Dénombrement, arithmétique dans ℤ et géométrie dans l'espace

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Dénombrement5 pts

   Chapitre : Dénombrement

   Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $4$ boules rouges, $3$ boules vertes et $3$ boules blanches.

   1. On tire simultanément $3$ boules de l'urne. (a) Déterminer le nombre de tirages possibles. (0,5 pt) (b) Déterminer le nombre de tirages contenant trois boules rouges. (0,5 pt) (c) Déterminer le nombre de tirages contenant exactement une boule rouge. (0,5 pt) (d) Déterminer le nombre de tirages contenant au moins une boule rouge. (0,5 pt) (e) Déterminer le nombre de tirages contenant trois boules de couleurs différentes. (0,5 pt)
   2. Déterminer le coefficient de $x^5$ dans le développement de $(2x-1{)}^8$. (1 pt)
   3. Soit $n$ un entier naturel non nul. (a) Montrer que pour tout entier $k$ tel que $1\le k\le n$ : $k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)$. (0,5 pt) (b) En déduire que ${\sum }_{k=0}^{n}k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=n{2}^{n-1}$. (1 pt)
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   1. Un tirage simultané de $3$ boules parmi $10$ est une combinaison de $3$ éléments parmi $10$ (l'ordre n'intervient pas, pas de répétition). (a) Nombre de tirages : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$. (b) Trois boules rouges parmi les $4$ rouges : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ tirages. (c) Exactement une rouge : on choisit $1$ rouge parmi $4$ et $2$ boules parmi les $6$ non rouges (principe multiplicatif) : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=4\times 15=60$ tirages. (d) Au moins une rouge : on passe par le contraire « aucune rouge », soit $3$ boules parmi les $6$ non rouges : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ tirages. Donc $120-20=100$ tirages contiennent au moins une boule rouge. (e) Trois couleurs différentes : une rouge, une verte et une blanche, soit $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=4\times 3\times 3=36$ tirages.
   2. Formule du binôme de Newton : $(2x-1{)}^8={\sum }_{k=0}^8(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{k})(2x{)}^{8-k}(-1{)}^k$. Le terme en $x^5$ correspond à $8-k=5$, soit $k=3$ : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)(2x{)}^5(-1{)}^3=-56\times 32x^5=-1792x^5.$ Le coefficient de $x^5$ est $-1792$.
   3. (a) Pour $1\le k\le n$ : $k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=k\cdot n!/(k!(n-k)!)=n!/((k-1)!(n-k)!)=n\cdot (n-1)!/((k-1)!((n-1)-(k-1))!)=n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right),$ car $k!=k\cdot (k-1)!$, $n!=n\cdot (n-1)!$ et $n-k=(n-1)-(k-1)$. (b) Le terme d'indice $k=0$ est nul, donc, en utilisant (a) puis le changement d'indice $j=k-1$ : ${\sum }_{k=0}^{n}k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)={\sum }_{k=1}^{n}n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)=n{\sum }_{j=0}^{n-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{j}\right)=n\cdot 2^{n-1},$ d'après la formule ${\sum }_{j=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j}\right)=2^m$ (binôme de Newton avec $a=b=1$) appliquée à $m=n-1$.

2. Exercice 2Arithmétique dans ℤ6 pts

   Chapitre : Arithmétique dans ℤ

   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, l'entier $3^{2n+1}+2^{n+2}$ est divisible par $7$. (1 pt)
   2. Déterminer le reste de la division euclidienne de $2^{2026}$ par $7$. (1 pt)
   3. (a) Calculer $\mathrm{PGCD}(1078,322)$ à l'aide de l'algorithme d'Euclide. (1 pt) (b) En déduire un couple $(u,v)$ d'entiers relatifs tel que $77u+23v=1$. (1 pt) (c) Résoudre dans ${\mathbb{Z}}^2$ l'équation $77x+23y=1$. (1 pt)
   4. Déterminer tous les entiers naturels $n$ tels que $n+3$ divise $2n+1$. (1 pt)
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   1. On raisonne modulo $7$. Comme $9=7+2$, on a $9\equiv 2[7]$, donc pour tout $n\in \mathbb{N}$, $9^n\equiv 2^n[7]$ (compatibilité des congruences avec les puissances). Ainsi $3^{2n+1}+2^{n+2}=3\times 9^n+4\times 2^n\equiv 3\times 2^n+4\times 2^n=7\times 2^n\equiv 0[7].$ Donc $7$ divise $3^{2n+1}+2^{n+2}$ pour tout entier naturel $n$. (Contrôle : $n=0$ donne $3+4=7$ ; $n=1$ donne $27+8=35=7\times 5$.)
   2. $2^3=8\equiv 1[7]$. Division euclidienne de $2026$ par $3$ : $2026=3\times 675+1$. Donc $2^{2026}=(2^3{)}^{675}\times 2\equiv 1^{675}\times 2=2[7].$ Comme $0\le 2<7$, le reste de la division euclidienne de $2^{2026}$ par $7$ est $2$.
   3. (a) Algorithme d'Euclide : $1078=3\times 322+112,322=2\times 112+98,112=1\times 98+14,98=7\times 14+0.$ Le dernier reste non nul est $14$ : $\mathrm{PGCD}(1078,322)=14$. (b) $1078=14\times 77$ et $322=14\times 23$, donc $\mathrm{PGCD}(77,23)=\frac{14}{14}=1$ : $77$ et $23$ sont premiers entre eux et l'identité de Bézout garantit l'existence de $(u,v)$. En divisant par $14$ les égalités de (a) on obtient l'algorithme d'Euclide pour $77$ et $23$ : $77=3\times 23+8,23=2\times 8+7,8=1\times 7+1.$ En remontant : $1=8-7=8-(23-2\times 8)=3\times 8-23=3(77-3\times 23)-23=3\times 77-10\times 23$. Le couple $(u,v)=(3,-10)$ convient : $77\times 3+23\times (-10)=231-230=1$. (c) Soit $(x,y)\in {\mathbb{Z}}^2$. Comme $77\times 3+23\times (-10)=1$ : $77x+23y=1\iff 77x+23y=77\times 3+23\times (-10)\iff 77(x-3)=-23(y+10).$ Si $(x,y)$ est solution, alors $23$ divise $77(x-3)$ ; comme $23$ est premier avec $77$, le théorème de Gauss donne $23|(x-3)$, soit $x=3+23k$ avec $k\in \mathbb{Z}$. En reportant : $77\times 23k=-23(y+10)$, d'où $y=-10-77k$. Réciproquement, pour tout $k\in \mathbb{Z}$ : $77(3+23k)+23(-10-77k)=231+1771k-230-1771k=1$. L'ensemble des solutions est $S=(3+23k,-10-77k)|k\in \mathbb{Z}$.
   4. Soit $n\in \mathbb{N}$. On a $2n+1=2(n+3)-5$. Si $(n+3)|(2n+1)$, comme $(n+3)|2(n+3)$, alors $n+3$ divise la différence $2(n+3)-(2n+1)=5$. Les diviseurs positifs de $5$ sont $1$ et $5$, et $n+3\ge 3$, donc $n+3=5$, soit $n=2$. Réciproquement, pour $n=2$ : $n+3=5$ et $2n+1=5$, et $5|5$. Conclusion : le seul entier naturel qui convient est $n=2$.

3. Exercice 3Géométrie dans l'espace9 pts

   Chapitres : Géométrie analytique de l'espace · Produit scalaire dans l'espace · Le produit vectoriel · Vecteurs de l'espace

   L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. On considère les points $A(1;2;0)$, $B(2;4;2)$, $C(3;0;1)$ et $D(3;3;4)$.

   1. (a) Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $A$. (1 pt) (b) Calculer $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}$ et en déduire l'aire du triangle $ABC$. (1,5 pt)
   2. Montrer que $2x+y-2z-4=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$. (1 pt)
   3. (a) Vérifier que le point $D$ n'appartient pas au plan $(ABC)$ et calculer la distance $d(D,(ABC))$. (1 pt) (b) En déduire le volume $V$ du tétraèdre $ABCD$. (0,5 pt)
   4. Soit $(S)$ l'ensemble des points $M(x;y;z)$ de l'espace tels que : $x^2+y^2+z^2-8x-6y+2z+1=0$. (a) Montrer que $(S)$ est une sphère dont on précisera le centre $\Omega$ et le rayon $R$. (1 pt) (b) Donner une représentation paramétrique de la droite $(\Delta )$ passant par $\Omega$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$, puis déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de $(\Delta )$ et de $(ABC)$. (1 pt) (c) Montrer que le plan $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle dont on précisera le centre et le rayon. (1 pt)
   5. Déterminer une équation cartésienne de chacun des plans parallèles au plan $(ABC)$ et tangents à la sphère $(S)$. (1 pt)
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   1. (a) $\overrightarrow{AB}(1;2;2)$ et $\overrightarrow{AC}(2;-2;1)$. Alors $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2-4+2=0$, donc $(AB)\perp (AC)$ : le triangle est rectangle en $A$. De plus $AB=\sqrt{1+4+4}=3$ et $AC=\sqrt{4+4+1}=3$. Le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $A$. (b) Par l'expression analytique du produit vectoriel : $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=(2\times 1-2\times (-2);2\times 2-1\times 1;1\times (-2)-2\times 2)=(6;3;-6).$ L'aire du triangle $ABC$ vaut $\frac{1}{2}\Vert \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\Vert =\frac{1}{2}\sqrt{36+9+36}=\frac{1}{2}\sqrt{81}=\frac{9}{2}$. (Contrôle : triangle rectangle en $A$, aire $=\frac{1}{2}AB\times AC=\frac{9}{2}$.)
   2. Le vecteur $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=(6;3;-6)=3(2;1;-2)$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$, qui ne sont pas colinéaires : $\overrightarrow{n}(2;1;-2)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$. Ce plan a donc une équation de la forme $2x+y-2z+d=0$ ; comme $A(1;2;0)$ lui appartient, $2+2+d=0$ et $d=-4$. Ainsi $(ABC):2x+y-2z-4=0$. (Vérification : $B$ donne $4+4-4-4=0$ et $C$ donne $6+0-2-4=0$.)
   3. (a) Pour $D(3;3;4)$ : $2\times 3+3-2\times 4-4=-3\ne 0$, donc $D\notin (ABC)$. Distance d'un point à un plan : $d(D,(ABC))=|2\times 3+3-2\times 4-4\frac{|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2{)}^2}}=|-3\frac{|}{3}=1.$ (b) La hauteur issue de $D$ dans le tétraèdre $ABCD$ est $d(D,(ABC))=1$ et la base $ABC$ a pour aire $\frac{9}{2}$. Donc $V=\frac{1}{3}\times \frac{9}{2}\times 1=\frac{3}{2}.$ (Contrôle par le produit mixte : $\overrightarrow{AD}(2;1;4)$ et $(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC})\cdot \overrightarrow{AD}=12+3-24=-9$, d'où $V=|-9\frac{|}{6}=\frac{3}{2}$.)
   4. (a) En écrivant les formes canoniques : $x^2-8x+y^2-6y+z^2+2z+1=0\iff (x-4{)}^2-16+(y-3{)}^2-9+(z+1{)}^2-1+1=0,$ soit $(x-4{)}^2+(y-3{)}^2+(z+1{)}^2=25$. Donc $(S)$ est la sphère de centre $\Omega (4;3;-1)$ et de rayon $R=5$. (b) $(\Delta )$ passe par $\Omega$ et a pour vecteur directeur le vecteur normal $\overrightarrow{n}(2;1;-2)$ de $(ABC)$ : $(\Delta ):\{\begin{array}{l}x=4+2ty=3+tz=-1-2t\end{array}(t\in \mathbb{R}).$ Le point de paramètre $t$ appartient à $(ABC)$ si et seulement si $2(4+2t)+(3+t)-2(-1-2t)-4=0$, soit $9t+9=0$, c'est-à-dire $t=-1$. D'où $H(2;2;1)$. (Vérification : $4+2-2-4=0$.) (c) $H$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(ABC)$ et $\Omega H=\sqrt{(2-4{)}^2+(2-3{)}^2+(1+1{)}^2}=\sqrt{4+1+4}=3$, ce qui est bien $d(\Omega ,(ABC))=|8+3+2-4\frac{|}{3}=3$. Comme $\Omega H=3<R=5$, le plan coupe la sphère. Précisément, pour tout point $M$ du plan $(ABC)$, $(\Omega H)\perp (HM)$, donc par le théorème de Pythagore $\Omega M^2=\Omega H^2+H{M}^2=9+H{M}^2$, et $M\in (S)\iff \Omega M^2=25\iff H{M}^2=16\iff HM=4.$ L'intersection de $(S)$ et de $(ABC)$ est donc le cercle du plan $(ABC)$ de centre $H(2;2;1)$ et de rayon $r=\sqrt{R^2-\Omega H^2}=\sqrt{25-9}=4$.
   5. Un plan $(P)$ parallèle à $(ABC)$ admet $\overrightarrow{n}(2;1;-2)$ pour vecteur normal, donc une équation de la forme $2x+y-2z+k=0$ avec $k\in \mathbb{R}$. Il est tangent à $(S)$ si et seulement si $d(\Omega ,(P))=R$, c'est-à-dire $|2\times 4+3-2\times (-1)+k\frac{|}{3}=5\iff |13+k|=15\iff k=2\mathrm{ou}k=-28.$ Il y a donc deux plans parallèles à $(ABC)$ et tangents à $(S)$ : $(P_1):2x+y-2z+2=0\mathrm{et}(P_2):2x+y-2z-28=0.$ (Les points de contact sont $\Omega \mp \frac{5}{3}\overrightarrow{n}$, soit $(\frac{2}{3};\frac{4}{3};\frac{7}{3})$ pour $(P_1)$ et $(\frac{22}{3};\frac{14}{3};-\frac{13}{3})$ pour $(P_2)$.)