Trigonométrie, barycentre et produit scalaire, suites, rotation

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Calcul trigonométrique4 pts

   Chapitre : Calcul trigonométrique

   1. Calculer la valeur exacte de $\cos (\frac{\pi }{12})$ (on remarquera que $\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}$). (1 pt)
   2. Montrer que pour tout réel $x$ : ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1-\cos (4x)}{8}$. (1 pt)
   3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\cos (2x)-\cos x=0$. (1 pt)
   4. (a) Écrire $\sqrt{3}\cos x+\sin x$ sous la forme $R\cos (x-\phi )$ avec $R>0$. (b) Résoudre dans $]-\pi ,\pi ]$ l'équation : $\sqrt{3}\cos x+\sin x=\sqrt{2}$. (1 pt)
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   1. D'après la formule d'addition $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ : $\cos (\frac{\pi }{12})=\cos (\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4})=\cos (\frac{\pi }{3})\cos (\frac{\pi }{4})+\sin (\frac{\pi }{3})\sin (\frac{\pi }{4}),$ donc $\cos (\frac{\pi }{12})=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.
   2. Pour tout réel $x$, $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin (2x)$ (formule de duplication), donc ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1}{4}{\sin }^2(2x)$. Par linéarisation, ${\sin }^2(2x)=\frac{1-\cos (4x)}{2}$. D'où ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1}{4}\cdot \frac{1-\cos (4x)}{2}=\frac{1-\cos (4x)}{8}.$
   3. L'équation s'écrit $\cos (2x)=\cos x$. Or $\cos a=\cos b\iff (a=b+2k\pi \mathrm{ou}a=-b+2k\pi ,k\in \mathbb{Z})$. Donc $\cos (2x)=\cos x\iff (2x=x+2k\pi \mathrm{ou}2x=-x+2k\pi )\iff (x=2k\pi \mathrm{ou}x=\frac{2k\pi }{3}),$ avec $k\in \mathbb{Z}$. Comme $2k\pi =\frac{2(3k)\pi }{3}$, les solutions de la forme $2k\pi$ sont déjà de la forme $\frac{2k\pi }{3}$. L'ensemble des solutions est $S=\frac{2k\pi }{3}|k\in \mathbb{Z}.$ (On peut aussi factoriser : $\cos (2x)-\cos x=-2\sin (\frac{3x}{2})\sin (\frac{x}{2})$, ce qui redonne le même ensemble.)
   4. (a) $R=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=2$ et $\sqrt{3}\cos x+\sin x=2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x)=2(\cos (\frac{\pi }{6})\cos x+\sin (\frac{\pi }{6})\sin x)=2\cos (x-\frac{\pi }{6})$. (b) $\sqrt{3}\cos x+\sin x=\sqrt{2}\iff \cos (x-\frac{\pi }{6})=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos (\frac{\pi }{4})\iff (x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+2k\pi \mathrm{ou}x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{4}+2k\pi )$, soit $x=\frac{5\pi }{12}+2k\pi$ ou $x=-\frac{\pi }{12}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Dans $]-\pi ,\pi ]$, seules les valeurs $k=0$ conviennent : $S=-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}.$

2. Exercice 2Barycentre et produit scalaire5 pts

   Chapitres : Le barycentre dans le plan · Le produit scalaire dans le plan (approfondi)

   Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=3$, $AC=5$ et $\hat{A}=\frac{\pi }{3}$. On note $I$ le milieu de $[BC]$.

   1. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$, puis montrer que $BC=\sqrt{19}$. (1 pt)
   2. Montrer que $AI=\frac{7}{2}$. (1 pt)
   3. Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A,2)$, $(B,1)$ et $(C,1)$. Montrer que $G$ est le milieu de $[AI]$ et exprimer $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. (1 pt)
   4. Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ du plan tels que $\Vert 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\Vert =7$. Vérifier que $A\in (E)$. (1 pt)
   5. Déterminer l'ensemble $(F)$ des points $M$ du plan tels que $(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})\cdot (\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=0$. (1 pt)
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   1. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos \hat{A}=3\times 5\times \cos (\frac{\pi }{3})=\frac{15}{2}$. Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, donc $B{C}^2=\Vert \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{\Vert }^2=A{C}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+A{B}^2=25-15+9=19,$ d'où $BC=\sqrt{19}$ (c'est le théorème d'Al-Kashi : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos \hat{A}$).
   2. Théorème de la médiane dans le triangle $ABC$, $I$ étant le milieu de $[BC]$ : $A{B}^2+A{C}^2=2A{I}^2+\frac{B{C}^2}{2}$. Donc $9+25=2A{I}^2+\frac{19}{2}$, soit $2A{I}^2=34-\frac{19}{2}=\frac{49}{2}$ et $A{I}^2=\frac{49}{4}$. Comme $AI>0$ : $AI=\frac{7}{2}$. (Autre méthode : $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, donc $A{I}^2=\frac{1}{4}(A{B}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+A{C}^2)=\frac{1}{4}(9+15+25)=\frac{49}{4}$.)
   3. Le point $I$ est le barycentre de $(B,1)$ et $(C,1)$ (milieu de $[BC]$), et $1+1=2\ne 0$. Par associativité du barycentre, $G$ est le barycentre de $(A,2)$ et $(I,2)$, donc, par homogénéité, de $(A,1)$ et $(I,1)$ : $G$ est le milieu de $[AI]$. Par suite $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. (Vérification directe : $2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ donne, avec Chasles depuis $A$, $4\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.)
   4. Pour tout point $M$, par la propriété de réduction ($2+1+1=4\ne 0$) : $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}$. Donc $M\in (E)\iff \Vert 4\overrightarrow{MG}\Vert =7\iff MG=\frac{7}{4}.$ $(E)$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $\frac{7}{4}$. Or $AG=\frac{1}{2}AI=\frac{7}{4}$, donc $A\in (E)$.
   5. Pour tout point $M$ : $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$ ($I$ milieu de $[BC]$). Donc $M\in (F)\iff 4\overrightarrow{MG}\cdot 2\overrightarrow{MI}=0\iff \overrightarrow{MG}\cdot \overrightarrow{MI}=0.$ L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MG}\cdot \overrightarrow{MI}=0$ est le cercle de diamètre $[GI]$ (les points $G$ et $I$ en font partie). Son centre est le milieu de $[GI]$ et son rayon vaut $\frac{GI}{2}=\frac{AI}{4}=\frac{7}{8}$.

3. Exercice 3Suites numériques6 pts

   Chapitres : Les suites numériques · Logique mathématique

   On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+1.$

   1. Calculer $u_1$ et $u_2$. (0,5 pt)
   2. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $2<u_n\le 5$. (1 pt)
   3. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante. Que peut-on en déduire sur $(u_n)$ ? (1 pt)
   4. On pose $v_n=u_n-2$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. (a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (b) Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. (1,5 pt)
   5. On pose $S_n=u_0+u_1+\dots +u_n$. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $S_n=2n+8-\frac{3}{2^n}$. (1 pt)
   6. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n-2\le 10^{-3}$. (1 pt)
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   1. $u_1=\frac{1}{2}\times 5+1=\frac{7}{2}$ et $u_2=\frac{1}{2}\times \frac{7}{2}+1=\frac{11}{4}$.
   2. Soit $P(n)$ la propriété « $2<u_n\le 5$ ». Initialisation. $u_0=5$ et $2<5\le 5$ : $P(0)$ est vraie. Hérédité. Soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $2<u_n\le 5$. En multipliant par $\frac{1}{2}>0$ puis en ajoutant $1$ : $1<\frac{1}{2}{u}_n\le \frac{5}{2}$, puis $2<\frac{1}{2}{u}_n+1\le \frac{7}{2}$. Comme $\frac{7}{2}\le 5$, on obtient $2<u_{n+1}\le 5$ : $P(n+1)$ est vraie. Conclusion. Par récurrence, $2<u_n\le 5$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
   3. Pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2}{u}_n+1-u_n=\frac{2-u_n}{2}$. D'après la question 2, $u_n>2$, donc $2-u_n<0$ et $u_{n+1}-u_n<0$. La suite $(u_n)$ est strictement décroissante. Elle est de plus minorée par $2$ (et majorée par $u_0=5$) : $(u_n)$ est bornée et décroissante.
   4. (a) Pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $v_{n+1}=u_{n+1}-2=\frac{1}{2}{u}_n+1-2=\frac{1}{2}{u}_n-1=\frac{1}{2}(u_n-2)=\frac{1}{2}{v}_n.$ Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q=\frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=u_0-2=3$. (b) $v_n=v_0{q}^n=3(\frac{1}{2}{)}^n=\frac{3}{2^n}$, puis $u_n=v_n+2=2+\frac{3}{2^n}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
   5. $S_n={\sum }_{k=0}^n(2+v_k)=2(n+1)+(v_0+v_1+\dots +v_n)$. Somme des termes d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}\ne 1$ : $v_0+\dots +v_n=v_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=3\frac{1-\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2}}=6-\frac{6}{2^{n+1}}=6-\frac{3}{2^n}.$ Donc $S_n=2n+2+6-\frac{3}{2^n}=2n+8-\frac{3}{2^n}$. (Contrôle : $S_0=8-3=5=u_0$ et $S_1=10-\frac{3}{2}=\frac{17}{2}=5+\frac{7}{2}$.)
   6. $u_n-2=\frac{3}{2^n}$, donc $u_n-2\le 10^{-3}\iff \frac{3}{2^n}\le \frac{1}{1000}\iff 2^n\ge 3000$. Or $2^{11}=2048<3000$ et $2^{12}=4096\ge 3000$ ; la suite $(2^n)$ étant strictement croissante, l'inégalité $2^n\ge 3000$ est vraie si et seulement si $n\ge 12$. Le plus petit entier cherché est $n=12$.

4. Exercice 4La rotation dans le plan5 pts

   Chapitres : La rotation dans le plan · Le produit scalaire dans le plan (approfondi)

   Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. Soit $r$ la rotation de centre $\Omega (1;2)$ et d'angle $\frac{\pi }{2}$. Pour tout point $M(x;y)$, on note $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })=r(M)$.

   1. Montrer que l'expression analytique de $r$ est : $x^{\prime }=3-y$ et $y^{\prime }=x+1$. (1 pt)
   2. Soit $A(3;1)$. Déterminer les coordonnées du point $A^{\prime }=r(A)$ et vérifier que $\Omega A^{\prime }=\Omega A$. (1 pt)
   3. Soit $(D)$ la droite d'équation $x+2y-3=0$. Déterminer une équation de la droite $(D^{\prime })=r((D))$, puis vérifier que $(D^{\prime })$ est perpendiculaire à $(D)$. (1 pt)
   4. Soit $(\mathcal{C})$ le cercle d'équation $(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=4$. Déterminer une équation du cercle $r((\mathcal{C}))$. (0,5 pt)
   5. Donner l'expression analytique de $r\circ r$ et préciser la nature de cette transformation. (0,5 pt)
   6. (a) Montrer que pour tout point $M$ du plan : $M{M}^{\prime 2}=2\Omega M^2$. (b) Déterminer les points $M$ de la droite $(D)$ tels que $M{M}^{\prime }=2\sqrt{2}$. (1 pt)
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   1. Pour une rotation de centre $\Omega (a;b)$ et d'angle $\theta$ : $x^{\prime }=a+(x-a)\cos \theta -(y-b)\sin \theta$ et $y^{\prime }=b+(x-a)\sin \theta +(y-b)\cos \theta$. Ici $a=1$, $b=2$, $\cos (\frac{\pi }{2})=0$ et $\sin (\frac{\pi }{2})=1$, donc $x^{\prime }=1-(y-2)=3-y,y^{\prime }=2+(x-1)=x+1.$
   2. $A(3;1)$ donne $x^{\prime }=3-1=2$ et $y^{\prime }=3+1=4$ : $A^{\prime }(2;4)$. $\Omega A=\sqrt{(3-1{)}^2+(1-2{)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$ et $\Omega A^{\prime }=\sqrt{(2-1{)}^2+(4-2{)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$. On a bien $\Omega A^{\prime }=\Omega A$ (la rotation conserve les distances au centre).
   3. Soit $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$ un point du plan et $M(x;y)$ son antécédent par $r$. D'après la question 1, $x=y^{\prime }-1$ et $y=3-x^{\prime }$. Alors $M^{\prime }\in (D^{\prime })\iff M\in (D)\iff (y^{\prime }-1)+2(3-x^{\prime })-3=0\iff -2x^{\prime }+y^{\prime }+2=0.$ Donc $(D^{\prime }):2x-y-2=0$. (Contrôle : $P(3;0)\in (D)$ a pour image $P^{\prime }(3;4)$ et $2\times 3-4-2=0$.) Un vecteur directeur de $(D)$ est $\overrightarrow{u}(-2;1)$ (car $\overrightarrow{n}(1;2)$ est normal à $(D)$) et un vecteur directeur de $(D^{\prime })$ est $\overrightarrow{u^{\prime }}(1;2)$. Comme $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}=-2+2=0$, les droites $(D)$ et $(D^{\prime })$ sont perpendiculaires, ce qui est cohérent avec une rotation d'angle $\frac{\pi }{2}$.
   4. $(\mathcal{C})$ est le cercle de centre $A(3;1)$ et de rayon $2$. L'image d'un cercle par une rotation est le cercle de même rayon dont le centre est l'image du centre : $r((\mathcal{C}))$ est le cercle de centre $A^{\prime }(2;4)$ et de rayon $2$, d'équation $(x-2{)}^2+(y-4{)}^2=4.$
   5. En appliquant deux fois les formules : $x^{\prime \prime }=3-y^{\prime }=3-(x+1)=2-x$ et $y^{\prime \prime }=x^{\prime }+1=(3-y)+1=4-y$. Ainsi $r\circ r$ est la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\pi$, c'est-à-dire la symétrie centrale de centre $\Omega$ : on vérifie que le milieu de $[M{M}^{\prime \prime }]$ est $(\frac{x+2-x}{2};\frac{y+4-y}{2})=(1;2)=\Omega$.
   6. (a) Si $M=\Omega$, alors $M^{\prime }=\Omega$ et l'égalité $0=0$ est vraie. Sinon, $\Omega M^{\prime }=\Omega M$ et $(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M^{\prime }})=\frac{\pi }{2}$ : le triangle $\Omega M{M}^{\prime }$ est rectangle et isocèle en $\Omega$, donc par le théorème de Pythagore $M{M}^{\prime 2}=\Omega M^2+\Omega M^{\prime 2}=2\Omega M^2$. (Vérification analytique : $M{M}^{\prime 2}=(3-y-x{)}^2+(x+1-y{)}^2$ ; en posant $a=x-1$ et $b=y-2$, on a $3-x-y=-(a+b)$ et $x+1-y=a-b$, d'où $M{M}^{\prime 2}=(a+b{)}^2+(a-b{)}^2=2(a^2+b^2)=2\Omega M^2$.) (b) $M{M}^{\prime }=2\sqrt{2}\iff M{M}^{\prime 2}=8\iff \Omega M^2=4\iff \Omega M=2$ : les points cherchés sont les points communs à $(D)$ et au cercle de centre $\Omega$ et de rayon $2$. Pour $M(x;y)\in (D)$, $x=3-2y$, et $\Omega M^2=4\iff (2-2y{)}^2+(y-2{)}^2=4\iff 5y^2-12y+4=0.$ Le discriminant vaut $\Delta =144-80=64=8^2$, d'où $y=\frac{12+8}{10}=2$ ou $y=\frac{12-8}{10}=\frac{2}{5}$, puis $x=3-4=-1$ ou $x=3-\frac{4}{5}=\frac{11}{5}$. Il y a deux points : $M_1(-1;2)$ et $M_2(\frac{11}{5};\frac{2}{5})$. (Contrôle : $\Omega M_2^2=(\frac{6}{5}{)}^2+(-\frac{8}{5}{)}^2=\frac{36}{25}+\frac{64}{25}=4$.)