frac{1}{1+1}=-\frac{1}{2}$. La question précédente donne $-\frac{1}{2}\le h(x)\le \frac{1}{2}$ pour tout réel $x$, et ces deux bornes sont atteintes : $h$ admet sur $\mathbb{R}$ le maximum $\frac{1}{2}$, atteint en $x=1$, et le minimum $-\frac{1}{2}$, atteint en $x=-1$.