Suites et placement financier, dénombrement, étude d'une fonction logarithme

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Suites numériques et placement financier4 pts

   Chapitres : Suites numériques (convergence + finance) · Mathématiques financières

   Une entreprise place un capital de 50 000 DH à intérêts composés au taux annuel de $3\%$. On note $C_n$ le capital acquis après $n$ années.

   1. Calculer $C_1$ et $C_2$.
   2. Justifier que $(C_n)$ est une suite géométrique et exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
   3. Calculer $C_5$ (arrondir au dirham).
   4. À partir de quelle année le capital dépasse-t-il 70 000 DH ?
   5. L'entreprise décide plutôt de verser 2 000 DH à la fin de chaque année pendant $5$ ans sur un compte au même taux. Montrer que la valeur acquise juste après le cinquième versement est $V=2000\times \frac{1,03^5-1}{0,03}$ et la calculer (arrondir au dirham).
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   1. $C_1=50000\times 1,03=51500$ DH et $C_2=51500\times 1,03=53045$ DH.
   2. Chaque année le capital est multiplié par $1,03$ : $C_{n+1}=1,03C_n$. $(C_n)$ est géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $50000$, donc $C_n=50000\times 1,03^n$.
   3. $C_5=50000\times 1,03^5\approx 50000\times 1,15927\approx 57964$ DH.
   4. $C_n\ge 70000\iff 1,03^n\ge 1,4\iff n\ln 1,03\ge \ln 1,4\iff n\ge \frac{0,3365}{0,0296}\approx 11,4$. Le capital dépasse 70 000 DH à partir de la $12$ᵉ année.
   5. Le premier versement est capitalisé $4$ ans, le deuxième $3$ ans, … , le cinquième $0$ an : $V=2000(1,03^4+1,03^3+1,03^2+1,03+1)$, somme de $5$ termes d'une suite géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $1$ : $V=2000\times \frac{1,03^5-1}{1,03-1}$. Numériquement $V\approx 2000\times \frac{0,15927}{0,03}\approx 10618$ DH.

2. Exercice 2Dénombrement et probabilités4 pts

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   Une entreprise compte $12$ employés : $7$ femmes et $5$ hommes. On choisit au hasard un comité de $3$ personnes.

   1. Combien de comités différents peut-on former ?
   2. Calculer la probabilité de l'événement $A$ : « le comité ne comporte que des femmes ».
   3. Calculer la probabilité de l'événement $B$ : « le comité comporte au moins un homme ».
   4. Calculer la probabilité de l'événement $C$ : « le comité comporte exactement deux femmes ».
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   1. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}\right)=\frac{12\times 11\times 10}{3\times 2\times 1}=220$ comités.
   2. $P(A)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)}{220}=\frac{35}{220}=\frac{7}{44}$.
   3. $B$ est l'événement contraire de $A$ : $P(B)=1-\frac{7}{44}=\frac{37}{44}$.
   4. Deux femmes parmi $7$ et un homme parmi $5$ : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)=21\times 5=105$ comités. $P(C)=\frac{105}{220}=\frac{21}{44}$.

3. Exercice 3Étude d'une fonction12 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral

   Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty [$ par $f(x)=x-1-\ln x$, et $(\mathcal{C})$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 2 cm).

   Partie A.

   1. Calculer ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)$ et interpréter graphiquement.
   2. Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$.
   3. Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)/x$ et ${\lim }_{x\to +\infty }(f(x)-x)$ ; interpréter graphiquement.
   4. Montrer que pour tout $x>0$ : $f^{\prime }(x)=\frac{x-1}{x}$.
   5. Dresser le tableau de variations de $f$.
   6. En déduire le signe de $f(x)$ sur $]0,+\infty [$.

   Partie B.

   1. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $e$.
   2. Tracer $(T)$ et $(\mathcal{C})$.

   Partie C.

   1. Montrer que la fonction $G:x\to x\ln x-x$ est une primitive de $\ln$ sur $]0,+\infty [$.
   2. Calculer ${\int }_1^e\ln x\mathrm{d}x$.
   3. En déduire ${\int }_1^{e}f(x)\mathrm{d}x$, puis l'aire, en cm${}^2$, du domaine délimité par $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=e$ (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, avec $e\approx 2,718$).
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   Partie A.

   1. ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$, donc ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale à $(\mathcal{C})$.
   2. $f(x)=x(1-\frac{1}{x}-\frac{\ln x}{x})$ ; comme $\frac{\ln x}{x}\to 0$, la parenthèse tend vers $1$ et ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.
   3. $f(x)/x=1-\frac{1}{x}-\frac{\ln x}{x}\to 1$ et $f(x)-x=-1-\ln x\to -\infty$ : $(\mathcal{C})$ admet une branche parabolique de direction la droite $y=x$.
   4. $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$.
   5. Sur $]0,+\infty [$, $f^{\prime }(x)$ a le signe de $x-1$ : $f$ est décroissante sur $]0,1]$ et croissante sur $[1,+\infty [$, avec un minimum $f(1)=0$.
   6. Pour tout $x>0$, $f(x)\ge f(1)=0$, avec égalité seulement en $x=1$.

   Partie B.

   1. $f(e)=e-2$ et $f^{\prime }(e)=1-\frac{1}{e}$ : $(T):y=(1-\frac{1}{e})(x-e)+e-2=(1-\frac{1}{e})x-1$.
   2. Tracé : asymptote verticale $x=0$, minimum $(1,0)$ où la courbe est tangente à l'axe des abscisses, croissance ensuite, branche parabolique de direction $y=x$.

   Partie C.

   1. $G^{\prime }(x)=\ln x+x\times \frac{1}{x}-1=\ln x$.
   2. ${\int }_1^e\ln x\mathrm{d}x=G(e)-G(1)=(e-e)-(0-1)=1$.
   3. ${\int }_1^{e}f(x)\mathrm{d}x=[\frac{x^2}{2}-x{]}_1^e-1=(\frac{e^2}{2}-e)-(\frac{1}{2}-1)-1=\frac{e^2}{2}-e-\frac{1}{2}$. Comme $f\ge 0$, c'est l'aire du domaine en unités d'aire ; l'unité d'aire vaut $4$ cm${}^2$, donc l'aire est $2e^2-4e-2\approx 14,78-10,87-2\approx 1,90$ cm${}^2$.