Arithmétique dans ℕ, ensembles de nombres et ordre dans ℝ

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Arithmétique dans ℕ6 pts

   Chapitre : Les entiers naturels et notions d'arithmétique

   1. Effectuer la division euclidienne de $1547$ par $23$ (on précisera le quotient et le reste). (1 pt)
   2. (a) Décomposer en produit de facteurs premiers les entiers $1386$ et $504$. (1,5 pt) (b) En déduire $\mathrm{pgcd}(1386,504)$ et $\mathrm{ppcm}(1386,504)$. (1,5 pt)
   3. Retrouver la valeur de $\mathrm{pgcd}(1386,504)$ en utilisant l'algorithme d'Euclide. (1 pt)
   4. Le nombre $143$ est-il premier ? Justifier. (1 pt)
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   1. On cherche le plus grand multiple de $23$ inférieur ou égal à $1547$ : $23\times 67=1541$ et $23\times 68=1564>1547$. Donc $1547=23\times 67+6$ avec $0\le 6<23$ : le quotient est $67$ et le reste est $6$.
   2. (a) $1386=2\times 693=2\times 3\times 231=2\times 3\times 3\times 77=2\times 3^2\times 7\times 11$. $504=2\times 252=2^2\times 126=2^3\times 63=2^3\times 3^2\times 7$. (b) Le PGCD s'obtient en prenant chaque facteur premier commun avec le plus petit exposant : $\mathrm{pgcd}(1386,504)=2\times 3^2\times 7=126$. Le PPCM s'obtient en prenant chaque facteur premier avec le plus grand exposant : $\mathrm{ppcm}(1386,504)=2^3\times 3^2\times 7\times 11=5544$. Vérification : $126\times 5544=698544=1386\times 504$.
   3. Algorithme d'Euclide (le PGCD de deux nombres est celui du diviseur et du reste) :

   • $1386=504\times 2+378$ ;
   • $504=378\times 1+126$ ;
   • $378=126\times 3+0$. Le dernier reste non nul est $126$, donc $\mathrm{pgcd}(1386,504)=126$, ce qui confirme le résultat de la question 2.

   1. $\sqrt{143}\approx 11,96$ : il suffit de tester les nombres premiers inférieurs ou égaux à $11$, c'est-à-dire $2,3,5,7,11$. Or $143=11\times 13$, donc $143$ admet un diviseur autre que $1$ et lui-même : $143$ n'est pas premier.

2. Exercice 2Ensembles de nombres6 pts

   Chapitre : Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ

   1. Pour chacun des nombres suivants, indiquer le plus petit ensemble parmi $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ auquel il appartient, en justifiant brièvement : $-8,\frac{3}{8},\sqrt{36},\frac{5}{6},\sqrt{5}.$ (1,5 pt)
   2. On pose $x=0,\overline{27}=0,272727\dots$ (a) Calculer $100x-x$. (0,5 pt) (b) En déduire que $x$ est un nombre rationnel et l'écrire sous la forme d'une fraction irréductible. (1 pt)
   3. Écrire sous la forme $a\sqrt{3}$ avec $a\in \mathbb{Z}$ le nombre $A=\sqrt{75}-2\sqrt{27}+\sqrt{48}$. (1 pt)
   4. Rationaliser le dénominateur et simplifier $B=\frac{4}{\sqrt{5}-1}$. (1 pt)
   5. On admet que $\sqrt{5}$ est irrationnel. Démontrer, par un raisonnement par l'absurde, que le nombre $B$ est irrationnel. (1 pt)
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   1. - $-8\in \mathbb{Z}$ et $-8\notin \mathbb{N}$ (entier négatif) : le plus petit ensemble est $\mathbb{Z}$.

   • $\frac{3}{8}=0,375=\frac{375}{10^3}$ : c'est un décimal non entier, le plus petit ensemble est $\mathbb{D}$.
   • $\sqrt{36}=6\in \mathbb{N}$ : le plus petit ensemble est $\mathbb{N}$.
   • $\frac{5}{6}$ est un rationnel ; sa forme irréductible a pour dénominateur $6=2\times 3$, qui contient le facteur $3$, donc $\frac{5}{6}\notin \mathbb{D}$ (son développement décimal $0,8333\dots$ est infini). Le plus petit ensemble est $\mathbb{Q}$.
   • $\sqrt{5}$ est irrationnel ($5$ n'est pas un carré parfait) : le plus petit ensemble est $\mathbb{R}$.

   1. (a) $100x=27,272727\dots$ et $x=0,272727\dots$ ont la même partie décimale, donc $100x-x=27$. (b) $100x-x=99x=27$, d'où $x=\frac{27}{99}$. Comme $27=3^3$ et $99=3^2\times 11$, on simplifie par $9$ : $x=\frac{3}{11}$. Le nombre $x$ est le quotient de deux entiers, c'est donc un rationnel, et $0,\overline{27}=\frac{3}{11}$ (fraction irréductible car $3$ et $11$ sont premiers entre eux).
   2. $\sqrt{75}=\sqrt{25\times 3}=5\sqrt{3}$, $\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=3\sqrt{3}$ et $\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}=4\sqrt{3}$. Donc $A=5\sqrt{3}-6\sqrt{3}+4\sqrt{3}=3\sqrt{3}$.
   3. On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $\sqrt{5}+1$ : $B=\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\sqrt{5}+1$.
   4. Raisonnons par l'absurde : supposons que $B=\sqrt{5}+1$ soit rationnel. Alors $\sqrt{5}=B-1$ serait la différence de deux nombres rationnels ($B$ et $1$), donc un nombre rationnel. Cela contredit l'irrationalité de $\sqrt{5}$ admise dans l'énoncé. Donc $B$ est irrationnel.

3. Exercice 3Ordre dans ℝ8 pts

   Chapitres : L'ordre dans ℝ · Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ

   Partie A. Comparaisons.

   1. Comparer, sans calculatrice, les nombres $3\sqrt{5}$ et $2\sqrt{11}$. (1 pt)
   2. Montrer que pour tous réels $a$ et $b$ : $(a+b{)}^2\le 2(a^2+b^2)$. (1 pt)

   Partie B. Encadrements. Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $1\le x\le 3$ et $-2\le y\le -1$.

   1. Encadrer $x+y$, $x-y$ et $xy$. (1,5 pt)
   2. Encadrer $x^2$ et $\frac{1}{x}$. (1 pt)
   3. En déduire un encadrement de $A=\frac{2x+3}{x}$. (1 pt)

   Partie C. Valeur approchée et valeur absolue.

   1. On donne $2,236\le \sqrt{5}\le 2,237$. Encadrer le nombre $B=3\sqrt{5}-1$ et préciser l'amplitude de cet encadrement. (1 pt)
   2. En déduire une valeur approchée de $B$ à $10^{-2}$ près. (0,5 pt)
   3. Soit $x$ un réel tel que $1\le x\le 3$. Montrer que $|x-2|\le 1$, puis que $|x^2-4|\le 5$. (1 pt)
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   Partie A.

   1. Les deux nombres sont strictement positifs, on compare donc leurs carrés (la fonction carré est croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$) : $(3\sqrt{5}{)}^2=9\times 5=45$ et $(2\sqrt{11}{)}^2=4\times 11=44$. Comme $45>44$, on conclut que $3\sqrt{5}>2\sqrt{11}$.
   2. $2(a^2+b^2)-(a+b{)}^2=2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2=a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2\ge 0$. Donc $(a+b{)}^2\le 2(a^2+b^2)$ pour tous réels $a$ et $b$ (avec égalité si et seulement si $a=b$).

   Partie B.

   1. Somme : on ajoute membre à membre $1\le x\le 3$ et $-2\le y\le -1$ : $-1\le x+y\le 2$. Différence : de $-2\le y\le -1$ on tire $1\le -y\le 2$, puis en ajoutant à $1\le x\le 3$ : $2\le x-y\le 5$. Produit : $x>0$ et $-y>0$, on peut multiplier membre à membre les encadrements de nombres positifs $1\le x\le 3$ et $1\le -y\le 2$ : $1\le -xy\le 6$, donc $-6\le xy\le -1$.
   2. La fonction carré est croissante sur $[0,+\infty [$ et $1\le x\le 3$, donc $1\le x^2\le 9$. La fonction inverse est décroissante sur $]0,+\infty [$, donc $\frac{1}{3}\le \frac{1}{x}\le 1$.
   3. $A=\frac{2x+3}{x}=2+\frac{3}{x}$. De $\frac{1}{3}\le \frac{1}{x}\le 1$ on tire $1\le \frac{3}{x}\le 3$, puis $3\le A\le 5$.

   Partie C.

   1. On multiplie par $3>0$ : $6,708\le 3\sqrt{5}\le 6,711$, puis on retranche $1$ : $5,708\le B\le 5,711$. L'amplitude de cet encadrement est $5,711-5,708=0,003$.
   2. Le nombre $5,71$ appartient à l'intervalle $[5,708;5,711]$, tout comme $B$, donc $|B-5,71|\le 0,003<10^{-2}$ : $5,71$ est une valeur approchée de $B$ à $10^{-2}$ près.
   3. De $1\le x\le 3$ on tire, en retranchant $2$ : $-1\le x-2\le 1$, c'est-à-dire $|x-2|\le 1$. Ensuite $|x^2-4|=|(x-2)(x+2)|=|x-2|\times |x+2|$. Or $x+2\ge 3>0$, donc $|x+2|=x+2\le 5$. Ainsi $|x^2-4|\le 1\times 5=5$.