Primitives, logarithme, nombres complexes et exponentielle

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Nombres complexes5 pts

   Chapitre : Nombres complexes (partie 1)

   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

   1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-6z+13=0$. (1 pt)
   2. On pose $a=3+2i$. Écrire sous forme algébrique les nombres $a^2$ et $\frac{a}{\overline{a}}$, et calculer $|a|$. (1,25 pt)
   3. Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z-3+2i|=2$. (0,75 pt)
   4. Pour tout nombre complexe $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels), on pose $Z=(z-3)(\overline{z}+2i)$. (a) Montrer que $\mathrm{Re}(Z)=x^2+y^2-3x-2y$ et $\mathrm{Im}(Z)=2x+3y-6$. (0,75 pt) (b) Déterminer l'ensemble $(D)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit réel. (0,5 pt) (c) Déterminer l'ensemble $(\Gamma )$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit imaginaire pur ; on précisera son centre $\Omega$ et son rayon. (0,75 pt)
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   1. $\Delta =(-6{)}^2-4\times 13=36-52=-16=(4i{)}^2<0$. L'équation admet deux solutions complexes conjuguées : $z=\frac{6\pm 4i}{2}$, soit $S=\{3+2i,3-2i\}$.
   2. $a^2=(3+2i{)}^2=9+12i+4i^2=5+12i$. $|a|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$. $\frac{a}{\overline{a}}=\frac{a\times a}{\overline{a}\times a}=a^2/|a{|}^2=\frac{5+12i}{13}=\frac{5}{13}+\frac{12}{13}i$.
   3. $|z-3+2i|=|z-(3-2i)|=BM$, où $B$ est le point d'affixe $3-2i$. L'ensemble $(E)$ est donc le cercle de centre $B(3,-2)$ et de rayon $2$.
   4. (a) $z-3=(x-3)+iy$ et $\overline{z}+2i=x+i(2-y)$. Donc $Z=(x-3)x+i(x-3)(2-y)+ixy+i^{2}y(2-y)$ $=(x^2-3x-2y+y^2)+i(2x-xy-6+3y+xy)$ $=(x^2+y^2-3x-2y)+i(2x+3y-6)$. Ainsi $\mathrm{Re}(Z)=x^2+y^2-3x-2y$ et $\mathrm{Im}(Z)=2x+3y-6$. (b) $Z$ est réel si et seulement si $\mathrm{Im}(Z)=0$, soit $2x+3y-6=0$. L'ensemble $(D)$ est la droite d'équation $2x+3y-6=0$ ; elle passe par les points de coordonnées $(3,0)$ et $(0,2)$. (c) $Z$ est imaginaire pur si et seulement si $\mathrm{Re}(Z)=0$, soit $x^2+y^2-3x-2y=0$, c'est-à-dire $(x-\frac{3}{2}{)}^2+(y-1{)}^2=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$. L'ensemble $(\Gamma )$ est le cercle de centre $\Omega (\frac{3}{2},1)$ et de rayon $\frac{\sqrt{13}}{2}$. (Remarque : $(\Gamma )$ passe par $O$ et par le point $A$ d'affixe $a$, car $9+4-9-4=0$ ; c'est le cercle de diamètre $[PQ]$ avec $P(3,0)$ et $Q(0,2)$.)

2. Exercice 2Fonctions logarithmiques et primitives3 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Fonctions primitives · Fonctions exponentielles

   1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : (a) l'équation $\ln (x-1)+\ln (x+2)=2\ln 2$ ; (0,75 pt) (b) l'inéquation $(\ln x{)}^2-3\ln x+2\le 0$. (0,75 pt)
   2. (a) Déterminer la primitive $F$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f:x\to \frac{2x+1}{x^2+x+1}$ qui vérifie $F(0)=1$. (0,5 pt) (b) Déterminer une primitive sur $]0,+\infty [$ de la fonction $g:x\to \frac{(\ln x{)}^2}{x}$. (0,5 pt) (c) Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $h:x\to x{e}^{-x^2}$. (0,5 pt)
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   1. (a) L'équation est définie si $x-1>0$ et $x+2>0$, soit $x>1$. Pour $x>1$ : $\ln (x-1)+\ln (x+2)=\ln ((x-1)(x+2))$ et $2\ln 2=\ln 4$. L'équation équivaut à $(x-1)(x+2)=4$, soit $x^2+x-6=0$, dont les racines sont $x=2$ et $x=-3$ (car $\Delta =1+24=25$). Seule $x=2$ vérifie $x>1$ : $S=\{2\}$. (b) L'inéquation est définie pour $x>0$. On pose $X=\ln x$ : $X^2-3X+2=(X-1)(X-2)\le 0$ si et seulement si $1\le X\le 2$. Donc $1\le \ln x\le 2$, soit, par croissance stricte de l'exponentielle, $e\le x\le e^2$. $S=[e,e^2]$.
   2. (a) Le trinôme $x^2+x+1$ a pour discriminant $1-4=-3<0$ : il est strictement positif sur $\mathbb{R}$. $f$ est de la forme $u^{\prime }/u$ avec $u(x)=x^2+x+1>0$, donc les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont $F(x)=\ln (x^2+x+1)+c$. $F(0)=\ln 1+c=c=1$, donc $F(x)=\ln (x^2+x+1)+1$. (b) $g(x)=\frac{1}{x}\times (\ln x{)}^2$ est de la forme $u^{\prime }{u}^2$ avec $u(x)=\ln x$. Une primitive est $G(x)=\frac{(\ln x{)}^3}{3}$. (c) $h(x)=x{e}^{-x^2}=-\frac{1}{2}\times (-2x)e^{-x^2}$ est de la forme $-\frac{1}{2}{u}^{\prime }{e}^u$ avec $u(x)=-x^2$. Une primitive est $K(x)=-\frac{1}{2}{e}^{-x^2}$.

3. Exercice 3Suites numériques3 pts

   Chapitres : Suites numériques · Fonctions logarithmiques · Fonctions exponentielles

   On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}=\sqrt{e{u}_n}$.

   1. Calculer $u_1$ et $u_2$ (on donnera les résultats sous la forme $e^r$ avec $r$ rationnel). (0,5 pt)
   2. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n>0$. (0,25 pt)
   3. On pose $v_n=\ln (u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $v_{n+1}=\frac{1}{2}{v}_n+\frac{1}{2}$. (0,5 pt)
   4. On pose $w_n=v_n-1$. Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,5 pt)
   5. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$, et calculer ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n$. (0,75 pt)
   6. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $e$. (0,5 pt)
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   1. $u_1=\sqrt{e\times 1}=e^{\frac{1}{2}}$ et $u_2=\sqrt{e\times e^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{e^{\frac{3}{2}}}=e^{\frac{3}{4}}$.
   2. Initialisation : $u_0=1>0$. Hérédité : si $u_n>0$, alors $e{u}_n>0$ et $u_{n+1}=\sqrt{e{u}_n}>0$. Conclusion : $u_n>0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
   3. Comme $u_n>0$, $v_n=\ln (u_n)$ est bien défini. $v_{n+1}=\ln (\sqrt{e{u}_n})=\frac{1}{2}\ln (e{u}_n)=\frac{1}{2}(\ln e+\ln u_n)=\frac{1}{2}(1+v_n)=\frac{1}{2}{v}_n+\frac{1}{2}$.
   4. $w_{n+1}=v_{n+1}-1=\frac{1}{2}{v}_n+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}{v}_n-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(v_n-1)=\frac{1}{2}{w}_n$. La suite $(w_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme $w_0=v_0-1=\ln 1-1=-1$.
   5. $w_n=w_0(\frac{1}{2}{)}^n=-(\frac{1}{2}{)}^n$, donc $v_n=1+w_n=1-(\frac{1}{2}{)}^n$, et $u_n=e^{v_n}=e^{1-(\frac{1}{2}{)}^n}$. (Vérification : $u_1=e^{\frac{1}{2}}$ et $u_2=e^{\frac{3}{4}}$.) Comme $-1<\frac{1}{2}<1$, $(\frac{1}{2}{)}^n\to 0$, donc $v_n\to 1$ et, par continuité de l'exponentielle, ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_n=e^1=e$.
   6. $v_{n+1}-v_n=w_{n+1}-w_n=-(\frac{1}{2}{)}^{n+1}+(\frac{1}{2}{)}^n=(\frac{1}{2}{)}^{n+1}>0$ : $(v_n)$ est strictement croissante, et comme l'exponentielle est strictement croissante, $u_{n+1}=e^{v_{n+1}}>e^{v_n}=u_n$ : $(u_n)$ est croissante. De plus $(\frac{1}{2}{)}^n>0$ donne $v_n<1$, donc $u_n=e^{v_n}<e^1=e$ : $(u_n)$ est majorée par $e$.

4. Exercice 4Problème d'analyse9 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Dérivation et étude des fonctions · Limites et continuité · Fonctions primitives

   Partie A. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=e^x+x-1$.

   1. Calculer $g^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $g$ (les limites ne sont pas demandées). (0,75 pt)
   2. Calculer $g(0)$ et en déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. (0,5 pt)

   Partie B. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+1-x{e}^{-x},$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 2 cm).

   1. (a) Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$. (0,5 pt) (b) Montrer que ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$ (on pourra écrire $f(x)=x(1-e^{-x})+1$). (0,75 pt)
   2. (a) Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y=x+1$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$. (0,5 pt) (b) Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et $(D)$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt)
   3. Calculer ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)/x$ et interpréter graphiquement le résultat. (0,75 pt)
   4. (a) Montrer que pour tout réel $x$ : $f^{\prime }(x)=e^{-x}g(x)$. (1 pt) (b) Dresser le tableau de variations de $f$. (0,5 pt)
   5. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$. (0,25 pt)
   6. (a) Montrer que l'équation $f(x)=2$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ dans $\mathbb{R}$, avec $\alpha <0<\beta$. (0,75 pt) (b) Vérifier que $1,3<\beta <1,4$. (0,5 pt)
   7. Tracer $(D)$, $(T)$ et $(\mathcal{C})$ (on prendra $\alpha \approx -0,8$ et $\beta \approx 1,35$). (0,75 pt)

   Partie C.

   1. Montrer que la fonction $H:x\to -(x+1)e^{-x}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x\to x{e}^{-x}$. (0,5 pt)
   2. En déduire la primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie $F(0)=0$. (0,5 pt)
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   Partie A.

   1. $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g^{\prime }(x)=e^x+1>0$ pour tout $x$. Donc $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
   2. $g(0)=e^0+0-1=0$. Comme $g$ est strictement croissante et s'annule en $0$ : $g(x)<0$ pour $x<0$, $g(0)=0$ et $g(x)>0$ pour $x>0$.

   Partie B.

   1. (a) $x{e}^{-x}=\frac{x}{e^x}$ et, par croissances comparées, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{e^x}{x}=+\infty$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }x{e}^{-x}=0$. Comme $x+1\to +\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$. (b) $f(x)=x(1-e^{-x})+1$. Quand $x\to -\infty$, $-x\to +\infty$ donc $e^{-x}\to +\infty$ et $1-e^{-x}\to -\infty$. Le produit $x(1-e^{-x})$ est le produit de deux quantités qui tendent vers $-\infty$, donc il tend vers $+\infty$. Ainsi ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$.
   2. (a) $f(x)-(x+1)=-x{e}^{-x}$, et d'après 1(a), ${\lim }_{x\to +\infty }(-x{e}^{-x})=0$. Donc la droite $(D):y=x+1$ est asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$. (b) Le signe de $f(x)-(x+1)=-x{e}^{-x}$ est celui de $-x$ car $e^{-x}>0$. Sur $]-\infty ,0[$, $f(x)-(x+1)>0$ : $(\mathcal{C})$ est au-dessus de $(D)$ ; sur $]0,+\infty [$, $(\mathcal{C})$ est au-dessous de $(D)$ ; les deux se coupent au point d'abscisse $0$, c'est-à-dire au point $(0,1)$.
   3. Pour $x\ne 0$ : $f(x)/x=1+\frac{1}{x}-e^{-x}$. Quand $x\to -\infty$, $\frac{1}{x}\to 0$ et $e^{-x}\to +\infty$, donc ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)/x=-\infty$. Comme ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$ et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)/x=-\infty$, la courbe $(\mathcal{C})$ admet en $-\infty$ une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
   4. (a) $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (somme et produit de fonctions dérivables) et, avec $(x{e}^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}-x{e}^{-x}$ : $f^{\prime }(x)=1-(e^{-x}-x{e}^{-x})=1-e^{-x}+x{e}^{-x}$. Or $e^{-x}g(x)=e^{-x}(e^x+x-1)=1+x{e}^{-x}-e^{-x}$. Donc $f^{\prime }(x)=e^{-x}g(x)$. (b) Comme $e^{-x}>0$, $f^{\prime }(x)$ a le signe de $g(x)$ (partie A) : $f^{\prime }(x)<0$ sur $]-\infty ,0[$, $f^{\prime }(0)=0$ et $f^{\prime }(x)>0$ sur $]0,+\infty [$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ,0]$ et strictement croissante sur $[0,+\infty [$ ; elle admet un minimum en $0$ égal à $f(0)=1$. Les limites aux bornes valent $+\infty$ (question 1).
   5. $f(0)=1$ et $f^{\prime }(0)=0$ : la tangente $(T)$ est horizontale, d'équation $y=1$.
   6. (a) Sur $]-\infty ,0]$, $f$ est continue et strictement décroissante, et $f(]-\infty ,0])=[1,+\infty [$ car $f(0)=1$ et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$. Comme $2\in [1,+\infty [$, l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-\infty ,0]$, et $\alpha \ne 0$ car $f(0)=1\ne 2$ : donc $\alpha <0$. De même, sur $[0,+\infty [$, $f$ est continue et strictement croissante avec $f([0,+\infty [)=[1,+\infty [$ : l'équation admet une unique solution $\beta$ dans $[0,+\infty [$, et $\beta >0$. Au total, l'équation $f(x)=2$ admet exactement deux solutions $\alpha <0<\beta$. (b) $f(1,3)=2,3-1,3e^{-1,3}\approx 2,3-1,3\times 0,2725\approx 1,946<2$ et $f(1,4)=2,4-1,4e^{-1,4}\approx 2,4-1,4\times 0,2466\approx 2,055>2$. Comme $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty [$, on obtient $1,3<\beta <1,4$.
   7. Tracé : la courbe décroît de $+\infty$ jusqu'au minimum $(0,1)$ où elle admet la tangente horizontale $(T)$, puis croît vers $+\infty$ ; elle est au-dessus de $(D)$ pour $x<0$, au-dessous pour $x>0$, et se rapproche de $(D)$ en $+\infty$ ; en $-\infty$ elle « monte » verticalement (branche parabolique). Les points d'ordonnée $2$ ont pour abscisses $\alpha \approx -0,8$ et $\beta \approx 1,35$.

   Partie C.

   1. $H$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $H^{\prime }(x)=-e^{-x}-(x+1)(-e^{-x})=-e^{-x}+(x+1)e^{-x}=x{e}^{-x}$. Donc $H$ est une primitive de $x\to x{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.
   2. Les primitives de $f:x\to x+1-x{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $F(x)=\frac{x^2}{2}+x-H(x)+c=\frac{x^2}{2}+x+(x+1)e^{-x}+c$, $c\in \mathbb{R}$. $F(0)=0+0+1+c=0$ donne $c=-1$. Donc $F(x)=\frac{x^2}{2}+x+(x+1)e^{-x}-1$.