Calcul intégral, dénombrement et probabilités

Sujet et corrigé — 20 points

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1. Exercice 1Calcul intégral5 pts

   Chapitre : Calcul intégral

   1. Calculer les intégrales suivantes : (a) $I={\int }_0^2(3x^2-2x+1)\mathrm{d}x$ ; (0,5 pt) (b) $J={\int }_1^e(\frac{2}{x}+1)\mathrm{d}x$. (0,5 pt)
   2. Calculer $K={\int }_0^{1}x{e}^{x^2}\mathrm{d}x$ (on pourra reconnaître une expression de la forme $u^{\prime }{e}^u$). (1 pt)
   3. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $L={\int }_0^{1}x{e}^{2x}\mathrm{d}x$. (1,25 pt)
   4. Montrer que la fonction $H:x\to \frac{1}{2}(\ln x{)}^2$ est une primitive de $x\to \frac{\ln x}{x}$ sur $]0,+\infty [$, puis calculer $M={\int }_1^e\frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x$. (0,75 pt)
   5. Calculer la valeur moyenne de la fonction $g:x\to x^2+1$ sur l'intervalle $[0,3]$. (1 pt)
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   1. (a) Une primitive de $x\to 3x^2-2x+1$ est $x\to x^3-x^2+x$, donc $I=[x^3-x^2+x{]}_0^2=(8-4+2)-0=6$. (b) Sur $[1,e]$, une primitive de $x\to \frac{2}{x}+1$ est $x\to 2\ln x+x$, donc $J=[2\ln x+x{]}_1^e=(2\ln e+e)-(2\ln 1+1)=(2+e)-1=e+1$.
   2. On pose $u(x)=x^2$ ; alors $u^{\prime }(x)=2x$ et $x{e}^{x^2}=\frac{1}{2}{u}^{\prime }(x)e^{u(x)}$. Une primitive de $x\to x{e}^{x^2}$ est donc $x\to \frac{1}{2}{e}^{x^2}$ et $K=[\frac{1}{2}{e}^{x^2}{]}_0^1=\frac{1}{2}{e}^1-\frac{1}{2}{e}^0=\frac{e-1}{2}$.
   3. On pose $u(x)=x$ et $v^{\prime }(x)=e^{2x}$ ; alors $u^{\prime }(x)=1$ et $v(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}$. Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[0,1]$, et la formule d'intégration par parties donne : $L=[x\times \frac{1}{2}{e}^{2x}{]}_0^1-{\int }_0^1\frac{1}{2}{e}^{2x}\mathrm{d}x=\frac{e^2}{2}-[\frac{1}{4}{e}^{2x}{]}_0^1=\frac{e^2}{2}-(\frac{e^2}{4}-\frac{1}{4})=\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}$. Donc $L=\frac{e^2+1}{4}$.
   4. $H$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ et, avec $(u^2{)}^{\prime }=2u^{\prime }u$ pour $u=\ln$ : $H^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\times 2\times \frac{1}{x}\times \ln x=\frac{\ln x}{x}$. Donc $H$ est une primitive de $x\to \frac{\ln x}{x}$ sur $]0,+\infty [$, et $M=H(e)-H(1)=\frac{1}{2}(\ln e{)}^2-\frac{1}{2}(\ln 1{)}^2=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$.
   5. La valeur moyenne de $g$ sur $[0,3]$ est $\mu =\frac{1}{3-0}{\int }_0^3(x^2+1)\mathrm{d}x=\frac{1}{3}[\frac{x^3}{3}+x{]}_0^3=\frac{1}{3}(\frac{27}{3}+3)=\frac{1}{3}\times 12=4$.

2. Exercice 2Dénombrement et probabilités6 pts

   Chapitre : Dénombrement et probabilités

   Partie A. Une agence bancaire compte $10$ conseillers : $6$ femmes et $4$ hommes. Le directeur choisit au hasard une équipe de $3$ conseillers pour une formation.

   1. Combien d'équipes différentes peut-il former ? (0,5 pt)
   2. Combien d'équipes comportent exactement deux femmes ? (0,5 pt)
   3. Calculer la probabilité de l'événement $E$ : « l'équipe comporte au moins un homme ». (1 pt)

   Partie B. Une entreprise vend un article en ligne et en magasin. Une étude montre que $60\%$ des ventes sont réalisées en ligne. Parmi les articles vendus en ligne, $5\%$ sont retournés par le client ; parmi les articles vendus en magasin, $2,5\%$ sont retournés. On choisit au hasard un article vendu et on note $L$ l'événement « l'article a été vendu en ligne » et $R$ l'événement « l'article a été retourné ».

   1. Représenter la situation par un arbre pondéré, puis montrer que $P(R)=0,04$. (1,25 pt)
   2. Un article a été retourné. Calculer la probabilité qu'il ait été vendu en ligne. (0,75 pt)
   3. Les événements $L$ et $R$ sont-ils indépendants ? Justifier. (0,5 pt)
   4. On choisit au hasard $10$ articles vendus ; on admet que les choix sont indépendants. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'articles retournés parmi ces $10$ articles. (a) Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres, et calculer $E(X)$. (0,5 pt) (b) Calculer $P(X=0)$ et $P(X\ge 2)$ (arrondir à $10^{-4}$ près). (1 pt)
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   Partie A.

   1. Une équipe est une partie de $3$ éléments parmi $10$ (l'ordre n'intervient pas) : il y a $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$ équipes possibles.
   2. On choisit $2$ femmes parmi $6$ et $1$ homme parmi $4$ : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=15\times 4=60$ équipes.
   3. L'événement contraire $\overline{E}$ est « l'équipe ne comporte aucun homme », c'est-à-dire « les trois conseillers sont des femmes » : $\mathrm{card}\overline{E}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$. Les équipes étant équiprobables, $P(\overline{E})=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$, donc $P(E)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.

   Partie B.

   1. Arbre pondéré : la première branche sépare $L$ (probabilité $0,6$) et $\overline{L}$ (probabilité $0,4$) ; à partir de $L$, on a $R$ avec la probabilité $P(R|L)=0,05$ et $\overline{R}$ avec $0,95$ ; à partir de $\overline{L}$, on a $R$ avec $P(R|\overline{L})=0,025$ et $\overline{R}$ avec $0,975$. Les événements $L$ et $\overline{L}$ forment une partition de l'univers, donc, d'après la formule des probabilités totales : $P(R)=P(L\cap R)+P(\overline{L}\cap R)=P(L)\times P(R|L)+P(\overline{L})\times P(R|\overline{L})=0,6\times 0,05+0,4\times 0,025=0,03+0,01=0,04$.
   2. On cherche $P(L|R)=P(L\cap R)/P(R)=\frac{0,03}{0,04}=\frac{3}{4}=0,75$.
   3. $P(L)\times P(R)=0,6\times 0,04=0,024$ alors que $P(L\cap R)=0,03$. Comme $P(L\cap R)\ne P(L)\times P(R)$, les événements $L$ et $R$ ne sont pas indépendants. (On peut aussi remarquer que $P(L|R)=0,75\ne P(L)=0,6$.)
   4. (a) On répète $10$ fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli dont le succès « l'article est retourné » a pour probabilité $p=P(R)=0,04$. La variable $X$ qui compte le nombre de succès suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,04$, et $E(X)=np=10\times 0,04=0,4$. (b) $P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{0}\right)\times 0,04^0\times 0,96^{10}=0,96^{10}=0,96\times 0,96^9\approx 0,96\times 0,6925\approx 0,6648$. $P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1}\right)\times 0,04\times 0,96^9=10\times 0,04\times 0,96^9\approx 0,4\times 0,6925\approx 0,2770$. $P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)\approx 1-0,6648-0,2770\approx 0,0582$.

3. Exercice 3Étude d'une fonction logarithme et calcul d'aires9 pts

   Chapitres : Calcul intégral · Fonctions logarithmiques · Dérivation et étude des fonctions

   Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty [$ par $f(x)=\frac{1+\ln x}{x}$ et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 2 cm).

   Partie A.

   1. Calculer ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)$ et interpréter graphiquement ce résultat. (0,75 pt)
   2. Calculer ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ et interpréter graphiquement ce résultat. (0,75 pt)
   3. Montrer que pour tout $x>0$ : $f^{\prime }(x)=-\frac{\ln x}{x^2}$. (0,75 pt)
   4. Dresser le tableau de variations de $f$. (1 pt)
   5. Résoudre l'équation $f(x)=0$, puis en déduire le signe de $f(x)$ sur $]0,+\infty [$. (0,75 pt)
   6. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse $e$. (0,75 pt)
   7. Tracer $(T)$ et $(\mathcal{C})$ (on prendra $f(e)\approx 0,74$, $f(3)\approx 0,70$ et $f(0,5)\approx 0,61$). (1 pt)

   Partie B.

   1. Montrer que la fonction $F$ définie sur $]0,+\infty [$ par $F(x)=\ln x+\frac{1}{2}(\ln x{)}^2$ est une primitive de $f$ sur $]0,+\infty [$. (0,75 pt)
   2. Calculer ${\int }_1^{e}f(x)\mathrm{d}x$. (0,75 pt)
   3. En déduire l'aire ${\mathcal{A}}_1$, en cm${}^2$, du domaine délimité par $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$. (0,75 pt)
   4. Soit $(\mathcal{H})$ la courbe de la fonction $h:x\to \frac{1}{x}$ sur $]0,+\infty [$. Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et de $(\mathcal{H})$, puis calculer l'aire ${\mathcal{A}}_2$, en cm${}^2$, du domaine délimité par $(\mathcal{C})$, $(\mathcal{H})$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$. (1 pt)
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   Partie A.

   1. $f(x)=(1+\ln x)\times \frac{1}{x}$. Quand $x\to 0^{+}$ : $\ln x\to -\infty$ donc $1+\ln x\to -\infty$, et $\frac{1}{x}\to +\infty$. Par produit, ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$. Interprétation : l'axe des ordonnées (droite d'équation $x=0$) est une asymptote verticale à $(\mathcal{C})$.
   2. Pour $x>0$ : $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x}$. Or ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x}=0$ et ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln x}{x}=0$ (croissance comparée), donc ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$. Interprétation : l'axe des abscisses (droite d'équation $y=0$) est une asymptote horizontale à $(\mathcal{C})$ en $+\infty$.
   3. $f$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ comme quotient de fonctions dérivables (le dénominateur ne s'annulant pas). Avec $u(x)=1+\ln x$, $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, $v(x)=x$, $v^{\prime }(x)=1$ : $f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{\frac{1}{x}\times x-(1+\ln x)\times 1}{x^2}=\frac{1-1-\ln x}{x^2}=-\frac{\ln x}{x^2}$.
   4. Comme $x^2>0$, $f^{\prime }(x)$ a le signe de $-\ln x$ : $f^{\prime }(x)>0$ pour $0<x<1$, $f^{\prime }(1)=0$ et $f^{\prime }(x)<0$ pour $x>1$. De plus $f(1)=\frac{1+0}{1}=1$. Tableau de variations : $f$ est strictement croissante sur $]0,1]$, de $-\infty$ à $1$, puis strictement décroissante sur $[1,+\infty [$, de $1$ à $0$ (limite non atteinte). Elle admet un maximum égal à $1$ en $x=1$.
   5. Pour $x>0$ : $f(x)=0\iff 1+\ln x=0\iff \ln x=-1\iff x=e^{-1}=\frac{1}{e}$. L'équation $f(x)=0$ admet l'unique solution $x=\frac{1}{e}$. Signe : comme $x>0$, $f(x)$ a le signe de $1+\ln x$, et $1+\ln x>0\iff \ln x>-1\iff x>\frac{1}{e}$ ($\ln$ strictement croissante). Donc $f(x)<0$ sur $]0,\frac{1}{e}[$, $f(\frac{1}{e})=0$ et $f(x)>0$ sur $]\frac{1}{e},+\infty [$.
   6. $f(e)=\frac{1+1}{e}=\frac{2}{e}$ et $f^{\prime }(e)=-\frac{\ln e}{e^2}=-\frac{1}{e^2}$. Donc $(T):y=-\frac{1}{e^2}(x-e)+\frac{2}{e}=-\frac{x}{e^2}+\frac{1}{e}+\frac{2}{e}$, soit $(T):y=-\frac{x}{e^2}+\frac{3}{e}$.
   7. Tracé : on place l'asymptote verticale $x=0$, l'asymptote horizontale $y=0$ en $+\infty$, le point $(\frac{1}{e},0)\approx (0,37;0)$ où $(\mathcal{C})$ coupe l'axe des abscisses, le maximum $(1,1)$ (tangente horizontale), le point $(e,\frac{2}{e})\approx (2,72;0,74)$ avec sa tangente $(T)$, ainsi que les points $(0,5;0,61)$ et $(3;0,70)$. La courbe descend vers $-\infty$ près de l'axe des ordonnées, monte jusqu'au maximum $(1,1)$, puis décroît lentement vers l'axe des abscisses en restant au-dessus.

   Partie B.

   1. $F$ est dérivable sur $]0,+\infty [$ et, d'après la question 4 de l'exercice 1 (dérivée de $\frac{1}{2}(\ln x{)}^2$) : $F^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x}=\frac{1+\ln x}{x}=f(x)$. Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $]0,+\infty [$.
   2. ${\int }_1^{e}f(x)\mathrm{d}x=F(e)-F(1)=(\ln e+\frac{1}{2}(\ln e{)}^2)-(\ln 1+\frac{1}{2}(\ln 1{)}^2)=(1+\frac{1}{2})-0=\frac{3}{2}$.
   3. Sur $[1,e]$, on a $x\ge 1>\frac{1}{e}$ donc $f(x)\ge 0$ (question 5 de la partie A). L'aire du domaine est donc, en unités d'aire, ${\int }_1^{e}f(x)\mathrm{d}x=\frac{3}{2}$. L'unité graphique étant $2$ cm sur chaque axe, l'unité d'aire vaut $2\times 2=4$ cm${}^2$, d'où ${\mathcal{A}}_1=\frac{3}{2}\times 4=6$ cm${}^2$.
   4. Pour $x>0$ : $f(x)-h(x)=\frac{1+\ln x}{x}-\frac{1}{x}=\frac{\ln x}{x}$, qui a le signe de $\ln x$. Donc $(\mathcal{C})$ est en dessous de $(\mathcal{H})$ sur $]0,1[$, les deux courbes se coupent au point $(1,1)$, et $(\mathcal{C})$ est au-dessus de $(\mathcal{H})$ sur $]1,+\infty [$. Sur $[1,e]$, $f(x)-h(x)\ge 0$, donc l'aire cherchée est, en unités d'aire, ${\int }_1^e(f(x)-h(x))\mathrm{d}x={\int }_1^e\frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x=[\frac{1}{2}(\ln x{)}^2{]}_1^e=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$ (c'est l'intégrale $M$ de l'exercice 1). Ainsi ${\mathcal{A}}_2=\frac{1}{2}\times 4=2$ cm${}^2$.