Suites, nombres complexes, probabilités et problème d'analyse

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Suites numériques3 pts

   Chapitre : Suites numériques

   Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=2$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}=\frac{3u_n}{1+2u_n}$.

   1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
   2. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n>1$.
   3. Montrer que $u_{n+1}-u_n=\frac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}$ et en déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante.
   4. En déduire que $(u_n)$ est convergente.
   5. On pose $v_n=\frac{u_n-1}{u_n}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et préciser $v_0$.
   6. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$, et calculer $\lim u_n$.
   Voir la correction

   1. $u_1=\frac{6}{5}=1,2$ et $u_2=\frac{3\times 1,2}{1+2,4}=\frac{3,6}{3,4}=\frac{18}{17}\approx 1,06$.
   2. Initialisation : $u_0=2>1$. Hérédité : supposons $u_n>1$. Alors $u_{n+1}-1=\frac{3u_n-1-2u_n}{1+2u_n}=\frac{u_n-1}{1+2u_n}>0$ car $u_n-1>0$ et $1+2u_n>0$. Donc $u_{n+1}>1$. Conclusion : $u_n>1$ pour tout $n$.
   3. $u_{n+1}-u_n=\frac{3u_n-u_n(1+2u_n)}{1+2u_n}=\frac{2u_n-2u_n^2}{1+2u_n}=\frac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}$. Comme $u_n>1$, $1-u_n<0$ tandis que $2u_n>0$ et $1+2u_n>0$ : la différence est strictement négative. La suite est strictement décroissante.
   4. Décroissante et minorée par $1$, $(u_n)$ converge (théorème de la convergence monotone).
   5. $v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}}=(\frac{u_n-1}{1+2u_n})\times (\frac{1+2u_n}{3u_n})=\frac{u_n-1}{3u_n}=\frac{1}{3}{v}_n$. $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et $v_0=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$.
   6. $v_n=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}{)}^n$. De $v_n=1-\frac{1}{u_n}$ on tire $u_n=\frac{1}{1-v_n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}(\frac{1}{3}{)}^n}$. Comme $(\frac{1}{3}{)}^n\to 0$, $\lim u_n=1$.

2. Exercice 2Nombres complexes3 pts

   Chapitres : Nombres complexes (partie 1) · Nombres complexes (partie 2)

   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

   1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$.
   2. On pose $a=\sqrt{3}+i$. Écrire $a$ sous forme trigonométrique.
   3. Montrer que $a^6$ est un réel et calculer $a^{12}$.
   4. Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi }{3}$, et $A$ le point d'affixe $a$. Déterminer l'affixe $d$ du point $D=R(A)$ et en déduire la nature du triangle $OAD$.
   5. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z-a|=|z-\overline{a}|$.
   Voir la correction

   1. $\Delta =12-16=-4=(2i{)}^2$, donc $z=\frac{2\sqrt{3}\pm 2i}{2}$ : $S=\{\sqrt{3}+i,\sqrt{3}-i\}$.
   2. $|a|=\sqrt{3+1}=2$ et $a=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=2(\cos (\frac{\pi }{6})+i\sin (\frac{\pi }{6}))$ : $a=2e^{i\frac{\pi }{6}}$, d'argument $\frac{\pi }{6}$.
   3. $a^6=2^6{e}^{i\pi }=-64$, réel. $a^{12}=(a^6{)}^2=4096$.
   4. $d=e^{i\frac{\pi }{3}}a=2e^{i(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3})}=2e^{i\frac{\pi }{2}}=2i$. Une rotation conserve les distances : $OD=OA=2$, et l'angle $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD})=\frac{\pi }{3}$. Un triangle isocèle en $O$ dont l'angle au sommet vaut $\frac{\pi }{3}$ est équilatéral : $OAD$ est équilatéral (on vérifie $AD=|2i-\sqrt{3}-i|=|-\sqrt{3}+i|=2$).
   5. $|z-a|=AM$ et $|z-\overline{a}|=BM$ où $B$ est le point d'affixe $\overline{a}=\sqrt{3}-i$, symétrique de $A$ par rapport à l'axe des réels. L'ensemble cherché est la médiatrice de $[AB]$, c'est-à-dire l'axe des réels (droite $(O,\overrightarrow{u})$).

3. Exercice 3Probabilités3 pts

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes, indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules de l'urne.

   1. Calculer la probabilité des événements $R$ : « les deux boules sont rouges » et $V$ : « les deux boules sont vertes ».
   2. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance $E(X)$.
   3. On répète quatre fois de suite l'expérience précédente en remettant les deux boules dans l'urne après chaque tirage. Soit $Y$ le nombre de fois où l'on obtient deux boules rouges.

   • (a) Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   • (b) Calculer $P(Y=2)$ puis $P(Y\ge 1)$ (arrondir à $10^{-4}$).
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   1. Il y a $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ tirages équiprobables. $P(R)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)}{10}=\frac{3}{10}$ et $P(V)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)}{10}=\frac{1}{10}$.
   2. $X$ prend les valeurs $0,1,2$ : $P(X=0)=P(V)=\frac{1}{10}$, $P(X=2)=P(R)=\frac{3}{10}$, $P(X=1)=\frac{3\times 2}{10}=\frac{6}{10}$. $E(X)=0\times \frac{1}{10}+1\times \frac{6}{10}+2\times \frac{3}{10}=\frac{12}{10}=1,2$.
   3. (a) On répète $4$ fois, de façon indépendante (remise), une expérience dont le succès « deux boules rouges » a la probabilité $p=\frac{3}{10}$ : $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,3$. (b) $P(Y=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)(0,3{)}^2(0,7{)}^2=6\times 0,09\times 0,49=0,2646$. $P(Y\ge 1)=1-P(Y=0)=1-(0,7{)}^4=1-0,2401=0,7599$.

4. Exercice 4Problème d'analyse11 pts

   Chapitres : Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions · Calcul intégral

   Partie A. Soit $g$ la fonction définie sur $]0,+\infty [$ par $g(x)=x^2+1-\ln x$.

   1. Calculer $g^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $g$ (les limites ne sont pas demandées).
   2. En déduire que $g(x)>0$ pour tout $x>0$.

   Partie B. Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty [$ par $f(x)=x-1+\frac{\ln x}{x}$, et $(\mathcal{C})$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 2 cm).

   1. Calculer ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat.
   2. Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$.
   3. Montrer que la droite $(\Delta ):y=x-1$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$, puis étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et $(\Delta )$.
   4. Montrer que pour tout $x>0$ : $f^{\prime }(x)=g(x)/x^2$, et dresser le tableau de variations de $f$.
   5. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0,+\infty [$ et la déterminer.
   6. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $1$.
   7. Tracer $(\Delta )$, $(T)$ et $(\mathcal{C})$.

   Partie C.

   1. Montrer que la fonction $H:x\to \frac{1}{2}(\ln x{)}^2$ est une primitive de $x\to \frac{\ln x}{x}$ sur $]0,+\infty [$.
   2. Calculer $I={\int }_1^e\frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x$.
   3. En déduire, en cm${}^2$, l'aire du domaine délimité par $(\mathcal{C})$, $(\Delta )$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.
   4. Calculer $J={\int }_1^{e}f(x)\mathrm{d}x$.
   Voir la correction

   Partie A.

   1. $g^{\prime }(x)=2x-\frac{1}{x}=\frac{2x^2-1}{x}$, du signe de $2x^2-1$ sur $]0,+\infty [$ : $g$ est décroissante sur $]0,\frac{\sqrt{2}}{2}]$ et croissante sur $[\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty [$.
   2. Le minimum de $g$ vaut $g(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{1}{2}+1-\ln (\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\ln 2>0$. Donc $g(x)>0$ pour tout $x>0$.

   Partie B.

   1. ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$ et $\frac{1}{x}\to +\infty$, donc $\frac{\ln x}{x}\to -\infty$ et ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ : la droite $x=0$ (axe des ordonnées) est asymptote verticale à $(\mathcal{C})$.
   2. ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln x}{x}=0$ (croissances comparées) et $x-1\to +\infty$, donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.
   3. $f(x)-(x-1)=\frac{\ln x}{x}\to 0$ en $+\infty$ : $(\Delta )$ est asymptote oblique. Le signe de $f(x)-(x-1)=\frac{\ln x}{x}$ est celui de $\ln x$ : $(\mathcal{C})$ est au-dessous de $(\Delta )$ sur $]0,1[$, au-dessus sur $]1,+\infty [$, et les deux se coupent au point d'abscisse $1$.
   4. $f^{\prime }(x)=1+\frac{\frac{1}{x}\times x-\ln x}{x^2}=1+\frac{1-\ln x}{x^2}=\frac{x^2+1-\ln x}{x^2}=g(x)/x^2$. D'après la partie A, $f^{\prime }(x)>0$ : $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$, de $-\infty$ à $+\infty$.
   5. $f$ est continue et strictement croissante de $]0,+\infty [$ sur $\mathbb{R}$ : l'équation $f(x)=0$ a une unique solution. Comme $f(1)=0$, cette solution est $x=1$.
   6. $f(1)=0$ et $f^{\prime }(1)=g(1)=2$ : $(T):y=2(x-1)$.
   7. Tracé : asymptote verticale $x=0$, asymptote oblique $y=x-1$, passage par $(1,0)$ avec tangente de pente $2$, courbe croissante, au-dessus de $(\Delta )$ pour $x>1$.

   Partie C.

   1. $H^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\times 2\ln x\times \frac{1}{x}=\frac{\ln x}{x}$ : $H$ est une primitive de $x\to \frac{\ln x}{x}$.
   2. $I=[\frac{1}{2}(\ln x{)}^2{]}_1^e=\frac{1}{2}(1-0)=\frac{1}{2}$.
   3. Sur $[1,e]$, $(\mathcal{C})$ est au-dessus de $(\Delta )$, donc l'aire vaut ${\int }_1^e(f(x)-(x-1))\mathrm{d}x=I=\frac{1}{2}$ unité d'aire. L'unité d'aire vaut $2\times 2=4$ cm${}^2$ : l'aire est $2$ cm${}^2$.
   4. $J={\int }_1^e(x-1)\mathrm{d}x+I=[\frac{x^2}{2}-x{]}_1^e+\frac{1}{2}=(\frac{e^2}{2}-e)-(\frac{1}{2}-1)+\frac{1}{2}=\frac{e^2}{2}-e+1$.