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1ère Bac Sciences Économiques et Gestion
MATHEMATICS · 1ère Bac Sciences Économiques et Gestion · 1ère Bac

Suites numériques et suites financières

Suites arithmétiques et géométriques, sommes, suites financières — intérêts simples, intérêts composés, épargne par versements.

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

  1. Définition et modes de génération

    Une suite réelle est une fonction u : ℕ → ℝ, notée (un). Mode explicite : un = f(n). Mode récurrent : u(n+1) = g(un) avec u0 donné.

  2. Monotonie, majoration, minoration

    (un) est : croissante si u(n+1) ≥ un pour tout n ; majorée par M si un ≤ M pour tout n ; bornée si majorée et minorée.

  3. Suites arithmétiques

  4. Suites géométriques

  5. Applications financières

Exercices type contrôle corrigés

6 exercices dans l'esprit des sujets de contrôle, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

  1. Suite arithmétique

    Soit (u_n) une suite arithmétique telle que u_3 = 11 et u_8 = 26.

    1. Déterminer la raison r et le premier terme u_0.
    2. Exprimer u_n en fonction de n.
    3. Calculer la somme S = u_0 + u_1 + … + u_20.
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    1. u_8 = u_3 + 5r, donc 26 = 11 + 5r et r = 3. u_0 = u_3 - 3r = 11 - 9 = 2.
    2. u_n = u_0 + n r = 2 + 3n.
    3. La somme de 21 termes consécutifs vaut S = 21 × (u_0 + u_20)/2 = 21 × (2 + 62)/2 = 21 × 32 = 672.

  2. Suite géométrique

    Soit (v_n) une suite géométrique à termes positifs telle que v_1 = 6 et v_4 = 48.

    1. Déterminer la raison q et le premier terme v_0.
    2. Exprimer v_n en fonction de n.
    3. Calculer S = v_0 + v_1 + … + v_9.
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    1. v_4 = v_1 q³, donc q³ = 48/6 = 8 et q = 2. v_0 = v_1/q = 3.
    2. v_n = v_0 q^n = 3 × 2^n.
    3. S = v_0 (1 - q¹0)/(1 - q) = 3 × (2¹0 - 1)/(2 - 1) = 3 × 1023 = 3069.

  3. Intérêts simples

    Un capital de 20 000 DH est placé à intérêts simples au taux annuel de 4 %. On note C_n le capital acquis après n années.

    1. Calculer C_1 et C_2.
    2. Montrer que (C_n) est une suite arithmétique dont on précisera la raison, puis exprimer C_n en fonction de n.
    3. Quel est le capital acquis après 6 ans ? Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 30 000 DH ?
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    1. Chaque année, l'intérêt est calculé sur le capital initial : I = 20 000 × 0,04 = 800 DH. Donc C_1 = 20 800 DH et C_2 = 21 600 DH.
    2. C_(n+1) = C_n + 800 : (C_n) est arithmétique de raison 800 et de premier terme C_0 = 20 000, donc C_n = 20 000 + 800 n.
    3. C_6 = 20 000 + 4 800 = 24 800 DH. C_n > 30 000 équivaut à 800 n > 10 000, soit n > 12,5 : à partir de la 13ᵉ année.

  4. Intérêts composés

    Le même capital de 20 000 DH est placé à intérêts composés au taux annuel de 4 %. On note D_n le capital acquis après n années.

    1. Montrer que (D_n) est une suite géométrique et exprimer D_n en fonction de n.
    2. Calculer le capital acquis après 6 ans (arrondir au centime) et comparer avec le placement à intérêts simples.
    3. Au bout de combien d'années le capital initial a-t-il doublé ? (On pourra utiliser log 2 ≈ 0,3010 et log 1,04 ≈ 0,0170.)
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    1. Chaque année, l'intérêt est calculé sur le capital de l'année précédente : D_(n+1) = D_n + 0,04 D_n = 1,04 D_n. (D_n) est géométrique de raison 1,04 et de premier terme 20 000 : D_n = 20 000 × 1,04^n.
    2. D_6 = 20 000 × 1,04⁶ ≈ 20 000 × 1,26532 ≈ 25 306,38 DH. À intérêts simples, on avait 24 800 DH : les intérêts composés rapportent environ 506 DH de plus sur 6 ans.
    3. D_n ≥ 40 000 équivaut à 1,04^n ≥ 2, soit n log 1,04 ≥ log 2 (le logarithme décimal est croissant), donc n ≥ (log 2)/(log 1,04) ≈ 0,3010/(0,0170) ≈ 17,7. Le capital a doublé au bout de 18 ans.

  5. Épargne par versements réguliers

    Chaque 1er janvier, à partir de 2026, une personne verse 3 000 DH sur un compte rémunéré à 3 % par an à intérêts composés.

    1. Quelle est la valeur acquise du premier versement au 31 décembre 2026 ? Au 31 décembre 2030 ?
    2. Montrer que la valeur acquise V_n de l'ensemble des versements, au 31 décembre de la nᵉ année, vaut V_n = 3 000 × 1,03 × (1,03^n - 1)/(0,03).
    3. Calculer V_5 (arrondir au dirham).
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    1. Un versement placé k années devient 3 000 × 1,03^k. Au 31 décembre 2026 (1 an) : 3 000 × 1,03 = 3 090 DH. Au 31 décembre 2030 (5 ans) : 3 000 × 1,03⁵ ≈ 3 477,82 DH.
    2. Au 31 décembre de la nᵉ année, le kᵉ versement a été placé n - k + 1 années. La valeur acquise totale est V_n = 3 000 (1,03 + 1,03² + … + 1,03^n), somme de n termes d'une suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme 1,03 : V_n = 3 000 × 1,03 × (1,03^n - 1)/(1,03 - 1).
    3. 1,03⁵ ≈ 1,15927, donc V_5 ≈ 3 000 × 1,03 × 0,15927/(0,03) ≈ 3 000 × 5,4684 ≈ 16 405 DH.

  6. Monotonie et encadrement

    Soit (u_n) la suite définie pour tout entier n ≥ 0 par u_n = (2n + 1)/(n + 1).

    1. Calculer u_0, u_1 et u_2.
    2. Montrer que u_n = 2 - 1/(n + 1) et en déduire que 1 ≤ u_n < 2.
    3. Étudier la monotonie de (u_n).
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    1. u_0 = 1, u_1 = 3/2, u_2 = 5/3.
    2. 2 - 1/(n + 1) = (2(n + 1) - 1)/(n + 1) = (2n + 1)/(n + 1) = u_n. Comme 0 < 1/(n + 1) ≤ 1, on obtient 1 ≤ 2 - 1/(n + 1) < 2.
    3. u_(n+1) - u_n = 1/(n + 1) - 1/(n + 2) = 1/((n + 1)(n + 2)) > 0 : la suite est strictement croissante (et majorée par 2).

Documents

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