Mathématiques financières, probabilités et étude d'une fonction exponentielle (examen blanc)

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Calcul des probabilités5 pts

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   Une agence bancaire a reçu $8$ dossiers de crédit, dont $3$ présentent une anomalie. Un auditeur choisit au hasard et simultanément $2$ dossiers parmi les $8$ pour les contrôler.

   1. Calculer la probabilité de l'événement $A$ : « aucun des deux dossiers contrôlés ne présente d'anomalie ». (0,75 pt)
   2. En déduire la probabilité de l'événement $B$ : « au moins un des deux dossiers contrôlés présente une anomalie ». (0,5 pt)
   3. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de dossiers présentant une anomalie parmi les deux dossiers contrôlés. (a) Déterminer la loi de probabilité de $X$. (1,25 pt) (b) Calculer l'espérance $E(X)$. (0,5 pt)
   4. Par ailleurs, on estime que chaque dossier de crédit déposé dans cette agence a une probabilité $0,1$ d'être refusé, indépendamment des autres dossiers. On considère $5$ dossiers déposés et on note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de dossiers refusés parmi ces $5$. (a) Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. (0,5 pt) (b) Calculer $P(Y=2)$ et $P(Y\ge 1)$ (arrondir à $10^{-4}$ près). (1 pt) (c) Calculer $E(Y)$ et interpréter ce résultat. (0,5 pt)
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   L'auditeur choisit simultanément $2$ dossiers parmi $8$ : l'univers est l'ensemble des combinaisons de $2$ dossiers parmi $8$, tous équiprobables, et $\mathrm{card}\Omega =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=\frac{8\times 7}{2}=28$.

   1. $A$ est réalisé lorsque les deux dossiers sont choisis parmi les $5$ dossiers sans anomalie : $\mathrm{card}A=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$, donc $P(A)=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$.
   2. $B$ est l'événement contraire de $A$ : $P(B)=1-P(A)=1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}$.
   3. (a) $X$ prend les valeurs $0$, $1$ et $2$. $P(X=0)=P(A)=\frac{5}{14}$ ; $P(X=1)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)}{28}=\frac{3\times 5}{28}=\frac{15}{28}$ (un dossier avec anomalie parmi $3$ et un dossier sans anomalie parmi $5$) ; $P(X=2)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)}{28}=\frac{3}{28}$. Vérification : $\frac{10}{28}+\frac{15}{28}+\frac{3}{28}=\frac{28}{28}=1$. (b) $E(X)=0\times \frac{5}{14}+1\times \frac{15}{28}+2\times \frac{3}{28}=\frac{15}{28}+\frac{6}{28}=\frac{21}{28}=\frac{3}{4}$.
   4. (a) On répète $5$ fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli dont le succès « le dossier est refusé » a pour probabilité $p=0,1$. La variable $Y$ qui compte le nombre de succès suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,1$. (b) $P(Y=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\times 0,1^2\times 0,9^3=10\times 0,01\times 0,729=0,0729$. $P(Y\ge 1)=1-P(Y=0)=1-0,9^5=1-0,59049=0,40951\approx 0,4095$. (c) $E(Y)=np=5\times 0,1=0,5$. Interprétation : sur un grand nombre de séries de $5$ dossiers, il y a en moyenne $0,5$ dossier refusé par série, soit un dossier refusé pour dix dossiers déposés.

2. Exercice 2Mathématiques financières6 pts

   Chapitres : Mathématiques financières · Suites numériques (convergence + finance)

   Partie A : placement. Une entreprise place $80000$ DH sur un compte rémunéré à intérêts composés au taux annuel de $5\%$. On note $C_n$ la valeur acquise après $n$ années.

   1. Exprimer $C_n$ en fonction de $n$ et calculer la valeur acquise après $3$ ans. (0,75 pt)
   2. Au bout de combien d'années la valeur acquise dépassera-t-elle $120000$ DH ? (1 pt)
   3. Calculer le taux mensuel équivalent au taux annuel de $5\%$ (arrondir à $10^{-3}\%$ près) et le comparer au taux mensuel proportionnel. (0,75 pt)

   Partie B : emprunt. Pour financer l'achat d'une machine, cette entreprise emprunte $150000$ DH, remboursables par $3$ annuités constantes de fin d'année, au taux annuel de $4\%$.

   1. Montrer que l'annuité vaut $a\approx 54052,28$ DH. (1 pt)
   2. Dresser le tableau d'amortissement de cet emprunt (capital restant dû en début de période, intérêt, amortissement, annuité). (1,5 pt)
   3. Calculer le coût total du crédit. (0,5 pt)
   4. Vérifier que le deuxième amortissement s'obtient en multipliant le premier par $1,04$. Expliquer pourquoi. (0,5 pt)
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   Partie A : placement.

   1. À intérêts composés, le capital est multiplié par $1+0,05=1,05$ chaque année : $(C_n)$ est géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $C_0=80000$, donc $C_n=80000\times 1,05^n$. Après $3$ ans : $C_3=80000\times 1,05^3=80000\times 1,157625=92610$ DH.
   2. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $C_n>120000$ : $80000\times 1,05^n>120000\iff 1,05^n>1,5\iff n\ln 1,05>\ln 1,5\iff n>\frac{\ln 1,5}{\ln 1,05}$ (la fonction $\ln$ est strictement croissante et $\ln 1,05>0$). Or $\frac{\ln 1,5}{\ln 1,05}\approx \frac{0,4055}{0,0488}\approx 8,31$, donc $n\ge 9$. La valeur acquise dépassera $120000$ DH au bout de $9$ ans.
   3. Le taux mensuel équivalent $t_m$ vérifie $(1+t_m{)}^{12}=1,05$, donc $t_m=1,05^{\frac{1}{12}}-1\approx 1,00407-1=0,00407$, soit environ $0,407\%$ par mois. Le taux mensuel proportionnel est $5\%/12\approx 0,417\%$. Le taux équivalent est légèrement inférieur au taux proportionnel, car à intérêts composés les intérêts mensuels sont eux-mêmes capitalisés.

   Partie B : emprunt.

   1. Le capital emprunté est la valeur actuelle des $3$ annuités : $C=a\cdot \frac{1-(1+i{)}^{-3}}{i}$ avec $C=150000$ et $i=0,04$, d'où $a=\frac{Ci}{1-1,04^{-3}}$. En multipliant numérateur et dénominateur par $1,04^3$ : $a=\frac{150000\times 0,04\times 1,04^3}{1,04^3-1}=\frac{6000\times 1,124864}{0,124864}=\frac{6749,184}{0,124864}\approx 54052,28$ DH.
   2. Pour chaque année : intérêt $=0,04\times$ capital restant dû, amortissement $=a-$ intérêt, nouveau capital restant dû $=$ capital restant dû $-$ amortissement. Année 1 : intérêt $0,04\times 150000=6000$ ; amortissement $54052,28-6000=48052,28$ ; capital restant dû $150000-48052,28=101947,72$. Année 2 : intérêt $0,04\times 101947,72\approx 4077,91$ ; amortissement $54052,28-4077,91=49974,37$ ; capital restant dû $101947,72-49974,37=51973,35$. Année 3 : intérêt $0,04\times 51973,35\approx 2078,93$ ; amortissement $54052,28-2078,93=51973,35$, qui solde exactement le capital restant dû.

   Année	Capital restant dû	Intérêt	Amortissement	Annuité
   1	150 000,00	6 000,00	48 052,28	54 052,28
   2	101 947,72	4 077,91	49 974,37	54 052,28
   3	51 973,35	2 078,93	51 973,35	54 052,28

   Vérification : la somme des amortissements vaut $48052,28+49974,37+51973,35=150000$ DH, le capital emprunté.

   1. Total remboursé : $3\times 54052,28=162156,84$ DH. Le coût du crédit est $162156,84-150000=12156,84$ DH (c'est aussi la somme des intérêts : $6000+4077,91+2078,93=12156,84$).
   2. $48052,28\times 1,04=49974,37$ : on retrouve bien le deuxième amortissement. Explication : notons $K_{k-1}$ le capital restant dû au début de l'année $k$, $I_k=i{K}_{k-1}$ l'intérêt et $m_k=a-I_k$ l'amortissement. Comme $K_k=K_{k-1}-m_k$ : $m_{k+1}=a-i{K}_k=a-i{K}_{k-1}+i{m}_k=m_k+i{m}_k=(1+i)m_k$. Les amortissements forment donc une suite géométrique de raison $1+i=1,04$.

3. Exercice 3Problème d'analyse : étude d'une fonction exponentielle et calcul d'aire9 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral · Limites et continuité

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x{e}^{-x}+1$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 2 cm).

   Partie A.

   1. Calculer ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$. (0,75 pt)
   2. Montrer que ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$ et en déduire que la droite $(\Delta )$ d'équation $y=1$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$. (1 pt)
   3. Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et de $(\Delta )$. (0,75 pt)
   4. Montrer que pour tout réel $x$ : $f^{\prime }(x)=(1-x)e^{-x}$. (0,75 pt)
   5. Dresser le tableau de variations de $f$. (1 pt)
   6. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $0$. (0,5 pt)
   7. (a) Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$, et que $\alpha \in ]-\infty ,0[$. (0,75 pt) (b) Vérifier que $-0,6<\alpha <-0,5$. (0,5 pt)
   8. Tracer $(\Delta )$, $(T)$ et $(\mathcal{C})$ (on prendra $f(-1)\approx -1,7$, $f(1)\approx 1,4$ et $f(3)\approx 1,1$). (1 pt)

   Partie B.

   1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que ${\int }_0^{1}x{e}^{-x}\mathrm{d}x=1-\frac{2}{e}$. (1 pt)
   2. En déduire l'aire, en cm${}^2$, du domaine délimité par $(\mathcal{C})$, la droite $(\Delta )$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ (donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près). (1 pt)
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   Partie A.

   1. Quand $x\to -\infty$ : $e^{-x}\to +\infty$ (car $-x\to +\infty$) et $x\to -\infty$, donc $x{e}^{-x}\to -\infty$ par produit, et ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$.
   2. Pour tout réel $x$, $x{e}^{-x}=\frac{x}{e^x}$. Par croissance comparée, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{e^x}{x}=+\infty$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x}{e^x}=0$ et ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0+1=1$. Comme ${\lim }_{x\to +\infty }(f(x)-1)={\lim }_{x\to +\infty }x{e}^{-x}=0$, la droite $(\Delta ):y=1$ est une asymptote horizontale à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$.
   3. $f(x)-1=x{e}^{-x}$ et $e^{-x}>0$, donc $f(x)-1$ a le signe de $x$ : sur $]0,+\infty [$, $f(x)>1$ et $(\mathcal{C})$ est au-dessus de $(\Delta )$ ; sur $]-\infty ,0[$, $f(x)<1$ et $(\mathcal{C})$ est en dessous de $(\Delta )$ ; les deux se coupent au point $(0,1)$.
   4. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme et produit de fonctions dérivables, avec $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$ : $f^{\prime }(x)=1\times e^{-x}+x\times (-e^{-x})+0=(1-x)e^{-x}$.
   5. Comme $e^{-x}>0$, $f^{\prime }(x)$ a le signe de $1-x$ : $f^{\prime }(x)>0$ pour $x<1$, $f^{\prime }(1)=0$ et $f^{\prime }(x)<0$ pour $x>1$. De plus $f(1)=e^{-1}+1=1+\frac{1}{e}$. Tableau de variations : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ,1]$, de $-\infty$ à $1+\frac{1}{e}$, puis strictement décroissante sur $[1,+\infty [$, de $1+\frac{1}{e}$ à $1$ (limite non atteinte). Elle admet un maximum égal à $1+\frac{1}{e}\approx 1,37$ en $x=1$.
   6. $f(0)=0+1=1$ et $f^{\prime }(0)=(1-0)e^0=1$, donc $(T):y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)$, soit $(T):y=x+1$.
   7. (a) Sur $[1,+\infty [$, $f(x)\ge 1>0$ d'après le tableau de variations : l'équation $f(x)=0$ n'y a pas de solution. Sur $]-\infty ,1]$, $f$ est continue et strictement croissante. Comme ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$, il existe un réel $b<0$ tel que $f(b)<0$ ; et $f(0)=1>0$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur $[b,0]$, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $]b,0[$ ; cette solution est unique sur $]-\infty ,1]$ car $f$ y est strictement croissante. L'équation $f(x)=0$ admet donc une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$, et $\alpha \in ]b,0[\subset ]-\infty ,0[$. (b) $f(-0,6)=-0,6e^{0,6}+1\approx -0,6\times 1,822+1\approx -0,093<0$ et $f(-0,5)=-0,5e^{0,5}+1\approx -0,5\times 1,649+1\approx 0,176>0$. Ainsi $f(-0,6)<f(\alpha )<f(-0,5)$ et, $f$ étant strictement croissante sur $]-\infty ,1]$, on obtient $-0,6<\alpha <-0,5$.
   8. Tracé : on place l'asymptote $(\Delta ):y=1$, la tangente $(T):y=x+1$ au point $(0,1)$ (qui est aussi le point où $(\mathcal{C})$ traverse $(\Delta )$), le maximum $(1,1+\frac{1}{e})\approx (1;1,37)$ avec sa tangente horizontale, le point d'abscisse $\alpha \approx -0,55$ où $(\mathcal{C})$ coupe l'axe des abscisses, et les points $(-1;-1,7)$ et $(3;1,1)$. À gauche, la courbe descend vers $-\infty$ ; à droite, elle se rapproche de $(\Delta )$ en restant au-dessus.

   Partie B.

   1. On pose $u(x)=x$ et $v^{\prime }(x)=e^{-x}$ ; alors $u^{\prime }(x)=1$ et $v(x)=-e^{-x}$. Ces fonctions sont dérivables à dérivées continues sur $[0,1]$, et la formule d'intégration par parties donne : ${\int }_0^{1}x{e}^{-x}\mathrm{d}x=[-x{e}^{-x}{]}_0^1-{\int }_0^1(-e^{-x})\mathrm{d}x=-e^{-1}+{\int }_0^1{e}^{-x}\mathrm{d}x=-\frac{1}{e}+[-e^{-x}{]}_0^1=-\frac{1}{e}+(-\frac{1}{e}+1)=1-\frac{2}{e}$.
   2. Sur $[0,1]$, $f(x)-1=x{e}^{-x}\ge 0$ : $(\mathcal{C})$ est au-dessus de $(\Delta )$ (question 3). L'aire du domaine est donc, en unités d'aire, ${\int }_0^1(f(x)-1)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}x{e}^{-x}\mathrm{d}x=1-\frac{2}{e}$. L'unité graphique étant $2$ cm sur chaque axe, l'unité d'aire vaut $4$ cm${}^2$, d'où une aire égale à $4(1-\frac{2}{e})=4-\frac{8}{e}$ cm${}^2$. Valeur approchée : $4-\frac{8}{2,718}\approx 4-2,943\approx 1,06$ cm${}^2$.