Suites numériques, suites financières et barycentre

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Suites numériques6 pts

   Chapitres : Suites numériques et suites financières · Généralités sur les fonctions numériques

   1. Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_2=7$ et $u_5=16$. (a) Déterminer la raison $r$ et le premier terme $u_0$. (1 pt) (b) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. (0,5 pt) (c) Calculer la somme $S=u_0+u_1+\dots +u_{10}$. (1 pt)
   2. Soit $(v_n)$ une suite géométrique à termes strictement positifs telle que $v_0=4$ et $v_3=32$. (a) Déterminer la raison $q$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$. (1 pt) (b) Calculer la somme $S^{\prime }=v_0+v_1+\dots +v_7$. (1 pt)
   3. Soit $f$ la fonction définie sur $[0,+\infty [$ par $f(x)=\frac{3x+2}{x+1}$, et $(w_n)$ la suite définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par $w_n=f(n)$. (a) Montrer que pour tout $x\ge 0$ : $f(x)=3-\frac{1}{x+1}$, et en déduire que $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty [$. (1 pt) (b) En déduire que la suite $(w_n)$ est croissante et majorée par $3$. (0,5 pt)
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   1. (a) Pour une suite arithmétique, $u_n=u_p+(n-p)r$. Donc $u_5=u_2+3r$, soit $16=7+3r$, d'où $r=3$. Puis $u_0=u_2-2r=7-6=1$. (b) $u_n=u_0+nr=1+3n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. (c) $S$ est la somme de $11$ termes consécutifs d'une suite arithmétique : $S=11\times \frac{u_0+u_{10}}{2}$. Or $u_{10}=1+30=31$, donc $S=11\times \frac{1+31}{2}=11\times 16=176$.
   2. (a) Pour une suite géométrique, $v_3=v_0{q}^3$, soit $32=4q^3$, d'où $q^3=8$ et, comme $q>0$ (termes strictement positifs), $q=2$. Donc $v_n=v_0{q}^n=4\times 2^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. (b) $S^{\prime }$ est la somme de $8$ termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q=2\ne 1$ : $S^{\prime }=v_0\frac{1-q^8}{1-q}=4\times \frac{1-256}{1-2}=4\times 255=1020$.
   3. (a) Pour tout $x\ge 0$ : $3-\frac{1}{x+1}=\frac{3(x+1)-1}{x+1}=\frac{3x+2}{x+1}=f(x)$. Soient $0\le x_1<x_2$. Alors $0<x_1+1<x_2+1$, donc $\frac{1}{x_1+1}>\frac{1}{x_2+1}$ (la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0,+\infty [$), puis $-\frac{1}{x_1+1}<-\frac{1}{x_2+1}$ et enfin $f(x_1)<f(x_2)$. Donc $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty [$. (b) Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $n<n+1$ et $f$ est croissante sur $[0,+\infty [$, donc $f(n)\le f(n+1)$, c'est-à-dire $w_n\le w_{n+1}$ : la suite $(w_n)$ est croissante. De plus $\frac{1}{n+1}>0$, donc $w_n=3-\frac{1}{n+1}<3$ : la suite $(w_n)$ est majorée par $3$.

2. Exercice 2Suites financières7 pts

   Chapitre : Suites numériques et suites financières

   Le 1er janvier 2026, une entreprise place un capital de $50000$ DH à intérêts composés au taux annuel de $5\%$. On note $C_n$ le capital acquis après $n$ années ; ainsi $C_0=50000$.

   1. Calculer $C_1$ et $C_2$. (1 pt)
   2. Justifier que $(C_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison, puis exprimer $C_n$ en fonction de $n$. (1 pt)
   3. Calculer le capital acquis après $4$ années (arrondir au centime). (1 pt)
   4. On place le même capital de $50000$ DH à intérêts simples au taux annuel de $5\%$. On note $D_n$ le capital acquis après $n$ années. Préciser la nature de la suite $(D_n)$, exprimer $D_n$ en fonction de $n$, puis calculer $D_4$ et comparer avec le résultat de la question 3. (1,5 pt)
   5. À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ tel que $C_n>70000$. Justifier la réponse. (1 pt)
   6. Par ailleurs, à la fin de chaque année, à partir de la fin de l'année 2026, l'entreprise verse $10000$ DH sur un compte d'épargne rémunéré à $5\%$ par an à intérêts composés. On note $V_n$ la valeur acquise par l'ensemble des versements juste après le $n$ᵉ versement. (a) Justifier que $V_n=10000(1+1,05+1,05^2+\dots +1,05^{n-1})$, puis en déduire que $V_n=200000(1,05^n-1)$. (1 pt) (b) Calculer $V_4$ (arrondir au centime). (0,5 pt)
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   1. Chaque année, l'intérêt est calculé sur le capital de l'année précédente. $C_1=50000+50000\times 0,05=50000\times 1,05=52500$ DH. $C_2=52500\times 1,05=55125$ DH.
   2. Pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $C_{n+1}=C_n+0,05C_n=1,05C_n$. Donc $(C_n)$ est une suite géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $C_0=50000$, d'où $C_n=50000\times 1,05^n$.
   3. $1,05^4=1,21550625$, donc $C_4=50000\times 1,21550625=60775,3125\approx 60775,31$ DH.
   4. À intérêts simples, l'intérêt annuel est toujours calculé sur le capital initial : $50000\times 0,05=2500$ DH par an. Donc $D_{n+1}=D_n+2500$ : $(D_n)$ est une suite arithmétique de raison $2500$ et de premier terme $50000$, d'où $D_n=50000+2500n$. $D_4=50000+10000=60000$ DH. Comparaison : $C_4-D_4\approx 775,31$ DH. Sur $4$ ans, le placement à intérêts composés rapporte environ $775,31$ DH de plus que le placement à intérêts simples.
   5. La suite $(C_n)$ est strictement croissante (raison $1,05>1$ et premier terme positif). À la calculatrice : $C_6=50000\times 1,05^6\approx 67004,78<70000$ et $C_7=50000\times 1,05^7\approx 70355,02>70000$. Donc le plus petit entier cherché est $n=7$ : le capital dépasse $70000$ DH après $7$ années de placement.
   6. (a) Juste après le $n$ᵉ versement, le dernier versement n'a pas encore produit d'intérêt et vaut $10000$ ; l'avant-dernier a été placé une année et vaut $10000\times 1,05$ ; et ainsi de suite jusqu'au premier versement, placé $n-1$ années, qui vaut $10000\times 1,05^{n-1}$. En additionnant : $V_n=10000(1+1,05+1,05^2+\dots +1,05^{n-1})$. La parenthèse est la somme de $n$ termes consécutifs d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $1,05$ : $1+1,05+\dots +1,05^{n-1}=\frac{1-1,05^n}{1-1,05}=\frac{1,05^n-1}{0,05}$. Donc $V_n=10000\times \frac{1,05^n-1}{0,05}=200000(1,05^n-1)$. (b) $V_4=200000\times (1,21550625-1)=200000\times 0,21550625=43101,25$ DH.

3. Exercice 3Barycentre7 pts

   Chapitre : Le barycentre dans le plan

   Soit $ABC$ un triangle.

   1. Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A,2)$ et $(B,1)$. Montrer que $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et construire le point $G$. (1 pt)
   2. Soit $I$ le barycentre des points pondérés $(A,2)$, $(B,1)$ et $(C,3)$. Montrer, en utilisant l'associativité du barycentre, que $I$ est le milieu du segment $[GC]$. Construire le point $I$. (1,5 pt)
   3. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AI}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. (1 pt)
   4. Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ dans lequel $A(1;2)$, $B(7;2)$ et $C(1;8)$. Calculer les coordonnées des points $G$ et $I$. (1 pt)
   5. Montrer que pour tout point $M$ du plan : $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=6\overrightarrow{MI}$. (1 pt)
   6. Déterminer et construire l'ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que $\Vert 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\Vert =12$. (1 pt)
   7. Déterminer l'ensemble $(F)$ des points $M$ du plan tels que le vecteur $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}$ soit colinéaire au vecteur $\overrightarrow{AB}$. (0,5 pt)
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   1. Par définition du barycentre, $2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}$. D'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}$, donc $2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$, soit $3\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{AB}$, c'est-à-dire $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$. Construction : $G$ est le point du segment $[AB]$ situé au tiers de $[AB]$ à partir de $A$.
   2. Comme $2+1=3\ne 0$, le théorème d'associativité permet de remplacer les points pondérés $(A,2)$ et $(B,1)$ par leur barycentre $G$ affecté du poids $2+1=3$ : $I$ est le barycentre de $(G,3)$ et $(C,3)$. Donc $3\overrightarrow{IG}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$, soit $\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ : $I$ est le milieu de $[GC]$. Construction : on trace le segment $[GC]$ et on place son milieu $I$.
   3. D'après la propriété de caractérisation du barycentre, pour tout point $M$ : $\overrightarrow{MI}=\frac{2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}}{2+1+3}$. Avec $M=A$ : $\overrightarrow{AI}=\frac{2\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{6}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
   4. Coordonnées de $G$ : $x_G=\frac{2x_A+x_B}{3}=\frac{2+7}{3}=3$ et $y_G=\frac{2y_A+y_B}{3}=\frac{4+2}{3}=2$ : $G(3;2)$. Coordonnées de $I$ : $x_I=\frac{2x_A+x_B+3x_C}{6}=\frac{2+7+3}{6}=2$ et $y_I=\frac{2y_A+y_B+3y_C}{6}=\frac{4+2+24}{6}=5$ : $I(2;5)$. Vérification : le milieu de $[GC]$ a pour coordonnées $(\frac{3+1}{2};\frac{2+8}{2})=(2;5)$, ce qui confirme la question 2.
   5. Soit $M$ un point du plan. D'après la relation de Chasles : $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})+3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})$ $=6\overrightarrow{MI}+(2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC})=6\overrightarrow{MI}$, car $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ par définition du barycentre $I$.
   6. D'après la question 5 : $\Vert 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\Vert =12\iff \Vert 6\overrightarrow{MI}\Vert =12\iff 6MI=12\iff MI=2$. Donc $(E)$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $2$. On le construit au compas, centre $I$ et rayon $2$ (dans le repère de la question 4, il passe par exemple par le point $(4;5)$).
   7. D'après la question 5, le vecteur $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=6\overrightarrow{MI}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ si et seulement si $\overrightarrow{MI}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$, c'est-à-dire si et seulement si $M$ appartient à la droite passant par $I$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$. Donc $(F)$ est la droite passant par $I$ et parallèle à $(AB)$ (dans le repère de la question 4, c'est la droite d'équation $y=5$).