Dérivation et étude de fonctions

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Dérivation6 pts

   Chapitre : La dérivation d'une fonction numérique

   1. Calculer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes. (a) $f(x)=x^3-4x^2+5x-2$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt) (b) $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$ sur $\mathbb{R}\setminus 3$. (1 pt) (c) $f(x)=\sqrt{x^2+3}$ sur $\mathbb{R}$. (1 pt) (d) $f(x)=(3x-2{)}^4$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt)
   2. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^2+x$. En utilisant la définition du nombre dérivé (limite du taux d'accroissement), montrer que $g$ est dérivable en $1$ et calculer $g^{\prime }(1)$. (1 pt)
   3. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x^2-3x+1$. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $h$ au point d'abscisse $2$. (1 pt)
   4. Le coût total de production de $x$ articles ($0\le x\le 100$) est donné, en dirhams, par $C(x)=2x^2+30x+500$. On appelle coût marginal la fonction dérivée $C^{\prime }$. Calculer $C^{\prime }(x)$, puis le coût marginal pour une production de $10$ articles. (1 pt)
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   1. (a) $f$ est un polynôme, dérivable sur $\mathbb{R}$ : $f^{\prime }(x)=3x^2-8x+5$. (b) $f=\frac{u}{v}$ avec $u(x)=2x+1$, $u^{\prime }(x)=2$, $v(x)=x-3$, $v^{\prime }(x)=1$. Pour tout $x\ne 3$ : $f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{2(x-3)-(2x+1)}{(x-3{)}^2}=\frac{2x-6-2x-1}{(x-3{)}^2}=-\frac{7}{(x-3{)}^2}$. (c) $f=\sqrt{u}$ avec $u(x)=x^2+3>0$ et $u^{\prime }(x)=2x$. Pour tout réel $x$ : $f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$. (d) $f=u^4$ avec $u(x)=3x-2$ et $u^{\prime }(x)=3$. Pour tout réel $x$ : $f^{\prime }(x)=4u^3{u}^{\prime }=4\times 3(3x-2{)}^3=12(3x-2{)}^3$.
   2. $g(1)=2$. Pour $x\ne 1$, le taux d'accroissement de $g$ entre $1$ et $x$ est $\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=\frac{x^2+x-2}{x-1}=\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2$. Or ${\lim }_{x\to 1}(x+2)=3$ : cette limite existe et est finie, donc $g$ est dérivable en $1$ et $g^{\prime }(1)=3$.
   3. $h(2)=4-6+1=-1$ et $h^{\prime }(x)=2x-3$, donc $h^{\prime }(2)=1$. La tangente au point d'abscisse $2$ a pour équation $y=h^{\prime }(2)(x-2)+h(2)=1\times (x-2)-1$, soit $y=x-3$.
   4. $C^{\prime }(x)=4x+30$. Pour $x=10$ : $C^{\prime }(10)=40+30=70$. Le coût marginal pour une production de $10$ articles est de $70$ DH (c'est, approximativement, le coût de fabrication du 11ᵉ article).

2. Exercice 2Optimisation d'un bénéfice6 pts

   Chapitres : La dérivation d'une fonction numérique · Équations, inéquations, programmation linéaire · Logarithme décimal

   Une entreprise fabrique et vend chaque jour $x$ articles, avec $0\le x\le 60$. Le bénéfice journalier, en dirhams, est donné par $B(x)=-2x^2+120x-1000$.

   1. Calculer $B^{\prime }(x)$ et étudier son signe sur $[0,60]$. (1,5 pt)
   2. Dresser le tableau de variations de $B$ sur $[0,60]$. (1 pt)
   3. En déduire le nombre d'articles à fabriquer chaque jour pour que le bénéfice soit maximal, et la valeur de ce bénéfice maximal. (1 pt)
   4. Résoudre dans $[0,60]$ l'inéquation $B(x)\ge 0$ et interpréter le résultat. (1,5 pt)
   5. Le prix de vente d'un article est de $40$ DH en 2026 et augmente de $3\%$ chaque année. Au bout de combien d'années ce prix dépassera-t-il $80$ DH ? On donne $\log 2\approx 0,301$ et $\log 1,03\approx 0,0128$. (1 pt)
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   1. $B$ est un polynôme, dérivable sur $[0,60]$, et $B^{\prime }(x)=-4x+120=4(30-x)$. $B^{\prime }(x)>0\iff 30-x>0\iff x<30$. Donc $B^{\prime }(x)>0$ sur $[0,30[$, $B^{\prime }(30)=0$ et $B^{\prime }(x)<0$ sur $]30,60]$.
   2. $B(0)=-1000$, $B(30)=-2\times 900+3600-1000=-1800+3600-1000=800$ et $B(60)=-2\times 3600+7200-1000=-1000$. Tableau de variations : d'après le signe de $B^{\prime }$, $B$ est strictement croissante sur $[0,30]$, de $B(0)=-1000$ jusqu'à $B(30)=800$, puis strictement décroissante sur $[30,60]$, de $800$ jusqu'à $B(60)=-1000$.
   3. $B^{\prime }$ s'annule en $30$ en changeant de signe (de $+$ à $-$) : $B$ admet un maximum en $x=30$. Le bénéfice est maximal pour $30$ articles par jour et vaut $B(30)=800$ DH.
   4. $B(x)\ge 0\iff -2x^2+120x-1000\ge 0\iff x^2-60x+500\le 0$ (on divise par $-2<0$, ce qui change le sens de l'inégalité). Le trinôme $x^2-60x+500$ a pour discriminant $\Delta =3600-2000=1600=40^2$, donc pour racines $x_1=\frac{60-40}{2}=10$ et $x_2=\frac{60+40}{2}=50$. Comme $a=1>0$, il est négatif ou nul entre ses racines : $S=[10,50]$ (inclus dans $[0,60]$). Interprétation : l'entreprise réalise un bénéfice (positif ou nul) si elle fabrique entre $10$ et $50$ articles par jour ; en dessous de $10$ ou au-dessus de $50$ articles, elle est en perte.
   5. Le prix après $n$ années est $p_n=40\times 1,03^n$ (suite géométrique de raison $1,03$). On cherche le plus petit entier $n$ tel que $40\times 1,03^n>80$, c'est-à-dire $1,03^n>2$. Comme $\log$ est strictement croissante et $\log 1,03>0$ : $1,03^n>2\iff n\log 1,03>\log 2\iff n>\frac{\log 2}{\log 1,03}\approx \frac{0,301}{0,0128}\approx 23,5$. Donc le prix dépassera $80$ DH au bout de $24$ années (en 2050).

3. Exercice 3Étude d'une fonction8 pts

   Chapitres : Étude et représentation d'une fonction · La dérivation d'une fonction numérique · Les limites d'une fonction numérique

   Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ et $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 1 cm).

   1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$. (0,5 pt)
   2. (a) Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$. (0,5 pt) (b) Calculer ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)$ et ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$, puis interpréter graphiquement les résultats. (1 pt)
   3. (a) Montrer que pour tout $x\in D_f$ : $f(x)=x+1+\frac{4}{x-1}$. (0,5 pt) (b) En déduire que la droite $(D)$ d'équation $y=x+1$ est asymptote oblique à $(C_f)$ en $+\infty$ et en $-\infty$. (1 pt)
   4. Étudier la position relative de $(C_f)$ et de $(D)$. (0,5 pt)
   5. (a) Montrer que pour tout $x\in D_f$ : $f^{\prime }(x)=\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1{)}^2}$. (1 pt) (b) Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$. (1,5 pt)
   6. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ au point d'abscisse $2$. (0,5 pt)
   7. Tracer la droite $(D)$, l'asymptote verticale et la courbe $(C_f)$. (1 pt)
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   1. $f(x)$ existe si et seulement si $x-1\ne 0$. Donc $D_f=\mathbb{R}\setminus 1=]-\infty ,1[\cup ]1,+\infty [$.
   2. (a) Pour $x\ne 0$ et $x\ne 1$ : $f(x)=\frac{x^2(1+\frac{3}{x^2})}{x(1-\frac{1}{x})}=x\times \frac{1+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}$. Comme ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}=1$ : ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$. (b) ${\lim }_{x\to 1}(x^2+3)=4>0$. Quand $x\to 1^{-}$, $x-1\to 0^{-}$, donc ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$ ; quand $x\to 1^{+}$, $x-1\to 0^{+}$, donc ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$. Interprétation : la droite d'équation $x=1$ est asymptote verticale à $(C_f)$.
   3. (a) Pour tout $x\ne 1$ : $x+1+\frac{4}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)+4}{x-1}=\frac{x^2-1+4}{x-1}=\frac{x^2+3}{x-1}=f(x)$. (b) Pour tout $x\ne 1$, $f(x)-(x+1)=\frac{4}{x-1}$ et ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{4}{x-1}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{4}{x-1}=0$. Donc ${\lim }_{x\to \pm \infty }[f(x)-(x+1)]=0$ : la droite $(D):y=x+1$ est asymptote oblique à $(C_f)$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
   4. Le signe de $f(x)-(x+1)=\frac{4}{x-1}$ est celui de $x-1$. Sur $]1,+\infty [$, $f(x)-(x+1)>0$ : $(C_f)$ est au-dessus de $(D)$. Sur $]-\infty ,1[$, $f(x)-(x+1)<0$ : $(C_f)$ est en dessous de $(D)$. La courbe ne coupe jamais son asymptote.
   5. (a) D'après la question 3 (a), $f(x)=x+1+\frac{4}{x-1}$, et $(\frac{1}{x-1}{)}^{\prime }=-\frac{1}{(x-1{)}^2}$. Donc pour tout $x\ne 1$ : $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1-2)(x-1+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$. (b) Le dénominateur $(x-1{)}^2$ est strictement positif sur $D_f$, donc $f^{\prime }(x)$ a le signe du trinôme $(x+1)(x-3)$, de racines $-1$ et $3$ : positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles.

   • Sur $]-\infty ,-1[$ : $f^{\prime }(x)>0$, $f$ est strictement croissante.
   • Sur $]-1,1[$ et sur $]1,3[$ : $f^{\prime }(x)<0$, $f$ est strictement décroissante.
   • Sur $]3,+\infty [$ : $f^{\prime }(x)>0$, $f$ est strictement croissante. Valeurs : $f(-1)=\frac{1+3}{-2}=-2$ et $f(3)=\frac{9+3}{2}=6$. Tableau de variations : $f$ croît de $-\infty$ (en $-\infty$) jusqu'à $f(-1)=-2$ (maximum local), décroît de $-2$ jusqu'à $-\infty$ (en $1^{-}$) ; puis, à droite de $1$, décroît de $+\infty$ (en $1^{+}$) jusqu'à $f(3)=6$ (minimum local), et croît de $6$ jusqu'à $+\infty$ (en $+\infty$).

   1. $f(2)=\frac{4+3}{1}=7$ et $f^{\prime }(2)=\frac{(2+1)(2-3)}{(2-1{)}^2}=-3$. Donc $(T):y=-3(x-2)+7$, soit $y=-3x+13$.
   2. Tracé : on trace l'asymptote verticale $x=1$ et la droite $(D):y=x+1$ (elle passe par $(0;1)$ et $(-1;0)$). On place les points de $(C_f)$ : $(-3;-3)$, $(-1;-2)$ (tangente horizontale, maximum local), $(0;-3)$, $(2;7)$, $(3;6)$ (tangente horizontale, minimum local), $(5;7)$. La branche de gauche est en dessous de $(D)$ et s'en rapproche en $-\infty$, monte jusqu'au point $(-1;-2)$ puis descend vers $-\infty$ le long de l'asymptote $x=1$. La branche de droite descend de $+\infty$ (le long de $x=1$) jusqu'au point $(3;6)$, puis remonte en restant au-dessus de $(D)$ et en s'en rapprochant en $+\infty$.