Calcul intégral et équations différentielles

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Calcul intégral5 pts

   Chapitres : Calcul intégral · Fonctions primitives

   1. Calculer les intégrales suivantes : (a) $I_1={\int }_0^1(3x^2-2x+1)\mathrm{d}x$ ; (0,75 pt) (b) $I_2={\int }_1^e\frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x$ ; (0,75 pt) (c) $I_3={\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}\mathrm{d}x$. (0,75 pt)
   2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer : (a) $I_4={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\cos x\mathrm{d}x$ ; (1 pt) (b) $I_5={\int }_1^{e}x\ln x\mathrm{d}x$. (1 pt)
   3. Calculer la valeur moyenne de la fonction $x\to x^2$ sur l'intervalle $[0,3]$. (0,75 pt)
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   1. (a) Une primitive de $3x^2-2x+1$ est $x^3-x^2+x$, donc $I_1=[x^3-x^2+x{]}_0^1=(1-1+1)-0=1$. (b) $\frac{\ln x}{x}=u^{\prime }(x)u(x)$ avec $u(x)=\ln x$, $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ ; une primitive est $\frac{1}{2}(\ln x{)}^2$. Donc $I_2=[\frac{1}{2}(\ln x{)}^2{]}_1^e=\frac{1}{2}(\ln e{)}^2-\frac{1}{2}(\ln 1{)}^2=\frac{1}{2}$. (c) $\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{2}\times \frac{2x}{x^2+1}$ est de la forme $\frac{1}{2}{u}^{\prime }/u$ avec $u(x)=x^2+1>0$ ; une primitive est $\frac{1}{2}\ln (x^2+1)$. Donc $I_3=[\frac{1}{2}\ln (x^2+1){]}_0^1=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 1=\frac{\ln 2}{2}$.
   2. (a) On pose $u(x)=x$ et $v^{\prime }(x)=\cos x$, d'où $u^{\prime }(x)=1$ et $v(x)=\sin x$ ; $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[0,\frac{\pi }{2}]$. Par intégration par parties : $I_4=[x\sin x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}\sin (\frac{\pi }{2})-0-[-\cos x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{2}-(-\cos (\frac{\pi }{2})+\cos 0)=\frac{\pi }{2}-1$. (b) On pose $u(x)=\ln x$ et $v^{\prime }(x)=x$, d'où $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ et $v(x)=\frac{x^2}{2}$, fonctions dérivables à dérivées continues sur $[1,e]$ : $I_5=[\frac{x^2}{2}\ln x{]}_1^e-{\int }_1^e\frac{x^2}{2}\times \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\frac{e^2}{2}\ln e-\frac{1}{2}\ln 1-{\int }_1^e\frac{x}{2}\mathrm{d}x=\frac{e^2}{2}-[\frac{x^2}{4}{]}_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\frac{2e^2-e^2+1}{4}=\frac{e^2+1}{4}$.
   3. La valeur moyenne de $x\to x^2$ sur $[0,3]$ est $\mu =\frac{1}{3-0}{\int }_0^3{x}^2\mathrm{d}x=\frac{1}{3}[\frac{x^3}{3}{]}_0^3=\frac{1}{3}\times \frac{27}{3}=3$.

2. Exercice 2Équations différentielles5 pts

   Chapitres : Équations différentielles · Fonctions exponentielles

   1. Résoudre l'équation différentielle $(E_1):y^{\prime }=-2y$, puis déterminer la solution $f$ de $(E_1)$ telle que $f(0)=3$. (1 pt)
   2. Résoudre l'équation différentielle $(E_2):y^{\prime }+2y=6$, puis déterminer la solution $g$ de $(E_2)$ telle que $g(0)=1$. (1 pt)
   3. Résoudre l'équation différentielle $(E_3):y^{\prime \prime }+9y=0$, puis déterminer la solution $h$ de $(E_3)$ telle que $h(0)=2$ et $h^{\prime }(0)=-3$. (1,25 pt)
   4. Un médicament est injecté à un patient. On note $C(t)$ sa concentration dans le sang (en mg/L) à l'instant $t$ (en heures). On admet que $C$ est solution de l'équation différentielle $y^{\prime }=-0,2y$ et que $C(0)=10$. (a) Exprimer $C(t)$ en fonction de $t$. (0,5 pt) (b) Au bout de combien de temps la concentration est-elle divisée par deux ? Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $0,1$ h près. (0,75 pt) (c) Le médicament cesse d'agir lorsque la concentration devient inférieure à $1$ mg/L. Au bout de combien de temps cela se produit-il ? Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $0,1$ h près. (0,5 pt)
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   1. $(E_1)$ est de la forme $y^{\prime }=ay$ avec $a=-2$ : ses solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $y(x)=C{e}^{-2x}$, $C\in \mathbb{R}$. $f(0)=3\iff C{e}^0=3\iff C=3$. Donc $f(x)=3e^{-2x}$.
   2. $(E_2)$ s'écrit $y^{\prime }=-2y+6$, de la forme $y^{\prime }=ay+b$ avec $a=-2$ et $b=6$ : ses solutions sont $y(x)=C{e}^{-2x}-\frac{b}{a}=C{e}^{-2x}+3$, $C\in \mathbb{R}$ (la fonction constante $3$ est une solution particulière). $g(0)=1\iff C+3=1\iff C=-2$. Donc $g(x)=3-2e^{-2x}$. Vérification : $g^{\prime }(x)=4e^{-2x}$ et $g^{\prime }+2g=4e^{-2x}+6-4e^{-2x}=6$.
   3. $(E_3)$ est de la forme $y^{\prime \prime }+{\omega }^{2}y=0$ avec $\omega =3$ : ses solutions sur $\mathbb{R}$ sont $y(x)=A\cos (3x)+B\sin (3x)$, $A,B\in \mathbb{R}$. Alors $y^{\prime }(x)=-3A\sin (3x)+3B\cos (3x)$. $h(0)=2\iff A=2$ ; $h^{\prime }(0)=-3\iff 3B=-3\iff B=-1$. Donc $h(x)=2\cos (3x)-\sin (3x)$.
   4. (a) $C$ est solution de $y^{\prime }=-0,2y$, donc $C(t)=K{e}^{-0,2t}$ avec $K=C(0)=10$ : $C(t)=10e^{-0,2t}$. (b) On cherche $t$ tel que $C(t)=5$ : $10e^{-0,2t}=5\iff e^{-0,2t}=\frac{1}{2}\iff -0,2t=\ln (\frac{1}{2})=-\ln 2\iff t=\frac{\ln 2}{0,2}=5\ln 2$. La concentration est divisée par deux au bout de $5\ln 2\approx 3,5$ heures. (c) Comme $C$ est strictement décroissante (car $-0,2<0$), on cherche l'instant où $C(t)=1$ : $10e^{-0,2t}=1\iff e^{-0,2t}=\frac{1}{10}\iff -0,2t=-\ln 10\iff t=5\ln 10$. Le médicament cesse d'agir au bout de $5\ln 10\approx 11,5$ heures.

3. Exercice 3Problème d'analyse10 pts

   Chapitres : Fonctions exponentielles · Dérivation et étude des fonctions · Équations différentielles · Calcul intégral

   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+1)e^{-x}$, et $(\mathcal{C})$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 2 cm).

   Partie A. Étude de la fonction $f$.

   1. Calculer ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$, puis ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ et interpréter graphiquement ce dernier résultat. (1,25 pt)
   2. Montrer que pour tout réel $x$ : $f^{\prime }(x)=-x{e}^{-x}$, puis dresser le tableau de variations de $f$. (1,25 pt)
   3. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $-1$. (0,5 pt)
   4. Tracer $(T)$ et $(\mathcal{C})$ (on prendra $e\approx 2,7$). (0,75 pt)

   Partie B. Une équation différentielle. On considère l'équation différentielle $(E):y^{\prime }+y=e^{-x}$.

   1. Vérifier que $f$ est une solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt)
   2. Soit $g$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Montrer que $g$ est solution de $(E)$ si et seulement si la fonction $g-f$ est solution de l'équation $(E_0):y^{\prime }=-y$. (1 pt)
   3. En déduire toutes les solutions de $(E)$, puis déterminer la solution $g$ de $(E)$ telle que $g(0)=3$. (1 pt)

   Partie C. Calcul d'aire.

   1. Montrer que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=-(x+2)e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt)
   2. Calculer $J={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$, puis en déduire, en cm${}^2$, l'aire du domaine délimité par $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. (1,25 pt)
   3. Calculer ${\int }_0^1{e}^{-x}\mathrm{d}x$ et en déduire la valeur de $K={\int }_0^{1}x{e}^{-x}\mathrm{d}x$. (1 pt)
   4. (a) Montrer que pour tout $x\in [0,1]$ : $\frac{x+1}{e}\le f(x)\le x+1$. (0,5 pt) (b) En déduire que $\frac{3}{2e}\le J\le \frac{3}{2}$. (0,5 pt)
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   Partie A.

   1. En $-\infty$ : ${\lim }_{x\to -\infty }(x+1)=-\infty$ et ${\lim }_{x\to -\infty }{e}^{-x}=+\infty$, donc par produit ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$. En $+\infty$ : $f(x)=x{e}^{-x}+e^{-x}=\frac{x}{e^x}+\frac{1}{e^x}$. Par croissance comparée, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{e^x}{x}=+\infty$ donc $\frac{x}{e^x}\to 0$ ; et $\frac{1}{e^x}\to 0$. Donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ : l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$.
   2. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (produit de fonctions dérivables) et $f^{\prime }(x)=1\times e^{-x}+(x+1)\times (-e^{-x})=e^{-x}(1-x-1)=-x{e}^{-x}$. Comme $e^{-x}>0$, $f^{\prime }(x)$ est du signe de $-x$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ,0]$ et strictement décroissante sur $[0,+\infty [$ ; elle admet un maximum en $0$ égal à $f(0)=1$. Limites : $-\infty$ en $-\infty$, $0$ en $+\infty$.
   3. $f(-1)=0\times e^1=0$ et $f^{\prime }(-1)=-(-1)e^1=e$. $(T):y=f^{\prime }(-1)(x+1)+f(-1)=e(x+1)$, soit $y=ex+e$.
   4. Tracé : $(\mathcal{C})$ coupe l'axe des abscisses en $(-1,0)$, où elle est tangente à $(T)$ (pente $e\approx 2,7$), monte jusqu'au maximum $(0,1)$ (tangente horizontale), puis décroît vers l'axe des abscisses en restant au-dessus. Points utiles : $f(1)=\frac{2}{e}\approx 0,74$, $f(2)=\frac{3}{e^2}\approx 0,41$, $f(-2)=-e^2\approx -7,4$.

   Partie B.

   1. $f^{\prime }(x)+f(x)=-x{e}^{-x}+(x+1)e^{-x}=e^{-x}(-x+x+1)=e^{-x}$ pour tout réel $x$ : $f$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
   2. Posons $k=g-f$, dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $k^{\prime }=g^{\prime }-f^{\prime }$. Alors $k^{\prime }+k=(g^{\prime }+g)-(f^{\prime }+f)=(g^{\prime }+g)-e^{-x}$ (question 1). Donc : $g$ solution de $(E)$ $\iff$ $g^{\prime }+g=e^{-x}$ $\iff$ $k^{\prime }+k=0$ $\iff$ $k^{\prime }=-k$ $\iff$ $k=g-f$ solution de $(E_0)$.
   3. Les solutions de $(E_0):y^{\prime }=-y$ sont les fonctions $x\to C{e}^{-x}$, $C\in \mathbb{R}$. D'après la question 2, les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions $g(x)=f(x)+C{e}^{-x}=(x+1+C)e^{-x}$, $C\in \mathbb{R}$. $g(0)=3\iff (1+C)e^0=3\iff C=2$. Donc $g(x)=(x+3)e^{-x}$.

   Partie C.

   1. $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $F^{\prime }(x)=-1\times e^{-x}+(-(x+2))\times (-e^{-x})=e^{-x}(-1+x+2)=(x+1)e^{-x}=f(x)$ : $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
   2. $J=F(1)-F(0)=-3e^{-1}-(-2e^0)=2-\frac{3}{e}$. Sur $[0,1]$, $f(x)>0$ (car $x+1>0$ et $e^{-x}>0$), donc l'aire cherchée vaut $J$ unités d'aire. L'unité graphique étant $2$ cm, une unité d'aire vaut $2\times 2=4$ cm${}^2$ : $\mathcal{A}=4J=4(2-\frac{3}{e})=8-\frac{12}{e}\approx 3,59$ cm${}^2$.
   3. Une primitive de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$, donc ${\int }_0^1{e}^{-x}\mathrm{d}x=[-e^{-x}{]}_0^1=-e^{-1}+1=1-\frac{1}{e}$. Par linéarité, $J={\int }_0^{1}x{e}^{-x}\mathrm{d}x+{\int }_0^1{e}^{-x}\mathrm{d}x=K+(1-\frac{1}{e})$, donc $K=J-(1-\frac{1}{e})=2-\frac{3}{e}-1+\frac{1}{e}=1-\frac{2}{e}$.
   4. (a) Pour $x\in [0,1]$ : $-1\le -x\le 0$, et la fonction exponentielle étant croissante, $e^{-1}\le e^{-x}\le 1$, soit $\frac{1}{e}\le e^{-x}\le 1$. En multipliant par $x+1>0$ : $\frac{x+1}{e}\le (x+1)e^{-x}\le x+1$, c'est-à-dire $\frac{x+1}{e}\le f(x)\le x+1$. (b) Les trois fonctions sont continues sur $[0,1]$ ; par monotonie de l'intégrale (avec $0<1$) : ${\int }_0^1\frac{x+1}{e}\mathrm{d}x\le J\le {\int }_0^1(x+1)\mathrm{d}x$. Or ${\int }_0^1(x+1)\mathrm{d}x=[\frac{x^2}{2}+x{]}_0^1=\frac{3}{2}$, donc $\frac{1}{e}\times \frac{3}{2}\le J\le \frac{3}{2}$, soit $\frac{3}{2e}\le J\le \frac{3}{2}$. (Cohérence : $\frac{3}{2e}\approx 0,55$, $J=2-\frac{3}{e}\approx 0,90$ et $\frac{3}{2}=1,5$.)