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1ère Bac Sciences Économiques et Gestion
MATHEMATICS · 1ère Bac Sciences Économiques et Gestion · 1ère Bac

Logarithme décimal

Définition (log x = y ⇔ 10^y = x), règles de calcul, fonction log et sa croissance, équations et inéquations, inconnue en exposant, nombre de chiffres, pH et échelle de Richter, intérêts composés. 3 séries d'exercices corrigés.

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

  1. Définition

  2. Propriétés algébriques

  3. La fonction logarithme décimal

  4. Équations et inéquations

    La croissance stricte permet de « passer au log » dans une égalité ou une inégalité , et d'en « sortir » de la même façon.

    • Équations où l'inconnue est un exposant

      C'est l'usage le plus fréquent en économie : on cherche une quantité qui évolue par multiplications successives dépasse un seuil.

  5. Applications aux ordres de grandeur

    • Échelles logarithmiques

      Quand une grandeur varie sur plusieurs ordres de grandeur, on la mesure par son logarithme. - d'une solution : pH = -log [H^+], où [H^+] est la concentration en ions hydrogène (mol/L). Une solution de pH 3 est dix fois plus acide qu'une solution de pH 4. - : la magnitude M d'un séisme vérifie E = E0 × 10^(1,5 M) pour l'énergie libérée. Un point de magnitude en plus multiplie l'énergie par 10^(1,5) ≈ 31,6. - : un niveau sonore L = 10 log(I/I0) ; un bruit deux fois plus intense gagne 10 log 2 ≈ 3 dB.

  6. Logarithme et suites géométriques

    Si (un) est géométrique de raison q > 0 et de premier terme u0 > 0, alors log un = log u0 + n log q : la suite (log un) est de raison log q. C'est pourquoi, sur un graphique en échelle logarithmique, une croissance exponentielle (intérêts composés, population, inflation) apparaît comme une droite — et pourquoi le log est l'outil naturel pour trouver le rang n à partir duquel un dépasse un seuil donné.

  7. Ce qu'il faut retenir

    log x = y ≤⇒ 10^y = x ; log 1 = 0, log 10 = 1, log 10^n = n. log(a b) = log a + log b, log(a/b) = log a - log b, log a^n = n log a. log est strictement croissante sur ]0, +∞[ : on peut « passer au log » dans une équation ou une inéquation entre nombres positifs. Toujours écrire l'ensemble de définition avant de résoudre. Nombre de chiffres de N = partie entière de log N, plus 1. Pour une inconnue en exposant (q^n ≥ A), prendre le log des deux membres.

Exercices type contrôle corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de contrôle, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

  1. Calculs et comparaison

    On pose a = log 2 et b = log 3.

    1. Exprimer en fonction de a et b : log 72, log 0,6, log 2,5 et log(4/9).
    2. Comparer 5¹2 et 10⁸ sans les calculer.
    Voir la correction
    1. log 72 = log(8 × 9) = 3a + 2b ; log 0,6 = log(6/10) = a + b - 1 ; log 2,5 = log(10/4) = 1 - 2a ; log(4/9) = 2a - 2b.
    2. log 5¹2 = 12 log 5 = 12(1 - a) ≈ 12 × 0,699 = 8,39 > 8 = log 10⁸. Comme log est croissante, 5¹2 > 10⁸.

  2. Équation et inéquation

    1. Résoudre l'équation log(x + 2) + log(x - 1) = log 4.
    2. Résoudre l'inéquation log(2x + 1) ≤ 1 + log(x - 1).
    Voir la correction
    1. Domaine : x + 2 > 0 et x - 1 > 0, soit x > 1. log((x + 2)(x - 1)) = log 4 donne x² + x - 2 = 4, soit x² + x - 6 = 0, de racines x = 2 et x = -3. Seule x = 2 est dans le domaine : S = {2}.
    2. Domaine : x > 1 (alors 2x + 1 > 0 aussi). Comme 1 = log 10, l'inéquation s'écrit log(2x + 1) ≤ log(10(x - 1)), soit 2x + 1 ≤ 10x - 10, c'est-à-dire x ≥ 11/8. Avec le domaine : S = [11/8, +∞[.

  3. Équation du second degré en log x

    Résoudre dans ]0, +∞[ l'équation 2(log x)² + log x - 1 = 0.

    Voir la correction

    On pose X = log x : 2X² + X - 1 = 0, Δ = 1 + 8 = 9, donc X = (-1 + 3)/4 = 1/2 ou X = (-1 - 3)/4 = -1. log x = 1/2 donne x = 10^(1/2) = √10 ; log x = -1 donne x = 1/10. S = {1/10, √10}.

  4. Ordres de grandeur

    1. Déterminer le nombre de chiffres de 9⁴0.
    2. Comparer 2³00 et 3²00.
    Voir la correction
    1. log 9⁴0 = 40 log 9 = 80 log 3 ≈ 38,2, donc 10³8 ≤ 9⁴0 < 10³9 : 9⁴0 a 39 chiffres.
    2. log 2³00 = 300 log 2 ≈ 90,3 et log 3²00 = 200 log 3 ≈ 95,4. Donc 3²00 > 2³00.

  5. Placement à intérêts composés

    Un capital de 15 000 DH est placé à intérêts composés au taux annuel de 3,5 %. On donne log 1,035 ≈ 0,0149.

    1. Exprimer le capital C_n acquis après n années.
    2. Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 25 000 DH ?
    Voir la correction
    1. C_n = 15 000 × 1,035^n.
    2. C_n ≥ 25 000 ≤⇒ 1,035^n ≥ 5/3 ≤⇒ n log 1,035 ≥ log 5 - log 3. Or log 5 - log 3 = 1 - log 2 - log 3 ≈ 0,222, donc n ≥ 0,222/(0,0149) ≈ 14,9. Le capital dépasse 25 000 DH au bout de 15 ans.

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