Suite arithmético-géométrique, complexes, probabilités et fonction logarithme

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Suites numériques3 pts

   Chapitre : Suites numériques

   Soit (u_n) la suite définie par u_0 = 4 et, pour tout n ∈ ℕ : u_(n+1) = (2 u_n + 1)/3.

   1. Calculer u_1 et u_2.
   2. Montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ : u_n > 1.
   3. Montrer que u_(n+1) - u_n = (1 - u_n)/3 et en déduire le sens de variation de (u_n).
   4. On pose v_n = u_n - 1. Montrer que (v_n) est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
   5. Exprimer v_n puis u_n en fonction de n, et calculer lim u_n.
   6. Calculer S_n = u_0 + u_1 + … + u_n en fonction de n.
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   1. u_1 = (8 + 1)/3 = 3 et u_2 = (6 + 1)/3 = 7/3.
   2. Initialisation : u_0 = 4 > 1. Hérédité : si u_n > 1, alors 2u_n + 1 > 3 et u_(n+1) = (2u_n + 1)/3 > 1. Conclusion : u_n > 1 pour tout n.
   3. u_(n+1) - u_n = (2u_n + 1 - 3u_n)/3 = (1 - u_n)/3 < 0 car u_n > 1 : la suite est strictement décroissante.
   4. v_(n+1) = u_(n+1) - 1 = (2u_n + 1 - 3)/3 = (2(u_n - 1))/3 = 2/3 v_n : (v_n) est géométrique de raison 2/3 et de premier terme v_0 = 3.
   5. v_n = 3 (2/3)^n et u_n = 1 + 3 (2/3)^n. Comme 0 < 2/3 < 1, (2/3)^n → 0 et lim u_n = 1.
   6. S_n = ∑_(k=0)^n (1 + v_k) = (n + 1) + 3 (1 - (2/3)^(n + 1))/(1 - 2/3) = (n + 1) + 9 (1 - (2/3)^(n + 1)).

2. Exercice 2Nombres complexes3 pts

   Chapitre : Nombres complexes (introduction)

   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O, vec(u), vec(v)).

   1. Résoudre dans ℂ l'équation z² - 2z + 2 = 0.
   2. On pose a = 1 + i. Calculer |a| et donner un argument de a.
   3. Calculer a² et a⁴.
   4. On considère les points A, B et C d'affixes respectives a, conj(a) et a². Montrer que le triangle O A B est rectangle et isocèle en O, et placer les points A, B, C.
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   1. Δ = 4 - 8 = -4 = (2i)² : z = (2 ± 2i)/2, soit S = {1 + i, 1 - i}.
   2. |a| = √(1 + 1) = √2 et a = √2(√2/2 + i √2/2) = √2(cos(π/4) + i sin(π/4)) : un argument de a est π/4.
   3. a² = (1 + i)² = 1 + 2i - 1 = 2i et a⁴ = (2i)² = -4.
   4. O A = |a| = √2 = |conj(a)| = O B : le triangle est isocèle en O. De plus arg(conj(a)) = -π/4, donc l'angle (vec(OB), vec(OA)) = π/4 - (-π/4) = π/2 : le triangle O A B est rectangle en O. A(1, 1), B(1, -1) et C(0, 2) (affixe 2i).

3. Exercice 3Probabilités3 pts

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   Un sac contient cinq jetons indiscernables au toucher, numérotés de 1 à 5. On tire simultanément deux jetons du sac.

   1. Calculer la probabilité de l'événement A : « les deux numéros sont pairs ».
   2. Calculer la probabilité de l'événement B : « la somme des deux numéros est paire ».
   3. Soit X la variable aléatoire égale au plus grand des deux numéros tirés. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer E(X).
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   1. Il y a binom(5, 2) = 10 tirages équiprobables. Les numéros pairs sont 2 et 4 : un seul tirage favorable, P(A) = 1/10.
   2. La somme est paire si les deux numéros ont la même parité : deux pairs (1 tirage) ou deux impairs parmi {1, 3, 5} (binom(3, 2) = 3 tirages). P(B) = 4/10 = 2/5.
   3. X prend les valeurs 2, 3, 4, 5. Le plus grand numéro vaut k lorsque l'autre est l'un des k - 1 numéros inférieurs : P(X = 2) = 1/10, P(X = 3) = 2/10, P(X = 4) = 3/10, P(X = 5) = 4/10. E(X) = (2 × 1 + 3 × 2 + 4 × 3 + 5 × 4)/10 = 40/10 = 4.

4. Exercice 4Problème d'analyse11 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral

   Soit f la fonction définie sur ]0, +∞[ par f(x) = (1 + ln x)/x, et (cal(C)) sa courbe dans un repère orthonormé (O, vec(i), vec(j)) (unité : 2 cm).

   Partie A.

   1. Calculer lim(x → 0^+) f(x) et interpréter graphiquement le résultat.
   2. Calculer lim(x → +∞) f(x) et interpréter graphiquement le résultat.
   3. Montrer que pour tout x > 0 : f'(x) = -(ln x)/x².
   4. Dresser le tableau de variations de f.
   5. Résoudre l'équation f(x) = 0 et en déduire le signe de f(x) sur ]0, +∞[.

   Partie B.

   1. Déterminer une équation de la tangente (T) à (cal(C)) au point d'abscisse e.
   2. Tracer (T) et (cal(C)).
   3. Discuter graphiquement, suivant les valeurs du réel k, le nombre de solutions de l'équation f(x) = k.

   Partie C.

   1. Montrer que la fonction F : x → ln x + 1/2 (ln x)² est une primitive de f sur ]0, +∞[.
   2. Calculer ∫_1^e f(x) d x.
   3. En déduire, en cm""², l'aire du domaine délimité par (cal(C)), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = e.
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   Partie A.

   1. lim(x → 0^+) (1 + ln x) = -∞ et 1/x → +∞, donc lim(x → 0^+) f(x) = -∞ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale.
   2. f(x) = 1/x + (ln x)/x ; 1/x → 0 et (ln x)/x → 0 (croissances comparées), donc lim(x → +∞) f(x) = 0 : l'axe des abscisses est asymptote horizontale en +∞.
   3. f = u/v avec u = 1 + ln x, v = x : f'(x) = ((1/x) x - (1 + ln x))/x² = (1 - 1 - ln x)/x² = -(ln x)/x².
   4. f'(x) a le signe de -ln x : f est croissante sur ]0, 1] et décroissante sur [1, +∞[, avec un maximum f(1) = 1.
   5. f(x) = 0 ≤⇒ 1 + ln x = 0 ≤⇒ x = e^(-1) = 1/e. Comme 1 + ln x est croissante et x > 0 : f(x) < 0 sur ]0, 1/e[ et f(x) > 0 sur ]1/e, +∞[.

   Partie B.

   1. f(e) = 2/e et f'(e) = -1/e² : (T) : y = -1/e² (x - e) + 2/e, soit y = -x/e² + 3/e.
   2. Tracé : la courbe part de -∞ près de l'axe des ordonnées, coupe l'axe des abscisses en 1/e ≈ 0,37, culmine en (1, 1) puis décroît vers l'axe des abscisses.
   3. D'après le tableau de variations : si k > 1, aucune solution ; si k = 1, une solution (x = 1) ; si 0 < k < 1, deux solutions (une dans ]1/e, 1[, une dans ]1, +∞[) ; si k ≤ 0, une seule solution (dans ]0, 1/e]), car sur [1, +∞[ la fonction reste strictement positive.

   Partie C.

   1. F'(x) = 1/x + 1/2 × 2 ln x × 1/x = (1 + ln x)/x = f(x).
   2. ∫_1^e f(x) d x = F(e) - F(1) = (1 + 1/2) - 0 = 3/2.
   3. Sur [1, e], f(x) > 0 : l'aire vaut 3/2 unité d'aire, soit 3/2 × 4 = 6 cm""².