Limites et continuité, dérivation et suites numériques

Sujet et corrigé — 20 points

Traite le sujet en conditions réelles avant d'ouvrir les corrections. Chaque exercice renvoie vers le chapitre à revoir si tu bloques.

1. Exercice 1Limites et continuité4 pts

   Chapitre : Limites et continuité

   Calculer les limites suivantes :

   1. ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x^2-2x+1}{x^2+4}$. (0,75 pt)
   2. ${\lim }_{x\to +\infty }(\sqrt{x^2+4x}-x)$. (0,75 pt)
   3. ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos (2x)}{x^2}$. (0,75 pt)
   4. ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x^2-1}$. (0,75 pt)
   5. ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x-\cos x}{x+1}$ (on pourra utiliser un encadrement). (1 pt)
   Voir la correction

   1. Forme indéterminée $\frac{\infty }{\infty }$. On factorise par le terme dominant : $\frac{3x^2-2x+1}{x^2+4}=\frac{x^2(3-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2})}{x^2(1+\frac{4}{x^2})}=\frac{3-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{4}{x^2}}$. Comme $\frac{2}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ et $\frac{4}{x^2}$ tendent vers $0$, la limite vaut $\frac{3}{1}$. Donc ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x^2-2x+1}{x^2+4}=3$.
   2. Forme indéterminée $\infty -\infty$. On multiplie par la quantité conjuguée : pour $x>0$, $\sqrt{x^2+4x}-x=\frac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}$. Or $\sqrt{x^2+4x}=x\sqrt{1+\frac{4}{x}}$ pour $x>0$, donc $\sqrt{x^2+4x}-x=\frac{4x}{x(\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1)}=\frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}$. Comme $\frac{4}{x}\to 0$, $\sqrt{1+\frac{4}{x}}\to 1$ et ${\lim }_{x\to +\infty }(\sqrt{x^2+4x}-x)=\frac{4}{2}=2$.
   3. On sait que ${\lim }_{u\to 0}\frac{1-\cos u}{u^2}=\frac{1}{2}$. On pose $u=2x$, qui tend vers $0$ quand $x\to 0$ : $\frac{1-\cos (2x)}{x^2}=4\frac{1-\cos (2x)}{(2x{)}^2}=4\frac{1-\cos u}{u^2}\to 4\times \frac{1}{2}$. Donc ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos (2x)}{x^2}=2$.
   4. Forme indéterminée $\frac{0}{0}$ (numérateur et dénominateur s'annulent en $1$). On factorise par $(x-1)$ : $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ et $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Pour $x\ne 1$ : $\frac{x^2+x-2}{x^2-1}=\frac{x+2}{x+1}\to \frac{3}{2}$. Donc ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x^2-1}=\frac{3}{2}$.
   5. Pour tout $x$, $-1\le \cos x\le 1$, donc $3x-1\le 3x-\cos x\le 3x+1$. Pour $x>0$, $x+1>0$ et l'on peut diviser : $\frac{3x-1}{x+1}\le \frac{3x-\cos x}{x+1}\le \frac{3x+1}{x+1}$. Or ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x-1}{x+1}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x+1}{x+1}=3$ (termes dominants). D'après le théorème des gendarmes, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x-\cos x}{x+1}=3$.

2. Exercice 2Continuité et théorèmes fondamentaux6 pts

   Chapitres : Limites et continuité · Dérivation et étude des fonctions

   1. Soit $h$ la fonction définie sur $[-3,1[\cup ]1,+\infty [$ par $h(x)=\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$. Calculer ${\lim }_{x\to 1}h(x)$ et en déduire que $h$ est prolongeable par continuité en $1$ ; préciser la valeur du prolongement en $1$. (1,5 pt)
   2. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^3+2x-5$. (a) Montrer que $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. (0,5 pt) (b) Calculer ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)$ et ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)$, puis montrer que $g$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. (0,75 pt) (c) En déduire que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$, puis montrer que $1<\alpha <2$. (1 pt) (d) Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. (0,75 pt) (e) Montrer, à l'aide du théorème des accroissements finis, qu'il existe un réel $c\in ]1,2[$ tel que $g^{\prime }(c)=9$, puis déterminer la valeur exacte de $c$. (1,5 pt)
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   1. En $1$, le numérateur $\sqrt{x+3}-2$ et le dénominateur $x-1$ tendent vers $0$ : forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On multiplie par la quantité conjuguée du numérateur ; pour $x\in [-3,1[\cup ]1,+\infty [$ : $h(x)=\frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}$. Donc ${\lim }_{x\to 1}h(x)=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}$. La fonction $h$ n'est pas définie en $1$ mais admet une limite finie en $1$ : elle est prolongeable par continuité en $1$, et le prolongement $\tilde{h}$ est défini par $\tilde{h}(x)=h(x)$ si $x\ne 1$ et $\tilde{h}(1)=\frac{1}{4}$.
   2. (a) $g$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$, et $g^{\prime }(x)=3x^2+2$. Comme $3x^2\ge 0$, on a $g^{\prime }(x)\ge 2>0$ pour tout réel $x$ : $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. (b) En $\pm \infty$, un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré : ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)={\lim }_{x\to -\infty }{x}^3=-\infty$ et ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)={\lim }_{x\to +\infty }{x}^3=+\infty$. La fonction $g$ est continue (polynôme) et strictement croissante sur l'intervalle $\mathbb{R}$ ; d'après le théorème de la bijection, elle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $g(\mathbb{R})=]{\lim }_{-\infty }g,{\lim }_{+\infty }g[=]-\infty ,+\infty [=\mathbb{R}$. (c) Comme $g$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, le réel $0$ admet un unique antécédent : l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$. De plus $g(1)=1+2-5=-2<0$ et $g(2)=8+4-5=7>0$ : $g$ étant continue sur $[1,2]$ et $g(1)\times g(2)<0$, le théorème des valeurs intermédiaires assure que $g$ s'annule dans $]1,2[$ ; par unicité, $1<\alpha <2$. (d) $g(1,3)=2,197+2,6-5=-0,203<0$ et $g(1,4)=2,744+2,8-5=0,544>0$. Comme $g$ est strictement croissante, $1,3<\alpha <1,4$. (e) $g$ est continue sur $[1,2]$ et dérivable sur $]1,2[$ (polynôme). D'après le théorème des accroissements finis, il existe $c\in ]1,2[$ tel que $g(2)-g(1)=g^{\prime }(c)(2-1)$, c'est-à-dire $g^{\prime }(c)=7-(-2)=9$. On résout : $g^{\prime }(c)=9\iff 3c^2+2=9\iff c^2=\frac{7}{3}\iff c=\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$. Comme $c\in ]1,2[$, on garde $c=\sqrt{\frac{7}{3}}=\frac{\sqrt{21}}{3}\approx 1,53$, qui appartient bien à $]1,2[$ car $1<\frac{7}{3}<4$.

3. Exercice 3Étude d'une fonction5 pts

   Chapitres : Dérivation et étude des fonctions · Limites et continuité

   Soit $f$ la fonction définie sur $D_f=\mathbb{R}\setminus 1$ par $f(x)=\frac{x^2-3x+3}{x-1}$, et $(\mathcal{C})$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 1 cm).

   1. Montrer que pour tout $x\in D_f$ : $f(x)=x-2+\frac{1}{x-1}$. (0,75 pt)
   2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ et interpréter graphiquement les limites en $1$. (1 pt)
   3. Montrer que la droite $(D):y=x-2$ est une asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ en $-\infty$ et en $+\infty$, puis étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et $(D)$. (1 pt)
   4. Montrer que pour tout $x\in D_f$ : $f^{\prime }(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$, puis dresser le tableau de variations de $f$. (1,25 pt)
   5. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $3$. (0,5 pt)
   6. Tracer $(D)$, $(T)$ et $(\mathcal{C})$. (0,5 pt)
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   1. Pour $x\ne 1$ : $x-2+\frac{1}{x-1}=\frac{(x-2)(x-1)+1}{x-1}=\frac{x^2-3x+2+1}{x-1}=\frac{x^2-3x+3}{x-1}=f(x)$.
   2. En $\pm \infty$, $\frac{1}{x-1}\to 0$ donc $f(x)$ a la limite de $x-2$ : ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ et ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$. En $1$ : le numérateur $x^2-3x+3$ tend vers $1>0$ et $x-1\to 0$. Si $x\to 1^{-}$, $x-1<0$ donc ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$ ; si $x\to 1^{+}$, $x-1>0$ donc ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$. Interprétation : la droite d'équation $x=1$ est une asymptote verticale à $(\mathcal{C})$.
   3. $f(x)-(x-2)=\frac{1}{x-1}$ et ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ : la droite $(D):y=x-2$ est asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ en $-\infty$ et en $+\infty$. Position relative : $f(x)-(x-2)=\frac{1}{x-1}$ est du signe de $x-1$. Donc sur $]1,+\infty [$, $(\mathcal{C})$ est au-dessus de $(D)$ ; sur $]-\infty ,1[$, $(\mathcal{C})$ est en dessous de $(D)$.
   4. $f$ est dérivable sur $D_f$ (fonction rationnelle) et, avec l'écriture de la question 1 : $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-1}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1-1)(x-1+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$. Le dénominateur $(x-1{)}^2$ est strictement positif sur $D_f$, donc $f^{\prime }(x)$ est du signe de $x(x-2)$ : positif sur $]-\infty ,0]$ et sur $[2,+\infty [$, négatif sur $[0,1[$ et sur $]1,2]$. Avec $f(0)=\frac{3}{-1}=-3$ et $f(2)=\frac{4-6+3}{1}=1$ : $f$ est croissante sur $]-\infty ,0]$, décroissante sur $[0,1[$ (de $-3$ vers $-\infty$), décroissante sur $]1,2]$ (de $+\infty$ vers $1$) et croissante sur $[2,+\infty [$. Elle admet un maximum local $f(0)=-3$ et un minimum local $f(2)=1$.
   5. $f(3)=\frac{9-9+3}{2}=\frac{3}{2}$ et $f^{\prime }(3)=\frac{3\times 1}{4}=\frac{3}{4}$. $(T):y=f^{\prime }(3)(x-3)+f(3)=\frac{3}{4}(x-3)+\frac{3}{2}$, soit $(T):y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$.
   6. Tracé : on place l'asymptote verticale $x=1$, la droite $(D):y=x-2$, la tangente $(T)$ passant par $(1,0)$ et $(3,\frac{3}{2})$, les points $(0,-3)$ (maximum local) et $(2,1)$ (minimum local). La branche de gauche monte jusqu'à $(0,-3)$ puis plonge vers $-\infty$ en restant sous $(D)$ ; la branche de droite descend de $+\infty$ jusqu'à $(2,1)$ puis remonte en restant au-dessus de $(D)$ et en s'en rapprochant.

4. Exercice 4Suites numériques5 pts

   Chapitre : Suites numériques

   Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$.

   1. Calculer $u_1$ et $u_2$. (0,5 pt)
   2. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $0\le u_n\le 4$. (1 pt)
   3. (a) Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}^2-u_n^2=(4-u_n)(u_n+1)$. (0,5 pt) (b) En déduire que la suite $(u_n)$ est croissante. (0,5 pt)
   4. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. (1 pt)
   5. On pose $v_n=4-u_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. (a) Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $v_{n+1}=\frac{3v_n}{4+\sqrt{3u_n+4}}$, puis que $0\le v_{n+1}\le \frac{3}{4}{v}_n$. (0,75 pt) (b) En déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $0\le v_n\le 4(\frac{3}{4}{)}^n$, et retrouver la limite de $(u_n)$. (0,75 pt)
   Voir la correction

   1. $u_1=\sqrt{3\times 0+4}=\sqrt{4}=2$ et $u_2=\sqrt{3\times 2+4}=\sqrt{10}\approx 3,16$.
   2. Initialisation : $u_0=0\in [0,4]$. Hérédité : supposons $0\le u_n\le 4$ pour un entier $n$. Alors $4\le 3u_n+4\le 16$, et la fonction racine carrée étant croissante sur $[0,+\infty [$ : $2\le \sqrt{3u_n+4}\le 4$, donc $0\le u_{n+1}\le 4$. Conclusion : pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0\le u_n\le 4$.
   3. (a) $u_{n+1}^2-u_n^2=3u_n+4-u_n^2=-(u_n^2-3u_n-4)$. Or $u_n^2-3u_n-4=(u_n-4)(u_n+1)$ (racines $4$ et $-1$), donc $u_{n+1}^2-u_n^2=-(u_n-4)(u_n+1)=(4-u_n)(u_n+1)$. (b) D'après la question 2, $4-u_n\ge 0$ et $u_n+1>0$, donc $u_{n+1}^2-u_n^2\ge 0$, soit $u_{n+1}^2\ge u_n^2$. Comme $u_n$ et $u_{n+1}$ sont positifs et que la fonction carré est croissante sur $[0,+\infty [$, on en déduit $u_{n+1}\ge u_n$ : la suite $(u_n)$ est croissante.
   4. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $4$ : d'après le théorème de la convergence monotone, elle converge vers un réel $\ell \in [0,4]$. La fonction $f:x\to \sqrt{3x+4}$ est continue sur $[0,4]$, donc $\ell$ vérifie $f(\ell )=\ell$ : $\sqrt{3\ell +4}=\ell$, d'où (avec $\ell \ge 0$) $3\ell +4={\ell }^2$, soit ${\ell }^2-3\ell -4=0$, dont les racines sont $4$ et $-1$. Comme $\ell \in [0,4]$ : $\lim u_n=4$.
   5. (a) $v_{n+1}=4-\sqrt{3u_n+4}=\frac{(4-\sqrt{3u_n+4})(4+\sqrt{3u_n+4})}{4+\sqrt{3u_n+4}}=\frac{16-(3u_n+4)}{4+\sqrt{3u_n+4}}=\frac{12-3u_n}{4+\sqrt{3u_n+4}}=\frac{3v_n}{4+\sqrt{3u_n+4}}$. Comme $\sqrt{3u_n+4}\ge 0$, on a $4+\sqrt{3u_n+4}\ge 4$, donc $0\le \frac{1}{4+\sqrt{3u_n+4}}\le \frac{1}{4}$ ; en multipliant par $3v_n\ge 0$ (car $u_n\le 4$) : $0\le v_{n+1}\le \frac{3}{4}{v}_n$. (b) Par récurrence : $v_0=4-0=4=4(\frac{3}{4}{)}^0$, l'encadrement est vrai au rang $0$. Si $0\le v_n\le 4(\frac{3}{4}{)}^n$, alors d'après (a) $0\le v_{n+1}\le \frac{3}{4}{v}_n\le \frac{3}{4}\times 4(\frac{3}{4}{)}^n=4(\frac{3}{4}{)}^{n+1}$. Donc pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0\le v_n\le 4(\frac{3}{4}{)}^n$. Comme $0<\frac{3}{4}<1$, $\lim (\frac{3}{4}{)}^n=0$, et le théorème des gendarmes donne $\lim v_n=0$, c'est-à-dire $\lim (4-u_n)=0$ : on retrouve $\lim u_n=4$.