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2ème Bac Sciences Économiques
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Mathématiques financières

Intérêts simples et composés, taux équivalents, actualisation, annuités constantes (valeur acquise, valeur actuelle), emprunt à annuités constantes et tableau d'amortissement. 2 séries d'exercices corrigés.

Plan du chapitre

Voici les notions abordées dans ce chapitre. Pour le contenu détaillé avec démonstrations, exemples et figures, ouvre le PDF du cours ci-dessous.

  1. Intérêts simples

    La suite (Cn) est de raison C t : le capital croît d'une quantité fixe à chaque période. Les intérêts ne produisent pas eux-mêmes d'intérêt.

  2. Intérêts composés

    • Retrouver une durée : le logarithme

      Quand l'inconnue est le nombre de périodes n, on prend le logarithme des deux membres (la fonction ln est strictement croissante) : C (1 + t)^n ≥ A ≤⇒ n ln(1 + t) ≥ ln(A/C) ≤⇒ n ≥ (ln(A/C))/(ln(1 + t)).

    • Taux équivalents

  3. Actualisation : valeur actuelle

    Recevoir 10 000 DH aujourd'hui ou dans trois ans, ce n'est pas équivalent : placés dès aujourd'hui, ils rapporteraient des intérêts. L' ramène une somme future à sa valeur d'aujourd'hui.

  4. Annuités constantes

  5. Emprunt à annuités constantes

    Un emprunt de C DH remboursé par n annuités constantes a au taux i vérifie : la valeur actuelle des annuités est égale au capital emprunté.

    • Tableau d'amortissement

      Chaque annuité se décompose en et (la part qui rembourse réellement le capital).

  6. Ce qu'il faut retenir

    Intérêts simples : Cn = C(1 + n t), suite arithmétique. Intérêts composés : Cn = C(1 + t)^n, suite géométrique ; durée par le logarithme : n ≥ ln(A/C) / ln(1 + t). Taux équivalents : (1 + tm)¹2 = 1 + ta. Valeur actuelle : V0 = Vn (1 + t)^(-n). Annuités constantes : valeur acquise a((1 + i)^n - 1)/i, valeur actuelle a(1 - (1 + i)^(-n))/i. Emprunt : a = C i/(1 - (1 + i)^(-n)) ; intérêt = i × capital restant dû ; amortissement = a - intérêt.

Exercices type bac corrigés

5 exercices dans l'esprit des sujets de bac, avec correction détaillée. Cherche d'abord, puis ouvre la correction. La version PDF (mise en page complète) est dans les documents ci-dessous.

  1. Placement à intérêts composés

    Un capital de 40 000 DH est placé à intérêts composés au taux annuel de 4 %. On note C_n le capital acquis après n années.

    1. Justifier que (C_n) est une suite géométrique et exprimer C_n en fonction de n.
    2. Calculer C_6 (on donne 1,04⁶ ≈ 1,26532).
    3. À partir de quelle année le capital dépasse-t-il 60 000 DH ? (On donne ln 1,5 ≈ 0,4055 et ln 1,04 ≈ 0,0392.)
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    1. Chaque année le capital est multiplié par 1,04 : C_(n+1) = 1,04 C_n. (C_n) est géométrique de raison 1,04 et de premier terme C_0 = 40 000, donc C_n = 40 000 × 1,04^n.
    2. C_6 ≈ 40 000 × 1,26532 ≈ 50 612,80 DH.
    3. C_n ≥ 60 000 ≤⇒ 1,04^n ≥ 1,5 ≤⇒ n ≥ (ln 1,5)/(ln 1,04) ≈ 10,3. Le capital dépasse 60 000 DH à partir de la 11ᵉ année.

  2. Intérêts simples ou intérêts composés ?

    Un capital C peut être placé soit à 5 % par an à intérêts simples (placement A), soit à 4 % par an à intérêts composés (placement B).

    1. Exprimer en fonction de n les valeurs acquises A_n et B_n après n années.
    2. Quel placement est le plus avantageux au bout de 10 ans ? de 15 ans ? (On donne 1,04¹0 ≈ 1,4802 et 1,04¹5 ≈ 1,8009.)
    3. Sachant que 1,04¹1 ≈ 1,5395 et 1,04¹2 ≈ 1,6010, déterminer à partir de quelle année le placement B devient le plus avantageux.
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    1. A_n = C(1 + 0,05 n) et B_n = C × 1,04^n.
    2. Après 10 ans : A_10 = 1,5 C et B_10 ≈ 1,4802 C : A est plus avantageux. Après 15 ans : A_15 = 1,75 C et B_15 ≈ 1,8009 C : B est plus avantageux.
    3. Après 11 ans : A_11 = 1,55 C > 1,5395 C ; après 12 ans : A_12 = 1,60 C < 1,6010 C. Le placement B devient le plus avantageux à partir de la 12ᵉ année.

  3. Épargne par annuités constantes

    Une personne verse 6 000 DH à la fin de chaque année pendant 5 ans sur un compte rémunéré à 3,5 % (on donne 1,035⁵ ≈ 1,18769).

    1. Calculer la valeur acquise juste après le cinquième versement.
    2. Quelle annuité constante faudrait-il verser, dans les mêmes conditions, pour disposer de 40 000 DH après le cinquième versement ?
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    1. V_5 = 6 000 × (1,035⁵ - 1)/(0,035) ≈ 6 000 × 0,18769/(0,035) ≈ 6 000 × 5,3626 ≈ 32 175,43 DH.
    2. a × (1,035⁵ - 1)/(0,035) = 40 000 donne a = (40 000 × 0,035)/(0,18769) ≈ 1 400/(0,18769) ≈ 7 459,11 DH.

  4. Emprunt à annuités constantes

    Une entreprise emprunte 200 000 DH remboursables par 10 annuités constantes de fin d'année au taux de 5 % (on donne 1,05^(-10) ≈ 0,61391).

    1. Calculer l'annuité.
    2. Calculer le coût total du crédit.
    3. Calculer l'intérêt et l'amortissement de la première annuité, puis de la deuxième.
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    1. a = (200 000 × 0,05)/(1 - 1,05^(-10)) ≈ 10 000/(0,38609) ≈ 25 900,70 DH.
    2. Total remboursé : 10 × 25 900,70 = 259 007 DH ; coût du crédit ≈ 59 007 DH.
    3. Première annuité : intérêt I_1 = 0,05 × 200 000 = 10 000 DH, amortissement m_1 = 25 900,70 - 10 000 = 15 900,70 DH. Capital restant dû : 184 099,30 DH. Deuxième annuité : I_2 = 0,05 × 184 099,30 ≈ 9 204,97 DH et m_2 ≈ 16 695,73 DH (on vérifie m_2 ≈ m_1 × 1,05).

  5. Actualisation et choix entre deux offres

    Une personne a le choix entre recevoir 30 000 DH aujourd'hui ou 34 000 DH dans 3 ans.

    1. Quelle offre est la plus intéressante si le taux d'actualisation est de 4 % ? (On donne 1,04³ = 1,124864.)
    2. Même question avec un taux de 5 % (1,05³ = 1,157625).
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    1. Valeur actuelle de 34 000 DH dans 3 ans à 4 % : 34 000/(1,124864) ≈ 30 225,88 DH > 30 000 : il vaut mieux attendre les 34 000 DH.
    2. À 5 % : 34 000/(1,157625) ≈ 29 370,46 DH < 30 000 : il vaut mieux prendre les 30 000 DH aujourd'hui. Plus le taux est élevé, plus l'argent futur est « déprécié ».

Documents

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