Géométrie dans l'espace, probabilités et problème d'analyse

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Géométrie dans l'espace5 pts

   Chapitre : Géométrie dans l'espace

   L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. On considère les points $A(1,1,0)$, $B(3,0,0)$ et $C(1,-1,2)$.

   1. (a) Calculer $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}$ et en déduire que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. (0,5 pt) (b) Montrer que $x+2y+2z-3=0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$. (0,75 pt) (c) Calculer l'aire du triangle $ABC$. (0,5 pt)
   2. Soit $(S)$ l'ensemble des points $M(x,y,z)$ tels que $x^2+y^2+z^2-4x-4y-6z-8=0$. Montrer que $(S)$ est une sphère dont on précisera le centre $\Omega$ et le rayon $R$. (0,75 pt)
   3. (a) Calculer la distance du point $\Omega$ au plan $(ABC)$ et en déduire que le plan $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(\Gamma )$ dont on déterminera le rayon $r$. (0,75 pt) (b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\Delta )$ passant par $\Omega$ et orthogonale au plan $(ABC)$. (0,5 pt) (c) En déduire les coordonnées du centre $H$ du cercle $(\Gamma )$. (0,5 pt)
   4. Déterminer une équation cartésienne de chacun des plans parallèles au plan $(ABC)$ et tangents à la sphère $(S)$. (0,75 pt)
   Voir la correction

   1. (a) $\overrightarrow{AB}(2,-1,0)$ et $\overrightarrow{AC}(0,-2,2)$. Donc $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=((-1)\times 2-0\times (-2),0\times 0-2\times 2,2\times (-2)-(-1)\times 0)=(-2,-4,-4)$. Ce vecteur n'est pas nul, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires : les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. (b) Le vecteur $\overrightarrow{n}=-\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC})=(1,2,2)$ est normal au plan $(ABC)$. Une équation de ce plan est donc $x+2y+2z+d=0$. Comme $A\in (ABC)$ : $1+2+0+d=0$, soit $d=-3$. Ainsi $(ABC):x+2y+2z-3=0$. (Vérification : $B$ : $3+0+0-3=0$ ; $C$ : $1-2+4-3=0$.) (c) L'aire du triangle $ABC$ est $\frac{1}{2}\Vert \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\Vert =\frac{1}{2}\sqrt{4+16+16}=\frac{1}{2}\sqrt{36}=3$ (unités d'aire).
   2. En regroupant les termes : $x^2-4x+y^2-4y+z^2-6z-8=0$, soit $(x-2{)}^2-4+(y-2{)}^2-4+(z-3{)}^2-9-8=0$, c'est-à-dire $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$. $(S)$ est la sphère de centre $\Omega (2,2,3)$ et de rayon $R=5$.
   3. (a) $d(\Omega ,(ABC))=|2+2\times 2+2\times 3-3|/\sqrt{1+4+4}=|9|/3=3$. Comme $d(\Omega ,(ABC))=3<5=R$, le plan $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(\Gamma )$ de rayon $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-9}=4$. (b) $(\Delta )$ passe par $\Omega (2,2,3)$ et a pour vecteur directeur le vecteur normal $\overrightarrow{n}(1,2,2)$ du plan : $(\Delta ):\{\begin{array}{l}x=2+ty=2+2tz=3+2t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$. (c) Le centre $H$ de $(\Gamma )$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur le plan $(ABC)$, c'est-à-dire le point d'intersection de $(\Delta )$ et du plan. On remplace dans l'équation du plan : $(2+t)+2(2+2t)+2(3+2t)-3=9+9t=0$, donc $t=-1$ et $H(1,0,1)$. (Vérification : $\Omega H=\sqrt{1+4+4}=3=d(\Omega ,(ABC))$.)
   4. Un plan parallèle à $(ABC)$ a une équation de la forme $x+2y+2z+d=0$. Il est tangent à $(S)$ si et seulement si $d(\Omega ,P)=R$, soit $|2+4+6+d|/3=5$, c'est-à-dire $|12+d|=15$, donc $d=3$ ou $d=-27$. Les deux plans cherchés ont pour équations $x+2y+2z+3=0$ et $x+2y+2z-27=0$.

2. Exercice 2Calcul des probabilités5 pts

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   Une urne contient neuf boules indiscernables au toucher : quatre boules rouges, trois boules vertes et deux boules noires.

   Partie A. On tire simultanément et au hasard trois boules de l'urne.

   1. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : $A$ : « les trois boules tirées sont de la même couleur » ; (0,75 pt) $B$ : « exactement une des boules tirées est rouge » ; (0,75 pt) $C$ : « au moins une des boules tirées est noire ». (0,75 pt)
   2. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées. (a) Déterminer la loi de probabilité de $X$. (1,25 pt) (b) Calculer l'espérance mathématique $E(X)$. (0,5 pt)

   Partie B. On tire maintenant successivement et sans remise deux boules de l'urne. On note $R_1$ l'événement « la première boule tirée est rouge » et $R_2$ l'événement « la deuxième boule tirée est rouge ».

   1. Calculer $P(R_2|R_1)$ puis $P(R_1\cap R_2)$. (0,5 pt)
   2. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer $P(R_2)$. (0,5 pt)
   Voir la correction

   Partie A. Les tirages sont simultanés : l'univers est l'ensemble des combinaisons de $3$ boules parmi $9$, et $\mathrm{card}(\Omega )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)=84$ ; il y a équiprobabilité.

   1. $A$ : les trois boules sont rouges ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ façons) ou vertes ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)=1$ façon) ; il n'y a que deux noires. Donc $P(A)=\frac{4+1}{84}=\frac{5}{84}$. $B$ : une rouge parmi $4$ et deux boules parmi les $5$ non rouges : $P(B)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}{84}=\frac{4\times 10}{84}=\frac{40}{84}=\frac{10}{21}$. $C$ : l'événement contraire $\overline{C}$ est « aucune boule noire », soit trois boules parmi les $7$ non noires : $P(\overline{C})=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)}{84}=\frac{35}{84}$, donc $P(C)=1-\frac{35}{84}=\frac{49}{84}=\frac{7}{12}$.
   2. (a) $X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$, $3$. Pour $k$ rouges, on choisit $k$ boules parmi les $4$ rouges et $3-k$ parmi les $5$ autres : $P(X=0)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)}{84}=\frac{10}{84}=\frac{5}{42}$, $P(X=1)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}{84}=\frac{40}{84}=\frac{10}{21}$, $P(X=2)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)}{84}=\frac{30}{84}=\frac{5}{14}$, $P(X=3)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)}{84}=\frac{4}{84}=\frac{1}{21}$. (Contrôle : $10+40+30+4=84$.) (b) $E(X)=0\times \frac{10}{84}+1\times \frac{40}{84}+2\times \frac{30}{84}+3\times \frac{4}{84}=\frac{40+60+12}{84}=\frac{112}{84}=\frac{4}{3}$.

   Partie B.

   1. Si $R_1$ est réalisé, il reste $8$ boules dont $3$ rouges : $P(R_2|R_1)=\frac{3}{8}$. Alors $P(R_1\cap R_2)=P(R_1)\times P(R_2|R_1)=\frac{4}{9}\times \frac{3}{8}=\frac{12}{72}=\frac{1}{6}$.
   2. Les événements $R_1$ et $\overline{R_1}$ forment une partition de l'univers, et si $\overline{R_1}$ est réalisé il reste $8$ boules dont $4$ rouges : $P(R_2|\overline{R_1})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. Formule des probabilités totales : $P(R_2)=P(R_1)P(R_2|R_1)+P(\overline{R_1})P(R_2|\overline{R_1})=\frac{4}{9}\times \frac{3}{8}+\frac{5}{9}\times \frac{1}{2}=\frac{12}{72}+\frac{20}{72}=\frac{32}{72}=\frac{4}{9}$. (On remarque que $P(R_2)=P(R_1)$.)

3. Exercice 3Problème d'analyse10 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral · Équations différentielles · Suites numériques

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1)e^{-x}+1,$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 2 cm).

   Partie A : étude de la fonction.

   1. (a) Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat. (0,5 pt) (b) Calculer ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$. (0,5 pt) (c) Calculer ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)/x$ et interpréter graphiquement le résultat. (0,5 pt)
   2. (a) Montrer que pour tout réel $x$ : $f^{\prime }(x)=(2-x)e^{-x}$. (0,5 pt) (b) Dresser le tableau de variations de $f$. (0,5 pt)
   3. Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et de la droite $(D)$ d'équation $y=1$. (0,5 pt)
   4. Montrer que la courbe $(\mathcal{C})$ passe par l'origine $O$ et déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ en $O$. (0,5 pt)
   5. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$ et montrer que $(\mathcal{C})$ admet un point d'inflexion $I$ dont on précisera les coordonnées. (0,5 pt)
   6. Tracer $(D)$, $(T)$ et $(\mathcal{C})$. (0,25 pt)

   Partie B : équation différentielle et calcul intégral.

   1. Montrer que $f$ est une solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $(E):y^{\prime }+y=1+e^{-x}$. (0,5 pt)
   2. (a) Montrer qu'une fonction $h$ dérivable sur $\mathbb{R}$ est solution de $(E)$ si et seulement si la fonction $h-f$ est solution de l'équation différentielle $(E_0):y^{\prime }+y=0$. (0,5 pt) (b) En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$. (0,5 pt)
   3. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que ${\int }_0^1(1-x)e^{-x}\mathrm{d}x=\frac{1}{e}$. (0,75 pt)
   4. En déduire, en cm${}^2$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par $(\mathcal{C})$, la droite $(D)$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. (0,5 pt)
   5. Calculer ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$. (0,5 pt)

   Partie C : suite récurrente. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\frac{1}{2}$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

   1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $0\le u_n\le 1$. (0,75 pt)
   2. (a) Vérifier que pour tout réel $x$ : $f(x)-x=(x-1)(e^{-x}-1)$. (0,25 pt) (b) En déduire que la suite $(u_n)$ est croissante. (0,5 pt)
   3. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. (1 pt)
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   Partie A.

   1. (a) $f(x)=x{e}^{-x}-e^{-x}+1$. Par croissances comparées, ${\lim }_{x\to +\infty }x{e}^{-x}=0$, et ${\lim }_{x\to +\infty }{e}^{-x}=0$. Donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$ : la droite $(D):y=1$ est asymptote horizontale à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$. (b) Quand $x\to -\infty$ : $x-1\to -\infty$ et $e^{-x}\to +\infty$, donc $(x-1)e^{-x}\to -\infty$ et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$. (c) Pour $x\ne 0$ : $f(x)/x=(1-\frac{1}{x})e^{-x}+\frac{1}{x}$. Quand $x\to -\infty$, $1-\frac{1}{x}\to 1$, $e^{-x}\to +\infty$ et $\frac{1}{x}\to 0$, donc ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)/x=+\infty$. La courbe $(\mathcal{C})$ admet en $-\infty$ une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
   2. (a) $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, avec $((x-1)e^{-x}{)}^{\prime }=1\times e^{-x}+(x-1)(-e^{-x})$ : $f^{\prime }(x)=e^{-x}-(x-1)e^{-x}=(1-x+1)e^{-x}=(2-x)e^{-x}$. (b) Comme $e^{-x}>0$, $f^{\prime }(x)$ a le signe de $2-x$ : $f^{\prime }(x)>0$ sur $]-\infty ,2[$, $f^{\prime }(2)=0$ et $f^{\prime }(x)<0$ sur $]2,+\infty [$. Donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ,2]$ et strictement décroissante sur $[2,+\infty [$, avec un maximum $f(2)=e^{-2}+1=1+\frac{1}{e^2}$ ; $f$ tend vers $-\infty$ en $-\infty$ et vers $1$ en $+\infty$.
   3. $f(x)-1=(x-1)e^{-x}$ a le signe de $x-1$. Donc $(\mathcal{C})$ est au-dessous de $(D)$ sur $]-\infty ,1[$, au-dessus de $(D)$ sur $]1,+\infty [$, et coupe $(D)$ au point d'abscisse $1$, de coordonnées $(1,1)$.
   4. $f(0)=(0-1)e^0+1=-1+1=0$ : $(\mathcal{C})$ passe par $O$. De plus $f^{\prime }(0)=2e^0=2$, donc $(T):y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)=2x$.
   5. $f^{\prime }$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{\prime \prime }(x)=-e^{-x}+(2-x)(-e^{-x})=(-1-2+x)e^{-x}=(x-3)e^{-x}$. $f^{\prime \prime }(x)$ a le signe de $x-3$ : elle s'annule en $3$ en changeant de signe (négative avant, positive après). La courbe $(\mathcal{C})$ est concave sur $]-\infty ,3]$, convexe sur $[3,+\infty [$ et admet un point d'inflexion $I(3,f(3))$ avec $f(3)=2e^{-3}+1=1+\frac{2}{e^3}$.
   6. Tracé : la courbe vient de $-\infty$ (branche parabolique verticale), passe par $O$ avec la tangente $(T):y=2x$, coupe $(D)$ en $(1,1)$, atteint son maximum en $(2,1+\frac{1}{e^2})$, change de concavité en $I$, puis redescend vers $(D)$ en restant au-dessus d'elle.

   Partie B.

   1. $f^{\prime }(x)+f(x)=(2-x)e^{-x}+(x-1)e^{-x}+1=(2-x+x-1)e^{-x}+1=e^{-x}+1$. Donc $f$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
   2. (a) Soit $h$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et $k=h-f$. Alors $k^{\prime }+k=(h^{\prime }+h)-(f^{\prime }+f)=(h^{\prime }+h)-(1+e^{-x})$. Donc $h^{\prime }+h=1+e^{-x}$ si et seulement si $k^{\prime }+k=0$ : $h$ est solution de $(E)$ si et seulement si $h-f$ est solution de $(E_0)$. (b) Les solutions de $(E_0):y^{\prime }=-y$ sont les fonctions $x\to C{e}^{-x}$, $C\in \mathbb{R}$. Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions $h(x)=f(x)+C{e}^{-x}=(x-1+C)e^{-x}+1$, $C\in \mathbb{R}$.
   3. On pose $u(x)=1-x$ et $v^{\prime }(x)=e^{-x}$, d'où $u^{\prime }(x)=-1$ et $v(x)=-e^{-x}$ ; $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[0,1]$. Par intégration par parties : ${\int }_0^1(1-x)e^{-x}\mathrm{d}x=[-(1-x)e^{-x}{]}_0^1-{\int }_0^1(-1)(-e^{-x})\mathrm{d}x=(0+1)-{\int }_0^1{e}^{-x}\mathrm{d}x=1-[-e^{-x}{]}_0^1=1-(-\frac{1}{e}+1)=\frac{1}{e}$.
   4. Sur $[0,1]$, $f(x)\le 1$ (question A.3), donc l'aire du domaine est $\mathcal{A}={\int }_0^1(1-f(x))\mathrm{d}x={\int }_0^1(1-x)e^{-x}\mathrm{d}x=\frac{1}{e}$ unité d'aire (car $1-f(x)=-(x-1)e^{-x}=(1-x)e^{-x}$). L'unité d'aire vaut $2\times 2=4$ cm${}^2$, donc $\mathcal{A}=\frac{4}{e}$ cm${}^2$ ($\approx 1,47$ cm${}^2$).
   5. ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}1\mathrm{d}x-{\int }_0^1(1-f(x))\mathrm{d}x=1-\frac{1}{e}$.

   Partie C.

   1. Sur $[0,1]$, $f$ est continue et strictement croissante (car $[0,1]\subset ]-\infty ,2]$), avec $f(0)=0$ et $f(1)=1$ : donc $f([0,1])=[0,1]$ (l'intervalle $[0,1]$ est stable par $f$). Initialisation : $u_0=\frac{1}{2}\in [0,1]$. Hérédité : si $0\le u_n\le 1$, alors $u_{n+1}=f(u_n)\in f([0,1])=[0,1]$. Conclusion : $0\le u_n\le 1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
   2. (a) $(x-1)(e^{-x}-1)=(x-1)e^{-x}-(x-1)=(x-1)e^{-x}+1-x=f(x)-x$. (b) Pour $x\in [0,1]$ : $x-1\le 0$ et, comme $-x\le 0$, $e^{-x}\le e^0=1$, soit $e^{-x}-1\le 0$. Le produit est donc positif : $f(x)-x\ge 0$ sur $[0,1]$. Comme $u_n\in [0,1]$, $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\ge 0$ : la suite $(u_n)$ est croissante.
   3. $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$, donc elle converge (théorème de la convergence monotone) vers un réel $\ell \in [0,1]$ (car $0\le u_n\le 1$ pour tout $n$). La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $u_{n+1}=f(u_n)$, donc $\ell =f(\ell )$, soit $(\ell -1)(e^{-\ell }-1)=0$ : $\ell =1$ ou $e^{-\ell }=1$, c'est-à-dire $\ell =1$ ou $\ell =0$. Or la suite est croissante, donc $\ell \ge u_0=\frac{1}{2}>0$, ce qui exclut $\ell =0$. Donc ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=1$.