Logique, ensembles et applications, généralités sur les fonctions

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Logique mathématique5 pts

   Chapitre : Logique mathématique

   1. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant, puis écrire sa négation : (a) $\forall x\in \mathbb{R},x^2+x+1>0$ ; (b) $\exists x\in \mathbb{R},\forall y\in \mathbb{R},xy=y$ ; (c) $\forall x\in \mathbb{R},\exists y\in \mathbb{R},y^2=x$. (1,5 pt)
   2. Soient $x$ et $y$ deux réels. Montrer, en raisonnant par contraposée, que : $x\ne y\Rightarrow (x+1)(y-1)\ne (x-1)(y+1).$ (1 pt)
   3. Soit $n$ un entier naturel non nul. Montrer, en raisonnant par l'absurde, que $\sqrt{n^2+1}$ n'est pas un entier naturel. (1 pt)
   4. Montrer par récurrence que pour tout entier $n\ge 1$ : $1\times 2+2\times 3+\dots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.$ (1,5 pt)
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   1. (a) Vraie. Pour tout réel $x$ : $x^2+x+1=(x+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}>0$ (forme canonique). Négation : $\exists x\in \mathbb{R},x^2+x+1\le 0$. (b) Vraie. Le réel $x=1$ convient : pour tout $y\in \mathbb{R}$, $1\times y=y$. Négation : $\forall x\in \mathbb{R},\exists y\in \mathbb{R},xy\ne y$. (c) Fausse. Pour $x=-1$, l'équation $y^2=-1$ n'a pas de solution réelle car un carré est toujours positif ou nul : $x=-1$ est un contre-exemple. Négation : $\exists x\in \mathbb{R},\forall y\in \mathbb{R},y^2\ne x$.
   2. La contraposée de l'implication est : $(x+1)(y-1)=(x-1)(y+1)\Rightarrow x=y$. Supposons $(x+1)(y-1)=(x-1)(y+1)$. En développant : $xy-x+y-1=xy+x-y-1$, d'où $2y=2x$, soit $x=y$. La contraposée est vraie, donc l'implication $x\ne y\Rightarrow (x+1)(y-1)\ne (x-1)(y+1)$ est vraie (une implication et sa contraposée ont la même valeur de vérité).
   3. Supposons par l'absurde qu'il existe un entier naturel $m$ tel que $\sqrt{n^2+1}=m$, c'est-à-dire $m^2=n^2+1$. Comme $n\ge 1$, on a $2n+1>1$, donc $n^2<n^2+1<n^2+2n+1=(n+1{)}^2,\mathrm{soit}{n}^2<m^2<(n+1{)}^2.$ Les nombres $n$, $m$, $n+1$ étant positifs et la fonction carré strictement croissante sur $[0,+\infty [$, on en déduit $n<m<n+1$ : l'entier $m$ serait strictement compris entre deux entiers consécutifs, ce qui est impossible. Donc $\sqrt{n^2+1}$ n'est pas un entier naturel.
   4. Soit $P(n)$ la propriété : « $1\times 2+2\times 3+\dots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ ». Initialisation. Pour $n=1$ : le membre de gauche vaut $1\times 2=2$ et le membre de droite vaut $\frac{1\times 2\times 3}{3}=2$. $P(1)$ est vraie. Hérédité. Soit $n\ge 1$ tel que $P(n)$ soit vraie. Alors $1\times 2+\dots +n(n+1)+(n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}+(n+1)(n+2),$ et $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}+(n+1)(n+2)=(n+1)(n+2)(\frac{n}{3}+1)=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}$, ce qui est exactement $P(n+1)$. Conclusion. Par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\ge 1$.

2. Exercice 2Ensembles et applications6 pts

   Chapitres : Ensembles et applications · Généralités sur les fonctions numériques

   Partie A. Soient $E$ un ensemble, $A$ et $B$ deux parties de $E$.

   1. Montrer que : $A\subset B\iff A\cup B=B$. (1 pt)
   2. Montrer que si $A\cap B=A\cup B$, alors $A=B$. (1 pt)

   Partie B. On considère l'application $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$ définie par $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}.$

   1. Montrer que $f$ est injective. (1 pt)
   2. L'application $f$ est-elle surjective ? Justifier. (1 pt)
   3. Soit $g:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}\setminus \{2\}$ l'application définie par $g(x)=f(x)$. Montrer que $g$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque $g^{-1}$. (1 pt)
   4. Vérifier que pour tout $x\ne 1$ : $f(x)=2+\frac{3}{x-1}$. En déduire l'image directe $f([2,4])$ et l'image réciproque $f^{-1}(]-\infty ,2[)$. (1 pt)
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   Partie A.

   1. ($\Rightarrow$) Supposons $A\subset B$. On a toujours $B\subset A\cup B$. Réciproquement, soit $x\in A\cup B$ : si $x\in A$ alors $x\in B$ (car $A\subset B$) ; sinon $x\in B$. Dans les deux cas $x\in B$, donc $A\cup B\subset B$. D'où $A\cup B=B$. ($\Leftarrow$) Supposons $A\cup B=B$. Soit $x\in A$ ; alors $x\in A\cup B=B$. Donc $A\subset B$. Conclusion : $A\subset B\iff A\cup B=B$.
   2. Supposons $A\cap B=A\cup B$. On a $A\subset A\cup B=A\cap B\subset B$, donc $A\subset B$. De même $B\subset A\cup B=A\cap B\subset A$, donc $B\subset A$. Par double inclusion, $A=B$.

   Partie B.

   1. Soient $x,x^{\prime }\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$ tels que $f(x)=f(x^{\prime })$. Alors $(2x+1)(x^{\prime }-1)=(2x^{\prime }+1)(x-1)$, soit $2x{x}^{\prime }-2x+x^{\prime }-1=2x{x}^{\prime }-2x^{\prime }+x-1$, d'où $3x^{\prime }=3x$ et $x=x^{\prime }$. Donc $f$ est injective.
   2. Cherchons un antécédent de $2$ : $f(x)=2\iff 2x+1=2(x-1)\iff 1=-2$, ce qui est impossible. Le réel $2$ n'a pas d'antécédent par $f$, donc $f$ n'est pas surjective.
   3. Injectivité : $g$ a la même expression que $f$, donc $g$ est injective (question 1). Surjectivité : soit $y\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$. Pour $x\ne 1$ : $g(x)=y\iff 2x+1=y(x-1)\iff x(2-y)=-(y+1)\iff x=\frac{y+1}{y-2}(y\ne 2).$ Ce réel $x$ est bien différent de $1$ car $\frac{y+1}{y-2}=1\iff y+1=y-2$ est impossible. Ainsi tout $y\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$ admet un (unique) antécédent dans $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ : $g$ est surjective. Donc $g$ est bijective et sa bijection réciproque est $g^{-1}:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}\setminus \{1\},y\mapsto \frac{y+1}{y-2}.$
   4. Pour $x\ne 1$ : $2+\frac{3}{x-1}=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=\frac{2x+1}{x-1}=f(x)$. Image directe. Soit $x\in [2,4]$. Alors $1\le x-1\le 3$, donc $1\le \frac{3}{x-1}\le 3$ (la fonction inverse est décroissante sur $]0,+\infty [$) et $3\le f(x)\le 5$ : ainsi $f([2,4])\subset [3,5]$. Réciproquement, soit $y\in [3,5]$ et $x=g^{-1}(y)=\frac{y+1}{y-2}$ ; on a $f(x)=y$ et, comme $y-2>0$ : $x-2=\frac{5-y}{y-2}\ge 0,4-x=\frac{3y-9}{y-2}\ge 0,$ donc $x\in [2,4]$. Conclusion : $f([2,4])=[3,5]$. Image réciproque. $f^{-1}(]-\infty ,2[)=x\in \mathbb{R}\setminus \{1\}|f(x)<2$. Or $f(x)<2\iff \frac{3}{x-1}<0\iff x-1<0\iff x<1$. Donc $f^{-1}(]-\infty ,2[)=]-\infty ,1[$.

3. Exercice 3Généralités sur les fonctions numériques9 pts

   Chapitre : Généralités sur les fonctions numériques

   Soit $f$ la fonction numérique définie par $f(x)=\frac{2x}{x^2+1},$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

   1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$ et étudier la parité de $f$. Interpréter graphiquement le résultat. (1 pt)
   2. (a) Montrer que pour tout réel $x$ : $1-f(x)=\frac{(x-1{)}^2}{x^2+1}$. (0,5 pt) (b) En déduire que pour tout réel $x$ : $-1\le f(x)\le 1$, et préciser en quels points ces bornes sont atteintes. (1 pt)
   3. (a) Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels positifs tels que $x_1<x_2$. Montrer que : $f(x_2)-f(x_1)=\frac{2(x_2-x_1)(1-x_1{x}_2)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}.$ (1 pt) (b) En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0,1]$ puis sur $[1,+\infty [$. (1 pt) (c) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ (on utilisera la parité). (0,5 pt)
   4. Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=f(x-1)+2$. Exprimer $h(x)$ en fonction de $x$ et préciser la transformation géométrique qui permet d'obtenir la courbe de $h$ à partir de $(\mathcal{C})$. (1 pt)
   5. Soit $u$ la fonction définie par $u(x)=\sqrt{x}$. (a) Déterminer l'ensemble de définition de $f\circ u$ et exprimer $(f\circ u)(x)$. (0,5 pt) (b) Déterminer le sens de variation de $f\circ u$ sur $[0,1]$ et sur $[1,+\infty [$. (0,5 pt) (c) En déduire que pour tout réel $x\ge 0$ : $2\sqrt{x}\le x+1$. (0,5 pt)
   6. Soit $m$ un réel. Déterminer, suivant les valeurs de $m$, le nombre de solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $f(x)=m$. (1,5 pt)
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   1. Pour tout réel $x$, $x^2+1\ge 1>0$, donc $D_f=\mathbb{R}$. L'ensemble $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ et, pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f(-x)=\frac{-2x}{(-x{)}^2+1}=-\frac{2x}{x^2+1}=-f(x).$ Donc $f$ est impaire : la courbe $(\mathcal{C})$ est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère.
   2. (a) Pour tout réel $x$ : $1-f(x)=\frac{x^2+1-2x}{x^2+1}=\frac{(x-1{)}^2}{x^2+1}$. (b) Comme $(x-1{)}^2\ge 0$ et $x^2+1>0$, on obtient $1-f(x)\ge 0$, soit $f(x)\le 1$, avec égalité si et seulement si $x=1$. De même $f(x)+1=\frac{x^2+2x+1}{x^2+1}=\frac{(x+1{)}^2}{x^2+1}\ge 0$, soit $f(x)\ge -1$, avec égalité si et seulement si $x=-1$. Ainsi, pour tout réel $x$, $-1\le f(x)\le 1$ : $f$ admet sur $\mathbb{R}$ un maximum égal à $1$, atteint en $x=1$, et un minimum égal à $-1$, atteint en $x=-1$.
   3. (a) Soient $0\le x_1<x_2$. En réduisant au même dénominateur : $f(x_2)-f(x_1)=\frac{2x_2(x_1^2+1)-2x_1(x_2^2+1)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}=\frac{2(x_1^2{x}_2-x_1{x}_2^2+x_2-x_1)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}.$ Or $x_1^2{x}_2-x_1{x}_2^2+x_2-x_1=x_1{x}_2(x_1-x_2)+(x_2-x_1)=(x_2-x_1)(1-x_1{x}_2)$, d'où la formule demandée. (b) Le dénominateur est strictement positif et $x_2-x_1>0$ : le signe de $f(x_2)-f(x_1)$ est celui de $1-x_1{x}_2$. Sur $[0,1]$ : si $0\le x_1<x_2\le 1$ alors $0\le x_1{x}_2<1$, donc $1-x_1{x}_2>0$ et $f(x_2)>f(x_1)$ : $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$. Sur $[1,+\infty [$ : si $1\le x_1<x_2$ alors $x_1{x}_2>1$, donc $1-x_1{x}_2<0$ et $f(x_2)<f(x_1)$ : $f$ est strictement décroissante sur $[1,+\infty [$. (c) Par imparité, la courbe est symétrique par rapport à $O$, ce qui renverse le sens de lecture mais conserve le sens de variation : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ,-1]$, strictement croissante sur $[-1,1]$ et strictement décroissante sur $[1,+\infty [$, avec $f(-1)=-1$, $f(0)=0$ et $f(1)=1$.

   $x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
   $f(x)$		↘	$-1$	↗	$1$	↘

   1. Pour tout réel $x$ : $h(x)=\frac{2(x-1)}{(x-1{)}^2+1}+2=\frac{2x-2}{x^2-2x+2}+2$. Le point $M(x;f(x))$ de $(\mathcal{C})$ a pour image le point $M^{\prime }(x+1;f(x)+2)$ de la courbe de $h$ : la courbe de $h$ est l'image de $(\mathcal{C})$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$ (translation horizontale de $1$ vers la droite suivie d'une translation verticale de $2$ vers le haut).
   2. (a) $u$ est définie sur $[0,+\infty [$ et, pour $x\ge 0$, $u(x)=\sqrt{x}\in D_f=\mathbb{R}$. Donc $D_{f\circ u}=[0,+\infty [$ et $(f\circ u)(x)=f(\sqrt{x})=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}.$ (b) La fonction $u$ est strictement croissante sur $[0,+\infty [$, avec $u([0,1])=[0,1]$ et $u([1,+\infty [)=[1,+\infty [$. Sur $[0,1]$, $f$ est croissante sur $u([0,1])=[0,1]$ : la composée de deux fonctions croissantes est croissante, donc $f\circ u$ est croissante sur $[0,1]$. Sur $[1,+\infty [$, $f$ est décroissante sur $u([1,+\infty [)=[1,+\infty [$ : la composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante est décroissante, donc $f\circ u$ est décroissante sur $[1,+\infty [$. (c) D'après (b), $f\circ u$ admet en $x=1$ un maximum sur $[0,+\infty [$, égal à $(f\circ u)(1)=\frac{2}{2}=1$. Donc pour tout $x\ge 0$ : $\frac{2\sqrt{x}}{x+1}\le 1$, et comme $x+1>0$ : $2\sqrt{x}\le x+1$. (On peut aussi le voir directement avec la question 2 : $f(\sqrt{x})\le 1$.)
   3. Pour tout réel $x$, comme $x^2+1\ne 0$ : $f(x)=m\iff 2x=m(x^2+1)\iff m{x}^2-2x+m=0.$

   • Si $m=0$ : l'équation devient $-2x=0$, qui admet l'unique solution $x=0$.
   • Si $m\ne 0$ : c'est une équation du second degré de discriminant $\Delta =4-4m^2=4(1-m^2)$.
   • Si $|m|>1$ : $\Delta <0$, aucune solution.
   • Si $|m|=1$ : $\Delta =0$, une solution (double) $x=\frac{1}{m}$, c'est-à-dire $x=1$ pour $m=1$ et $x=-1$ pour $m=-1$.
   • Si $0<|m|<1$ : $\Delta >0$, deux solutions distinctes $x=\frac{1\pm \sqrt{1-m^2}}{m}$. Conclusion : l'équation $f(x)=m$ n'a aucune solution si $m<-1$ ou $m>1$ ; une seule solution si $m\in -1,0,1$ ; exactement deux solutions si $m\in ]-1,0[\cup ]0,1[$. Ce résultat est cohérent avec le tableau de variations et l'encadrement $-1\le f(x)\le 1$.